1、1高中数学函数知识点总结1. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致 (两点必须同时具备)2. 求函数的定义域有哪些常见类型？例 ： 函 数 的 定 义 域 是yx432lg （ 答 ： ， ， ， ）0234函数定义域求法： 分式中的分母不为零； 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； 指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 正切函数 xytankxR,2,且 余切函数 cot,且 反三角函数的定义域函数 yarcsinx 的定义域是 1, 1 ，值域是 ，函数 yarccosx 的定
2、义域是 1, 1 ，值域是 0, ，函数 yarctgx 的定义域是 R ，值域是 .，函数 yarcctgx 的定义域是 R ，值域是 (0, ) .当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。3. 如何求复合函数的定义域？ 的 定， 则 函 数，的 定 义 域 是如 ： 函 数 )()(0)( xfxFabxf 义域是_。 （ 答 ： ， ）复合函数定义域的求法：已知 的定义域为 ，求 的定义域，可由)(xfynm,)(xgfy解出 x 的范围，即为 的定义域。nxgm)( g例 若函数 的定义域为 ，则 的定义域为
3、 。)(fy2,1)(log2xf分析：由函数 的定义域为 可知： ；所以 中有 。)(xf,1)(log2xfy2log1x解：依题意知： 2log1x解之，得 422 的定义域为)(log2xf42|x4、函数值域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 求函数 y= 的值域x12、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数 y= -2x+5， x -1，2的值域。23、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂.
4、12.22222ba y型 ： 直 接 用 不 等 式 性 质k+x型 ,先 化 简 ， 再 用 均 值 不 等 式mn 例 ： y1xc 型 通 常 用 判 别 式nxdy型 法 一 ： 用 判 别 式法 二 ： 用 换 元 法 ， 把 分 母 替 换 掉x1（ +） （ x1） 1 例 ： y（ x+） 24、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 求函数 y= 值域。6543x5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例 求函数 y= ， ， 的值域。1x
5、e2sin1y2sin1coy32 22102sin1|si|,2(cos)1cosins14()1,sin()4sin()4即又 由 知解 不 等 式 ， 求 出 ， 就 是 要 求 的 答 案xxeyyyyyxxy6、函数单调性法通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容例求函数 y= （2x10）的值域5xlog31x7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例 求函数 y=x+ 的值域。1x8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式
6、直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例：已知点 P（x.y）在圆 x2+y2=1 上，2,(2),(,0, (1)的 取 值 范 围y-的 取 值 范 围 解 :()令 则 是 一 条 过 -的 直 线 . d为 圆 心 到 直 线 的 距 离 R为 半 径 )2)令 y-即 也 是 直 线 d xykxxRbyxR例求函数 y= + 的值域。2)8(2解：原函数可化简得：y=x-2+x+8 4上式可以看成数轴上点 P（x）到定点 A（2） ，B（-8）间的距离之和。由上图可知：当点 P 在线段 AB 上时，y=x-2+x+8=AB=10当点 P 在线段
7、 AB 的延长线或反向延长线上时，y=x-2+x+8AB=10故所求函数的值域为：10，+）例求函数 y= + 的值域1362x542x解：原函数可变形为：y= +)0(2)10(22上式可看成 x 轴上的点 P（x，0）到两定点 A（3，2） ，B（-2，-1）的距离之和，由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时， y =AB= = ，min )12(343故所求函数的值域为 ，+） 。43注：求两距离之和时，要将函数 9 、不等式法利用基本不等式 a+b2 ，a+b+c3 （a，b，c ） ，求函数的最值，其题型特征解abc3R析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时
8、须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例： 3()12x(3-)0=1. 排除选项 C,D.现在看值域。原函数至于为 y=1,则反函数定义域为 x=1, 答案为 B.我题目已经做完了， 好像没有动笔（除非你拿来写*书） 。思路能不能明白呢？7. 反函数的性质有哪些？反函数性质：1、 反函数的定义域是原函数的值域 （可扩展为反函数中的 x 对应原函数中的 y）2、 反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的 y 对应原函数中的 x）3、 反函数的图像和原函数关于直线=x 对称（难怪点（x,y）和点（y，x）关于直线 y=x 对称互为反函数的图象关于直线 yx 对称；保存了原来函数的单调性、奇
9、函数性； 设 的 定 义 域 为 ， 值 域 为 ， ， ， 则yf(x)ACaAbf(a)=bf1()aabafbf111()，由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如（04. 上海春季高考）已知函数 ，则方程 的解 _.)24(log)(3xf 4)(1xfx8 . 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）判断函数单调性的方法有三种：(1)定义法：根据定义，设任意得 x1,x2，找出 f(x1),f(x2)之间的大小关系可以变形为求 的正负号或者 与 1 的关系12()ff2(fx(2)参照图象：若函数 f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数 f(x)在关于点(a，
10、0)的对称区间具有相同的单调性； （特例：奇函数）若函数 f(x)的图象关于直线 xa 对称，则函数 f(x)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调性。 （特例：偶函数）(3)利用单调函数的性质：函数 f(x)与 f(x)c(c 是常数)是同向变化的函数 f(x)与 cf(x)(c 是常数)，当 c0 时，它们是同向变化的；当 c0 时，它们是反向变化的。如果函数 f1(x)，f2(x)同向变化，则函数 f1(x)f2(x)和它们同向变化；（函数相加）如果正值函数 f1(x)，f2(x)同向变化，则函数 f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数 f1(2)与 f2(x)同向变化，
