1、1函数的三要素： 对应法则、定义域、值域只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。例：判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？1 解：不是同一函数，定义域不同3)5(xy52xy2。 解：不是同一函数，定义域不同1)1(3。 解：不是同一函数，值域不同xf)( 2)(xg4 解：是同一函数3F5 解：不是同一函数，定义域、值域都不同21)5()xf 5(xf关于复合函数设 f(x)=2x3 g(x)=x2+2 则称 fg(x)（或 gf(x)）为复合函数。fg(x)=2(x2+2)3=2x2+1gf(x)=(2x3)2+2=4x212x+11例：已知：f(x)=x 2x+3
2、求：f( ) f(x+1)1解：f( )=( )2 +3 f(x+1)=(x+1)2(x+1)+3=x2+x+311. 函数定义域的求法分式中的分母不为零；偶次方根下的数（或式）大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。正切函数tan.(,)2yxRxk且余切函数 cot ,且反三角函数的定义域 (有些地方不考反三角 ,可以不理)函数 yarcsinx 的定义域是 1, 1 ，值域是2，函数 yarccosx 的定义域是 1, 1 ，值域是 0, ，函数 yarctgx 的定义域是 R ，值域是(,)，函数 yarcctgx 的定义域是 R ，值域是
3、 (0, ) .注意，21. 复合函数的定义域。如：已知函数 ()fx的定义域为（1，3），则函数 ()1)(2)Fxffx的定义域。1(,3)2x2. 函数 的定义域为 (,)ab,函数 ()g的定义域为 ,mn,则函数 ()fgx的定义域为 (,)xmn，解不等式，最后结果才是3.这里最容易犯错的地方在这里：已知函数 (1)fx的定义域为 (1,3),求函数 ()fx的定义域；或者说，已知函数 (1)fx的定义域为(3,4),则函数 2的定义域为_?一、复合函数的构成设 ()ugx是 A到 B的函数， ()yfu是 B到 C上的函数，且 BB，当 u取遍B中的元素时， y取遍 C，那么 g
4、x就是 A到 上的函数。此函数称为由外函数yf和内函数 ()ugx复合而成的复合函数。 说明：复合函数的定义域，就是复合函数 ()yfx中 的取值范围。 x称为直接变量， u称为中间变量， u的取值范围即为 ()gx的值域。 )(gf与 )(xf表示不同的复合函数。例 2：若函数 )(f的定义域是0，1，求 )21(xf的定义域；若 1x的定义域是-1，1，求函数 的定义域；已知 )3(f定义域是 5,4，求 )3(xf定义域要点 1：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的 解答： 函数 )2(xf是由 A 到 B 上的函数 xu21与 B 到 C 上的
5、函数 )(ufy复合而成的函数函数 的定义域是0，1， B=0,1，即函数 xu21的值域为0，1 120x， 02x，即 2x， 函数 )(f的定义域0， 21 函数 )(f是由 A 到 B 上的函数 1u与 B 到 C 上的函数 (ufy复合而成的函数x的定义域是-1，1， A=-1,1，即-1 x，3 123x,即 12xu的值域是-3，1， )(xfy的定义域是-3，1要点 2：若已知 )(f的定义域为 A，则 )(xgf的定义域就是不等式 Ag的 x的集合；若已知)(gf的定义域为 ，则 )(f的定义域就是函数 )(的值域。 函数 )3xf是由 A 到 B 上的函数 3xu与 B 到
6、 C 上的函数 (ufy复合而成的函数(的定义域是-4，5), A=-4,5)即 54， 831x即 3x的值域 B=-1，8）又 )32(xf是由 到 上的函数 32xu与 B 到 C 上的函数 )(ufy复合而成的函数，而 B,从而u的值域 )8,1B 8 ,12x 21x )32(xf的定义域是1， 2）例 4：已知函数 xf1(, )(求 )(xf的值域。分析：令 xu， )(；则有 1)(2ug， 0复合函数 f是由 x与 1)(2ug复合而成，而 1)(2ug， )0(的值域即)(xf的值域，但 )(2的本身定义域为 R,其值域则不等于复合函数 xf的值域了。2求有关复合函数的解析
7、式，例 6已知 ,1)(2xf求 )(xf；已知 ，求 例 7已知 xf)1(，求 )(f；已知 2)(f，求 )1(xf要点 3：已知 )(xf求复合函数 )(gf的解析式，直接把 (f中的 x换成 )(g即可。已知 g求 的常用方法有：配凑法和换元法。4配凑法就是在 )(xgf中把关于变量 x的表达式先凑成 )(xg整体的表达式，再直接把 )(xg换成 而得)(xf。换元法就是先设 t)(，从中解出 （即用 t表示 ），再把 （关于 t的式子）直接代入 )(f中消去 得到 tf，最后把 f中的 直接换成 x即得 )(f，这种代换遵循了同一函数的原则。例 8已知 )(x是一次函数，满足 17
8、2)1(3xf ，求 )(xf；已知ff4123，求 )(xf要点 4： 当已知函数的类型求函数的解析式时，一般用待定系数法。 若已知抽象的函数表达式，则常用解方程组、消参的思想方法 求函数的解析式。已知 )(xf满足某个等式，这个等式除 )(xf是未知量外，还出现其他未知量，如 )(xf、1f等，必须根据已知等式再构造出其他等式组成方程组，通过解方程组求出 )(xf。三、总结：复合函数的构成；设函数 )(ufy， )(xg，则我们称 )(xgfy是由外函数 )(ufy和内函数 )(xg复合而成的复合函数。其中 被称为直接变量， u被称为中间变量。复合函数中直接变量 x的取值范围叫做复合函数的
