1、1抽象函数常见题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题例 1. 已知函数 的定义域是1，2，求 f（x）的定义域。)(xf解： 的定义域是1，2，是指 ，所以 中的 满足)(f 21)(2f2x412从而函数 f（x）的定义域是 1，4评析：一般地，已知函数 的定义域是 A，求 f（x）的定义域问题，相当于已知 中 x 的取值范)(xf )(f围为 A，据此求 的值域问题。)(x例 2. 已知函数 的定义域是 ，求函数 的定义
2、域。f21，)3(log21xf解： 的定义域是 ，意思是凡被 f 作用的对象都在 中，)(xf， ，由此可得 41)21(3)21()3(log12 xxx所以函数 的定义域是)(l21f 4，评析：这类问题的一般形式是：已知函数 f（x）的定义域是 A，求函数 的定义域。正确理解函数符号)(xf及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知 的值域 B，且 ，据此求 x 的取A值范围。例 2 和例 1 形式上正相反。二、求值问题例 3. 已知定义域为 的函数 f（ x），同时满足下列条件： ；R 51)6()2(ff，求 f（3），f （9）的值。)()(yfxyf解：取
3、，得2， )3(2)6(ff因为 ，所以 又取 ，得51)(ff， 54f 3yx 58)3()9(ff评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取 ，这样便把已知条件 与2， 162ff，欲求的 f（3）沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。2三、值域问题例 4. 设函数 f（x）定义于实数集上，对于任意实数 x、 y， 总成立，且存在 ，使)()(yfxf21x得 ，求函数 的值域。)(21xf)(f解：令 ，得 ，即有 或 。0y20ff 0)(f1)(f若 ，则 ，对任意 均成立，这与存在实数 ，)(f )()fxfxf Rx21x使得 成立矛盾，故 ，必有 。(21ff0(f
4、1)(f由于 对任意 均成立，因此，对任意 ，)yfxyfRyx、 x有 0)2(2( fffxf下面来证明，对任意 xfR，设存在 ，使得 ，则x00)(f 0)()()00xfxf这与上面已证的 矛盾，因此，对任意 ，所以f (fR， f评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。四、解析式问题1.换元法：即用中间变量 表示原自变量 的代数式，从而求出 ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生x()fx的灵活性及变形能力。例 1：已知 ,求 .()21xf()f解：设 ,则 u21u2()1xf2.凑配法：在已知 的条件下，把 拼
5、凑成以 表示的代数式，再利用代换即可求 .此解法简洁，()(fgxh()hxgu()fx还能进一步复习代换法。 例 2：已知 ，求31()f()f解： 又2 2211()3fxxx1|1|xx ，(| |1)23()f3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。例 3 已知 二次实函数，且 +2 +4,求 .()fx 2(1)()fxfx()fx3解:设 = ，则()fx2abc2 2(1)()(1)()(1)()fxfaxbcaxbc= 比较系数得 22()443,2c 23()fx4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例 4
6、.已知 = 为奇函数,当 0 时, ,求y()fxx()lg1)fx(f解: 为奇函数， 的定义域关于原点对称，故先求 0,()f x,()lg1)lfxx 为奇函数， 当 0 时 flg()()ffx()lg(1)fxxlg(1),0xf例 5一已知 为偶函数， 为奇函数，且有 + ， 求 , .)fxxfgf(解： 为偶函数， 为奇函数， , ,()g()x()(x不妨用- 代换 + = 中的 ,xfx1 即 ()f()f1gx显见+即可消去 ,求出函数 再代入求出()gx22()1xg五、单调性问题例 6. 设 f（x）定义于实数集上，当 时， ，且对于任意实数 x、y，有 ，0x1)(
7、xf )()(yfxyf求证： 在 R 上为增函数。)(证明：在 中取 ，得)()yfxyf0x2)0(ff若 ，令 ，则 ，与 矛盾，所以 ，即有0)(f 0， f1)(xf 0)(f 1)(f当 时， ；当 时， ，x1)(xfx00f，而 ，所以)0()ff )(1)xff又当 时， ，所以对任意 ，恒有x1)(f R0)(f设 ，则21 1(0212xfx，4所以 ，所以 在 R 上为增函数。)()()( 11211212 xfxfxfxf )(xfy评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果
8、相关联。六、奇偶性问题例 7. 已知函数 对任意不等于零的实数 都有 ，试判断函)0)(xRf， 21x、 )()(2121xffxf数 f（x ）的奇偶性。解：取 得： ，所以121x， )(1)(fff0)(f又取 得： ，所以21 ff 1f再取 则 ，即121x， )(1)(xffxf)(xff因为 为非零函数，所以 为偶函数。)(f f七、对称性问题例 8. 已知函数 满足 ，求 的值。)(xfy20)(xf )20()(11xfxf解：已知式即在对称关系式 中取 ，所以函数 的图象关于baff ba， )(xfy点（0，2002）对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数 的图象关于