11、则函数 f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘）函数 f(x)与 在 f(x)的同号区间里反向变化。1()fx若函数 u(x)，x，与函数 yF(u)，u()，()或 u(),()同向变化，则在，上复合函数 yF(x)是递增的；若函数 u(x),x，与函数 yF(u)，u()，()或 u()，()反向变化，则在，上复合函数 yF(x)是递减的。 （同增异减）7若函数 yf(x)是严格单调的，则其反函数 xf 1 (y)也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。如 ： 求 的 单 调 区 间yxlog12（ 设 ， 由 则uux02且 ， ， 如 图 ：l1221 u O 1 2 x 当
12、， 时 ， ， 又 ， xuuy(log0112当 ， 时 ， ， 又 ， )2）9. 如何利用导数判断函数的单调性？在 区 间 ， 内 ， 若 总 有 则 为 增 函 数 。 （ 在 个 别 点 上 导 数 等 于abfxf()()0零 ， 不 影 响 函 数 的 单 调 性 ） ， 反 之 也 对 ， 若 呢 ？x0值是（ ）如 ： 已 知 ， 函 数 在 ， 上 是 单 调 增 函 数 ， 则 的 最 大afa a013()A. 0 B. 1 C. 2 D. 3（ 令 fxx()3302则 或a由 已 知 在 ， 上 为 增 函 数 ， 则 ， 即fxa()1313f(g)g(x)fg(
13、x)f(x)+g(x)f(x)*g(x) 都是正数增 增 增 增 增增 减 减 / /减 增 减 / /减 减 增 减 减8a 的最大值为 3）10. 函数 f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f(x)定义域关于原点对称）若 总 成 立 为 奇 函 数 函 数 图 象 关 于 原 点 对 称fxffx()()若 总 成 立 为 偶 函 数 函 数 图 象 关 于 轴 对 称y注意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。（ ） 若 是 奇 函 数 且 定 义 域 中 有 原 点 ， 则 。2f(x) f(0
14、)如 ： 若 为 奇 函 数 ， 则 实 数aax21（ 为 奇 函 数 ， ， 又 ， fRf() ()00即 ， ）aa2110又 如 ： 为 定 义 在 ， 上 的 奇 函 数 ， 当 ， 时 ， ，fxxfxx()()()()01241求 在 ， 上 的 解 析 式 。f()1（ 令 ， ， 则 ， ，xxfxx001241()又 为 奇 函 数 ， ffxx()()24又 ， ， ）ffxxx()()()01024111.判断函数奇偶性的方法一、 定义域法一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函
15、数.二、 奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算 ，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶)(xf性.9这 种 方 法 可 以 做 如 下 变 形f(x)+- =0奇 函 数偶 函 数f1 偶 函 数 (-)x奇 函 数f三、 复合函数奇偶性12. 你熟悉周期函数的定义吗？（ 若 存 在 实 数 （ ） ， 在 定 义 域 内 总 有 ， 则 为 周 期TfxTffx0()()函数，T 是一个周期。 ）如 ： 若 ， 则fxaf()（ 答 ： 是 周 期 函 数 ， 为 的 一 个 周 期 ）Tafx()()2我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你 f(x)+f(x+
16、t)=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期 2t. 推导： ，()()0()(2)2fxfxt fxfxttt同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说 f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数 f(x)关于直线对称， 对称轴可以由括号内的 2 个数字相加再除以 2 得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说 f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线 x=a 对称。如：()()()22(), ,()2),()2| ,fxxabfafbff xtxtaftbafbf 又 如 ： 若 图 象 有 两 条 对 称 轴 ，即 ，令 则即所 以 函 数 以
17、 为 周 期 因 不 知 道 的 大 小 关 系为 保 守 起 见 我 加 了 一 个 绝 对 值13. 你掌握常用的图象变换了吗？联想点（x,y）,(-x,y)fxy()与 的 图 象 关 于 轴 对 称f(g) g(x) fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x)奇 奇 奇 奇 偶奇 偶 偶 非奇非偶奇偶 奇 偶 非奇非偶奇偶 偶 偶 偶 偶10联想点（x,y）,(x,-y)fxfx()()与 的 图 象 关 于 轴 对 称联想点（x,y）,(-x,-y)与 的 图 象 关 于 原 点 对 称联想点（ x,y）,(y,x)f y()与 的 图 象 关 于 直 线 对 称1联想点（ x,
18、y）,(2a-x,y)xaxa)与 的 图 象 关 于 直 线 对 称2联想点（x,y）,(2a-x,0)ffx()()与 的 图 象 关 于 点 ， 对 称0将 图 象 左 移 个 单 位右 移 个 单 位yayfax ()()上 移 个 单 位下 移 个 单 位byfxab()() 0（这是书上的方法，虽然我从来不用， 但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。你要判断函数 y-b=f(x+a)怎么由 y=f(x)得到，可以直接令 y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。 看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。 ）注意如下“翻折”变换：()|()|x|yfxf 把 轴 下 方 的 图 像 翻 到 上 面把 轴 右 方 的 图 像 翻 到 上 面如 ： f()log21作 出 及 的 图 象yxxlog21 y y=log2x O 1 x 14. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？ (k0) y=b O(a,b) O x x=a
