1、- 1 -高考数学圆锥曲线部分知识点梳理1、方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。点与曲线的关系：若曲线 C 的方程是 f(x,y)=0，则点 P0(x0,y0)在曲线 C 上f(x0,y 0)=0；点 P0(x0,y0)不在曲线 C 上 f(x0,y0)0。两条曲线的交点：若曲线 C1，C 2的方程分别为 f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,
2、则点 P0(x0,y0)是 C1，C 2的交点 方程组有 n 个不同的实数解，两条曲线就有 n 个不0),(2yxf同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。二、圆：1、定义：点集MOM=r ，其中定点 O 为圆心，定长 r 为半径.2、方程：(1)标准方程：圆心在 c(a,b)，半径为 r 的圆方程是(x-a) 2+(y-b)2=r2圆心在坐标原点，半径为 r 的圆方程是 x2+y2=r2(2)一般方程：当 D2+E2-4F0 时，一元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为 半径是 。配方，将方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 化为),(E24FE(x+ )2
3、+(y+ )2=D4F-2当 D2+E2-4F=0 时，方程表示一个点(- ,- );2DE当 D2+E2-4F0 时，方程不表示任何图形.（3）点与圆的位置关系 已知圆心 C(a,b),半径为 r,点 M 的坐标为(x 0,y0)，则MCr 点 M 在圆 C 内，MC=r 点 M 在圆 C 上，MCr 点 M 在圆C 内，其中MC= 。2020b)-(ya)-(x（4）直线和圆的位置关系：直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线- 2 -与圆相交 有两个公共点；直线与圆相切 有一个公共点；直线与圆相离 没有公共点。直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心 C(a,b)到
4、直线Ax+By+C=0 的距离 与半径 r 的大小关系来判定。2BACbad三、圆锥曲线的统一定义：平面内的动点 P(x,y)到一个定点 F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之 比是一个常数 e(e0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点 F(c,0)称为焦点，定直线 l 称为准线，正常数 e 称为离心率。当 0e1 时，轨迹为椭圆；当 e=1 时，轨迹为抛物线；当 e1 时，轨迹为双曲线。四、椭圆、双曲线、抛物线：椭圆 双曲线 抛物线定义1到两定点 F1,F2的距离之和为定值2a(2a|F1F2|)的点的轨迹2与定点和直线的距离之比为定值 e的点的轨迹.（01）与定点和
5、直线的距离相等的点的轨迹.轨迹条件点集：(MMF 1+MF 2=2a,F 1F22a点集：MMF 1-MF 2.=2a,F 2F22a.点集M MF=点M 到直线 l 的距离.- 3 -图形方程标准方程12byax(a0) 12byax(a0,b0) pxy2参数方程为 离 心 角 ）参 数 (sincobyax为 离 心 角 ）参 数 (tansecbyxptyx2(t 为参数)范围 a xa，byb |x| a，y R x0中心 原点 O（0，0） 原点 O（0，0）顶点 (a,0), (a,0), (0,b) , (0,b)(a,0), (a,0) (0,0)对称轴x 轴，y 轴；长轴长
6、 2a,短轴长2bx 轴，y 轴;实轴长 2a, 虚轴长 2b.x 轴焦点 F1(c,0), F2(c,0) F1(c,0), F2(c,0) )0,2(pF准 线x= ca准线垂直于长轴，且在椭圆外.x= ca准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.x=-准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距- 4 -离相等.焦距 2c （c= 2ba） 2c （c= 2ba）离心率 )10(ec )1(ece=1【备注 1】双曲线：等轴双曲线：双曲线 22ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为 xy，离心率2e.共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线. 2byax与 2
7、byax互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02byax.共渐近线的双曲线系方程： )0(2byax的渐近线方程为 02byax如果双曲线的渐近线为 0byax时，它的双曲线方程可设为 )0(2byax.【备注 2】抛物线：（1）抛物线 =2px(p0)的焦点坐标是( ,0)，准线方程 x=- ，开口向右；抛物2y2p2p线 =-2px(p0)的焦点坐标是(- ,0)，准线方程 x= ，开口向左；抛物线2y=2py(p0)的焦点坐标是(0, )，准线方程 y=- ，开口向上；2x 2p2p抛物线 =-2py（p0）的焦点坐标是（0,- ） ，准线方程 y= ，开口向下.2 2p（2）抛物线
8、=2px(p0)上的点 M(x0,y0)与焦点 F 的距离 ；抛物线 =-2y 0xM2y2px(p0)上的点 M(x0,y0)与焦点 F 的距离 02xp（3）设抛物线的标准方程为 =2px(p0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为 ，2y 2p- 5 -顶点到准线的距离 ，焦点到准线的距离为 p.2p（4）已知过抛物线 =2px(p0)焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，则线段 AB 称为y焦点弦，设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长 = +p 或 ( 为直线 ABAB21x2sinp的倾斜角)， ， ( 叫做焦半径).21py,4121pxFx五、坐标的变换：（1）坐标变换：在解
9、析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.（2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。（3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点 M，它在原坐标系 xOy 中的坐标是9x,y)，在新坐标系 x Oy中的坐标是 .设新坐标系的原点 O在原坐标),(yx系 xOy 中的坐标是(h,k)，则 或 kyhx kh叫做平移(或移轴)公式.（4）中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表：方 程 焦 点 焦 线 对称
10、轴+ =12h)-(xa2k)-(yb(c+h,k) x= +hca2x=hy=k椭圆+ =12)-(2)-(h,c+k) y= +kc2x=hy=k- =12h)(xa2k)(yb(c+h,k) x= +kca2x=hy=k双曲线- =12)(2)(h,c+h) y= +kc2x=hy=k- 6 -(y-k)2=2p(x-h) ( +h,k)2px=- +h2py=k(y-k)2=-2p(x-h) (- +h,k) x= +h y=k(x-h)2=2p(y-k) (h, +k)2py=- +k2px=h抛物线(x-h)2=-2p(y-k) (h,- +k) y= +k x=h六、椭圆的常用结
11、论：1. 点 P 处的切线 PT 平分PF1F2 在点 P 处的外角.2. PT 平分PF1F2 在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若 在椭圆 上，则过 的椭圆的切线方程是 .0(,)Pxy21xyab0P021xyab6. 若 在椭圆 外，则过 作椭圆的两条切线切点为 P1、P 2，则切点0(,)20弦 P1P2的直线方程是 .021xyab7. 椭圆 (ab0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆
12、上任意一点21xya，则椭圆的焦点角形的面积为 .12FP12tanPSb8. 椭圆 （ab0）的焦半径公式 , ( ,21xy10|MFex20|Faex1)c).2(,0)Fc0,)M9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MFNF.10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，- 7 -A1P 和 A2Q 交于点 M，A 2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.11. AB 是椭圆 的不平行于对称轴的弦，M 为 AB 的中
13、点，则xyab),(0yx，即 。2OMABbk02yxKAB12. 若 在椭圆 内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是0(,)Pxy21ab；202xab【推论】：1、若 在椭圆 内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 。0(,)Pxy21xyab 202xyab椭圆 （abo）的两个顶点为 , ，与 y 轴平行的直线交椭圆211(0)Aa2()于 P1、 P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是 .2xyb2、过椭圆 (a0, b0)上任一点 任意作两条倾斜角互补的直线交2xyab0(,)A椭圆于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且 （常数）.20BCbxkay3、若 P 为椭圆 （a
14、b0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 21xy, ，则 .12F21Ftant2co4、设椭圆 （ab0）的两个焦点为 F1、F 2,P（异于长轴端点）为椭圆上2xy任意一点，在PF 1F2中，记 , , ，则有12PF1212P.sincea5、若椭圆 （ab0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，左准线为 L，则当21xy0e 时，可在椭圆上求一点 P，使得 PF1是 P 到对应准线距离 d 与 PF2的比例中项.- 8 -6、P 为椭圆 （ab0）上任一点,F 1,F2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则21xy,当且仅当 三点共线时，等号成立.211|aAFPAF2,FP7
15、、椭圆 与直线 有公共点的充要条件是2200()()xyb0xByC.2220()aBbC8、已知椭圆 （ab0） ，O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且21xy.（1） ;（2）|OP| 2+|OQ|2的最大值为 ;（3）OPQ221|OP 24ab的最小值是 .PS2ab9、过椭圆 （ab0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点，弦 MN21xy的垂直平分线交 x 轴于 P，则 .|2eMN10、已知椭圆 （ ab0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平21y分线与 x 轴相交于点 , 则 .0()Px220babx11、设 P 点是椭圆 （ ab0）上异于长
16、轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点21y记 ，则(1) .(2) .12F212|cosPF12tanPFSb12、设 A、B 是椭圆 （ ab0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，2xy, , ，c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)PBA.(2) .(3) .2|cos|ab2tan12cotPABabS13、已知椭圆 （ ab0）的右准线 与 x 轴相交于点 ，过椭圆右焦点21xylE的直线与椭圆相交于 A、B 两点,点 在右准线 上，且 轴，则直线 AC 经过FClCx线段 EF 的中点.- 9 -14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应
17、焦点的连线必与切线垂直.15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e.18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.七、双曲线的常用结论：1、点 P 处的切线 PT 平分PF 1F2在点 P 处的内角.2、PT 平分PF 1F2在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆
18、，除去长轴的两个端点.3、以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4、以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5、若 在双曲线 （a0,b0）上，则过 的双曲线的切线方程是0(,)xy21xyb0P.21ab6、若 在双曲线 （a0,b0）外 ，则过 Po 作双曲线的两条切线0(,)Pxy21xyb切点为 P1、P 2，则切点弦 P1P2的直线方程是 .021xyab7、双曲线 （a0,bo）的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为双曲线上任意2xyb一点 ，则双曲线的焦点角形的面积为 .12FP12tPSbco- 10 -8、双曲线
19、（a0,bo）的焦半径公式：( , ）当21xyb 1(0)Fc2(,)c在右支上时， , ；当 在左支上时，0(,)M10|MFexa20|Fexa0,Mxy, 。1|Fexa20|9、设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点，则 MFNF.10、过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和 A2Q 交于点 M，A 2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.11、AB 是双曲线 （a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M
20、为 AB 的21xyb ),(0yx中点，则 ，即 。02yKABOM 02yxbKAB12、若 在双曲线 （a0,b0）内，则被 Po 所平分的中点弦的方0(,)Pxy21x程是 .202ab13、若 在双曲线 （a0,b0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程0(,)Pxy21xyb是 .202ab【推论】：1、双曲线 （a0,b0）的两个顶点为 , ，与 y 轴平行的直21xyb1(0)Aa2()线交双曲线于 P1、 P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是 .21xyb2、过双曲线 （a0,bo）上任一点 任意作两条倾斜角互补的直线2xyb0(,)A交双曲线于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且 （常数）.20BCbxkay3、若 P 为双曲线 （a0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 21xyb2是焦点, , ，则 （或 ）.12F21PFtant2ccotant2cco