9、点（2002，0）对称。)(1xfy所以 0)1()0(1 xfxf将上式中的 x 用 代换，得 0)2(11xff评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设 a、b 均为常数，函数对一切实数 x 都满足 ，则函数 的图象关于点（a，b）成中心对称图)(fy bafxf)()( )(xfy形。八、五类抽象函数解法1、线性函数型抽象函数线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。例 1、已知函数 f（x）对任意实数 x，y，均有 f（xy ）f（x）f（y），且当 x0 时，f（x）0，f（1）2，求 f（x ）在区间2，1 上的值域。分析：由题设可知，函数 f
10、（x）是 的抽象函数，因此求函数 f（x）的值域，关键在于研究它的单调性。解：设 ，当 ， ， ，5 ，即 ，f（x）为增函数。在条件中，令 y x，则 ，再令 xy 0，则 f（0）2 f（0）， f（0）0，故 f（x）f（x），f（x）为奇函数， f（1）f（1）2，又 f（2）2 f（1）4， f（x ）的值域为4，2。例 2、已知函数 f（x）对任意 ，满足条件 f（x ）f（y）2 + f（xy），且当 x0 时，f（x）2，f（3）5，求不等式的解。 分析：由题设条件可猜测：f（x）是 yx2 的抽象函数，且 f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号
11、，从而可求得不等式的解。 解：设 ，当 ， ，则， 即 ，f（x ）为单调增函数。 ， 又f（3）5，f（1）3。， ， 即 ，解得不等式的解为1 a 3。2、指数函数型抽象函数例 3、设函数 f（x）的定义域是（，），满足条件：存在 ，使得 ，对任何 x 和 y，成立。求：（1）f（0）； （2）对任意值 x，判断 f（x ）值的正负。分析：由题设可猜测 f（x）是指数函数 的抽象函数，从而猜想 f（0）1 且 f（x）0。解：（1）令 y 0 代入 ，则 ，。若 f（x）0，则对任意 ，有 ，这与题设矛盾，f（x ）0，f（0）1。（2）令 yx 0，则 ，又由（1）知 f（x）0，f（2
12、x）0，即 f（x ）0，故对任意x，f（ x） 0 恒成立。例 4、是否存在函数 f（x），使下列三个条件：f（x ）0，x N ； ；f（2）4。同时成立？若存在，求出 f（x）的解析式，如不存在，说明理由。分析：由题设可猜想存在 ，又由 f（2）4 可得 a2故猜测存在函数 ，用数学归纳法证明如下：（1）x 1 时， ，又x N 时，f（x ）0， ，结论正确。（2）假设 时有 ，则 xk1 时， ，x k1时，结论正确。综上所述，x 为一切自然数时 。3、对数函数型抽象函数6对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。例 5、设 f（x）是定义在（ 0，）上的单调增函数，满足 ，
13、求：（1）f（1）；（2）若 f（x） f（x 8）2，求 x 的取值范围。分析：由题设可猜测 f（x）是对数函数 的抽象函数， f（1）0，f（9）2。解：（1） ，f（1）0。（2） ，从而有 f（x ） f（x 8）f（9），即 ，f（x）是（0，）上的增函数，故，解之得：8x9。例 6、设函数 y f（x ）的反函数是 yg（x）。如果 f（ab）f（ a）f（b），那么 g（ab）g（a） g（b）是否正确，试说明理由。分析: 由题设条件可猜测 yf（x ）是对数函数的抽象函数，又 y f（x ）的反函数是 yg（x），yg（x）必为指数函数的抽象函数，于是猜想 g（ab）g（a）g
14、（b）正确。解：设 f（a）m，f（b）n，由于 g（x）是 f（x ）的反函数，g（m）a，g（n）b，从而，g（m）g（n）g（mn），以 a、b 分别代替上式中的 m、n 即得g（ab）g（a）g（b）。4、三角函数型抽象函数三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数。例 7、己知函数 f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：当 是定义域中的数时，有 ；f（a）1（a0，a 是定义域中的一个数）；当 0x2a 时， f（x ）0。试问：（1）f（x）的奇偶性如何？说明理由。（2）在（0，4a）上,f（x）的单调性如何？说明理由。分析: 由题设知 f（x）是 的抽象函数，从而由
15、 及题设条件猜想：f（x）是奇函数且在（0，4a）上是增函数（这里把 a 看成 进行猜想）。解：（1）f（x）的定义域关于原点对称，且 是定义域中的数时有， 在定义域中。，f（x ）是奇函数。（2）设 0x 1x 22a，则 0x 2x 12a，在（0，2a）上 f（x）0，7f（x 1）， f（x 2）， f（x 2x 1）均小于零，进而知 中的 ，于是 f（x 1） f（x 2），在（0，2a）上 f（x）是增函数。又 ，f（a）1， ，f（2a）0，设 2ax4a，则0x 2a 2a，于是 f（x）0，即在（2a，4a）上 f（x）0。设 2ax 1x 24a，则0x 2x 12a，从而
16、知 f（x 1），f（x 2）均大于零。f（x 2x 1）0， ， ，即f（x 1） f（x 2），即 f（x）在（2a，4a）上也是增函数。综上所述，f（x ）在（0，4a）上是增函数。5、幂函数型抽象函数幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。 例 8、已知函数 f（x）对任意实数 x、y 都有 f（xy）f（x） f（y），且 f（1）1，f（27）9，当 时，。（1）判断 f（x）的奇偶性；（2）判断 f（x）在 0，）上的单调性，并给出证明；（3）若 ，求 a 的取值范围。分析：由题设可知 f（x）是幂函数 的抽象函数，从而可猜想 f（x）是偶函数，且在0， ）上是增函数。解：（1）令 y 1，则 f（x ） f（x）f（1），f（1）1，f（x ） f（x ）， f（x）为偶函数。（2）设 ， ， ， 时， ， ，f（x 1）f（x 2），故 f（x）在 0， ）上是增函数。（3）f（27）9，又 ， ， ， ， ， ， ，又 ，故 。
