1、提高兴趣 增强自信 对接高考 分层教学 总结规律 规范答题1分段函数常见题型及解法分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内，有不同的对应法则的函数， 它是一个函数，非几个函数；它的定义域是各段函数定义域的并集，其值域也是各段函数值域的并集.与分段函数有关的类型题的求解，在教材中只出现了由分段函数作出其图象的题型，并未作深入说明，因此，对于分段函数类型的求解不少同学感到困难较多，现举例说明其求解方法1求分段函数的定义域和值域例 1.求函数12,0;()()3,;xf的定义域、值域. 解析：作图, 利用“数形结合”易知 ()fx的定义域为 1,), 值域为（-1 ，2U 3.例 2.求函数
2、的值域.解析：因为当 x0 时，x 2+11；当 x0)的反函数是 y=1-x(x6)3x 6(x 6) )4(af_.7判断分段函数的奇偶性例 1.判断函数2(1)0()xf的奇偶性. 提高兴趣 增强自信 对接高考 分层教学 总结规律 规范答题6解析：当 0x时, x, 22()(1)()(fxxfx, 当 0时, ()ff, 当 , 0, 21)f f因此, 对于任意 xR都有 ()xf, 所以 ()fx为偶函数. 注：分段函数奇偶性必须对 x 值分类，从而比较 f(-x)与 f(x)的关系，得出 f(x)是否是奇偶函数结论. 8判断分段函数的单调性例 1.判断函数32(0)()f的单调性
3、. 解一：分析：由于 xR，所以对于设 x1x2 必须分成三类： 1.当 x1x20 时，则 f(x1)-f(x2)= =(x1-x2)(x1+x2)0； 2.当 0x1x2 时，则 ； 3.当 x10x2 时，则 综上所述：xR，且 x1x2 时，有 f(x1)-f(x2)0。 所以函数 f(x)是增函数. 注：分段函数的单调性的讨论必须对自变量的值分类讨论. 解二：显然 ()f连续. 当 0时, 2()31fx恒成立, 所以 ()fx是单调递增函数, 当0x时 , 2x恒成立, 也是单调递增函数, 所以 在 R上是单调递增函数; 或画图易知 ()f在 R上是单调递增函数. 例 2.写出函数
4、 |1|2|xx的单调减区间. 解析：123()()fx, 画图知单调减区间为12(,. 9解分段函数的方程例 1.设函数 81(,()log)xf, 则满足方程()4fx的 的值为_ 解析：若142x, 则 2x, 得 (,1x, 所以 2（舍去）, 若184logx, 则148x, 解得 3(), 所以 3即为所求. 例 2.设函数 81(,)log)xf, 则满足方程1()4fx的 的值为_yx52o-1252提高兴趣 增强自信 对接高考 分层教学 总结规律 规范答题7解析：若142x, 则 2x, 得 (,1x, 所以 2x（舍去）, 若184logx, 则148x, 解得 3(),
5、所以 3即为所求. 练 1：函数 f(x)=)1|(|2x，如果方程 f(x)=a 有且只有一个实根，那么 a 满足A.a1练 2：设定义为 R 的函数lg,1()0.xf则关于 x的方程2()0fxbfc有 7 个不同的实数解的充要条件是（ ）A. 0b且 c B. b且 c C. 0b且 c D. 且练 3：设函数 ()fx在 ,)上满足 (2)()fxf， (7)fx()f，且在闭区间 ,7上，只有 130f.（）试判断函数 ()yx的奇偶性；（）试求方程 f在闭区间 25,0上的根的个数，并证明你的结论.10解分段函数的不等式例 1：设函数12()()0xf, 若 0()1fx, 则
6、0x得取值范围是（ ）.(,)A.,B2(0)CD解一：首先画出 (yfx和 1y的大致图像, 易知0()1fx时, 所对应的 0的取值范围是 (,1)(,). 解二：因为 0()fx, 当 0x时, 02x, 解得 01x, 当 时, 12, 解得 01x, 综上 0x的取值范围是 (,1)(,). 故选 D. 例 2：设函数()()4xf, 则使得 ()f的自变量 x的取值范围为（ ）A (,0,1 B. (201 C. D. ,xy1-1 1提高兴趣 增强自信 对接高考 分层教学 总结规律 规范答题8解析：当 1x时, 2()(1)0fxx或, 所以 21xx或 0, 当x时, ()43
7、1f, 所以 , 综上所述, 2或 0x, 故选 A 项. 例 3：设函数2(1)()4xf, 则使得 ()1fx的自变量 x的取值范围为（ ）A (,20, B. (0 C. 1 D. 2,1,解析：当 x时, ()1()2fxx或 , 所以 21xx或 0, 当1x时, ()430f, 所以 1, 综上所述, 2或 0x, 故选 A 项. 练 1：已知1(0)()xf ，则不等式 (2)5xfx的解集是_练 2：设 f(x)= 123,log(),xe则不等式 f(x)2 的解集为 _(A)（1，2） （3，+ ）(B)（ 0，+）(C) （1，2） （ 10 ，+）(D)（1，2）练 3：设 f(x)=1()0x为 有 理 数为 无 理 数，使所有 x 均满足 x f(x) g(x)的函数 g(x)是（ ）A g(x)=sinx B g(x)=x C (x)=x2 D g(x)=|x|点评：以上分段函数性质的考查中，不难得到一种解题的重要途径， 若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解，方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解，使问题得到大大简化，效果明显.