9、定义域，中间变量 的取值范围，即是 的值域，是外函数 f的定义域。有关复合函数的定义域求法及解析式求法：定义域求法：求复合函数的定义域只要解中间变量的不等式（由 bxga)(解 ）；求外函数的定义域只要求中间变量的值域范围（由 bxa求 )(g的值域）。已知一个复合函数求另一个复合函数的定义域，必须先求出外函数的定义域。特别强调，此时求出的外函数的定义域一定是前一个复合函数的内函数的值域，例 2（3）反映明显。解析式求法：待定系数法、配凑法、换元法、解方程组消元法2. 函数值域的求法（1）、直接观察法对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,5其值域可通过观
10、察直接得到。例 求函数1,2yx的值域例 2. 求函数 3的值域。解： 0x 3x,0 故函数的值域是： 3,（2）、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例 3. 求函数 2,1x,52y的值域。解：将函数配方得： 4)(2 2,1x由二次函数的性质可知：当 x=1 时， ymin，当 时， 8ymax 故函数的值域是：4，8（3）、根判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简如: . 12.22222ba y型 ： 直 接 用 不 等 式 性 质k+x型 ,先 化 简 ， 再 用 均 值 不 等 式mn 例 ： y1x
11、c 型 通 常 用 判 别 式nxdy型 法 一 ： 用 判 别 式法 二 ： 用 换 元 法 ， 把 分 母 替 换 掉x1（ x+） （ 1） + 1 例 ： y （ x） 26例 4. 求函数 2x1y的值域。解：原函数化为关于 x 的一元二次方程 0x)1y()(2（1）当 y时， R )(4)1(2 解得： 23y1（2）当 y=1 时， 0x，而 23,故函数的值域为 23,14、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域)直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 求函数3456xy值域。 643435xyyyx,分母不等于 0,即35y5、函数有界
12、性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界 性，来确定函数的值域。7我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例. 求函数 3xsincoy的值域。解：由原函数式可得： y3xcosi，可化为： y3)x(sin1y2即 1y3)x(sin2 Rx 1,)x(sin 即1y2解得： 4 故函数的值域为 42,6.倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例 求函数23xy的值域20111220时 ，时 ， =0xxyyxy7. 函数单调性法例. 求函数 1xy的值域。解：原函数可化为： 1x2令 1xy,21，显然 21y,在 ,上为无上界的增函数所
13、以 1， 2在 ,上也为无上界的增函数8所以当 x=1 时， 21y有最小值 ，原函数有最大值2显然 0y，故原函数的值域为 ,0(7. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，例 11. 求函数 1xy的值域。解：令 t1x， )0( 则 t2 43)21t(ty2又 0t，由二次函数的性质可知 当 0t时， min 当 0t时， y故函数的值域为 ),1例 14. 求函数 )1x)(cos(siny， 2,的值域。解： )(c1x(si1xcosinsi 令 tcosin，则)1t(2xosin22)1t(t)1t(y由 )4/xsin
14、(2cxsit 且 2,1x可得： t2 当 2t时， 23ymax，当 2t时， 243y故所求函数的值域为 23,4。8. 数形结合法9例 17. 求函数 5x413x6y22的值域。解：原函数可变形为： 2222 )10()x()0()3x(y 上式可看成 x 轴上的点 ),(P到两定点 ),(B),3A的距离之和，由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时， 43)12()3(|ymin ，故所求函数的值域为 ,4310. 一一映射法原理：因为)0c(dxbay在定义域上 x 与 y 是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。例 21. 求函数 1x23y的值域。解：定义域为 2|或由 1x23y得 3y2故 213yx或 213yx解得 23y或故函数的值域为,2,多种方法综合运用总之，在具体求某个函数的值域时，10首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。例. 求函数 3x2y的值域。解：令 )0t(2t，则 1t2（1）当 0t时， t1ty2，当且仅当 t=1，即 1x时取等号，所以 21y0（2）当 t=0 时，y=0。综上所述，函数的值域为： 21,0注：先换元，后用不等式法
