1、双曲线平面内到两个定点 , 的距离之差的绝对值是常数 2a(2a )的点的轨迹。12 |12|方程 2(0,)xyab2(0,)yxab简图_x_O_y_x_O_y范围 ,xayR或 ,yaR或顶点 (0)(0)焦点 ,c ,c渐近线 byxaayxb离心率 (1)e(1)e对称轴 关于 x 轴、y 轴及原点对称 关于 x 轴、y 轴及原点对称准线方程2ac2aca、b、c 的关系22ab考点题型一 求双曲线的标准方程1、给出渐近线方程 的双曲线方程可设为 ，与双曲线nyxm2(0)xymn共渐近线的方程可设为 。2xyab2(0)yab2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。【例 1】
2、求适合下列条件的双曲线标准方程。（1） 虚轴长为 12，离心率为 ；54（2） 焦距为 26，且经过点 M（0，12） ；（3） 与双曲线 有公共渐进线，且经过点 。2196xy3,2A解：（1）设双曲线的标准方程为 或 。21xyab21xab(0,)b由题意知，2b=12， = 。ce54b=6，c=10，a=8。标准方程为 或 。2361x2136yx（2）双曲线经过点 M（0，12） ，M（0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在 y 轴上，且 a=12。又 2c=26，c=13。 。2214bca标准方程为 。145yx（3）设双曲线的方程为2ab29216=在双曲线上,2A 得319
3、64所以双曲线方程为219xy题型二 双曲线的几何性质方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是 e、a、b、c 四者的关系，构造出 和 的关系式。cea22b【例 2】双曲线 的焦距为 2c，直线 l 过点（a，0）和（0，b） ，且21(0,)xy点（1，0）到直线 l 的距离与点（ -1，0）到直线 l 的距离之和 s 。求双曲线的离心率45ce 的取值范围。解：直线 l 的方程为 ，级 bx+ay-ab=0。1xyab由点到直线的距离公式，且 a1，得到点（1，0）到直线 l 的距离 ，12()bad同理得到点（-1，0）到直线 l 的距离 ，22(1)bad。1
4、22absdc由 s ，得 ，即 。45c4522ac于是得 ，即 。221e50e解不等式，得 。由于 e10，所以 e 的取值范围是 。24 52e【例 3】设 F1、F 2 分别是双曲线 的左、右焦点，若双曲线上存在点 A，使2xyab，且AF 1=3AF 2，求双曲线的离心率。1290A解： 2214Fc又AF 1=3AF 2， 即 ，Aa2AF ，2222219104ac 即 。04cae题型三 直线与双曲线的位置关系方法思路：1、研究双曲线与直线的位置关系，一般通过把直线方程与双曲线方程组成方程组，即 ，对解的个数进行讨论，但必须注意直线与双曲线有一个公共220AxByCbab点和
5、相切不是等价的。2、直线与双曲线相交所截得的弦长： 21211lkxyk【例 4】如图，已知两定点 ，满足条件 的点 P 的轨12(,0)(,)F21PF迹是曲线 E，直线 y=kx-1 与曲线 E 交于 A、B 两点，如果 ，且曲线 E 上存在63AB点 C，使 ，求OABmC（1）曲线 E 的方程；（2）直线 AB 的方程；（3）m 的值和ABC 的面积 S。yxOBAC解：由双曲线的定义可知，曲线 E 是以 为焦点的双曲线的左支， 12(,0)(,)F且 ，a=1，易知 。2c21bca故直线 E 的方程为 ，2()xy(2)设 , ,1A()2B()由题意建立方程组 消去 y，得 。2
6、=k-1x2(1)0kx又已知直线与双曲线左支交于两点 A、B，有解得 。22120,()8)0,.kkxkA21k又 2221211()4ABxkxx2222)1()4(k依题意得 ，整理后得 ，263()k42850k 或 。257k4但 ，1 。52k故直线 AB 的方程为 。10xy（3）设 ，由已知 ，得 ，(,)cCxyOABmC12(,)(,)(,)cxymxy 。1212,)(0xy又 ， ，1245kx212122()81kkx点 。458(,)Cm将点 C 的坐标代入曲线 E 的方程，的 ，280641m得 ，但当 时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意。44 ，C 点的坐
7、标为 ，(5,)C 到 AB 的距离为 ，2135()ABC 的面积 。16S一、抛物线高考动向：抛物线是高考每年必考之点，选择题、填空题、解答题皆有，要求对抛物线定义、性质、直线与其关系做到了如指掌，在高考中才能做到应用自如。（一） 知识归纳方程 2(0)ypx2(0)ypx 2(0)py2(0)xpy图形 OFll顶点 （0，0）对称轴x 轴 y 轴焦点 (,0)2pF(,)2pF(0,)2pF(0,)2pF离心率e=1准线 :lx:lx:ly:ly（二）典例讲解题型一 抛物线的定义及其标准方程方法思路：求抛物线标准方程要先确定形式，因开口方向不同必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为
8、或 。2ymx2(0)y【例 5】根据下列条件求抛物线的标准方程。Ol（1）抛物线的焦点是双曲线 的左顶点；21694xy（2）经过点 A（2，3） ；（3）焦点在直线 x-2y-4=0 上；（4）抛物线焦点在 x 轴上，直线 y=-3 与抛物线交于点 A，AF=5.解：（1）双曲线方程可化为 ，左顶点是（-3，0）2196y由题意设抛物线方程为 且 ，2()px32pp=6.方程为 21yx（2）解法一：经过点 A（2，3）的抛物线可能有两种标准形式：y22 px 或 x22 py 点 A（2，3）坐标代入，即 94 p，得 2p 9点 A（2，3）坐标代入 x22 py，即 46 p，得
9、2p 34所求抛物线的标准方程是 y2 x 或 x2 y解法二：由于 A（2，-3）在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为 或 ，2ymx2ny代入 A 点坐标求得 m= ，n=- ，934所求抛物线的标准方程是 y2 x 或 x2 y34（3）令 x=0 得 y=2，令 y=0 得 x=4， 直线 x-2y-4=0 与坐标轴的交点为（0，-2） ， （4，0） 。焦点为（0，-2） ， （4，0） 。抛物线方程为 或 。28xy216x（4）设所求焦点在 x 轴上的抛物线方程为 ，A（m，-3） ，由抛物2(0)ypx线定义得 ，p52AFm又 ，2(3) 或 ，1p9故所求抛物线方程为 或
10、 。2yx218yx题型二 抛物线的几何性质方法思路：1、凡设计抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线 l 的距离处理，例如若 P（x 0，y 0）为抛物线 上一点，则 。2(0)ypx02pPFx2、若过焦点的弦 AB， ， ，则弦长 ， 可由1(,)A2,B1AB12x韦达定理整体求出，如遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似得到。【例 6】设 P 是抛物线 上的一个动点。24yx（1） 求点 P 到点 A（-1，1）的距离与点 P 到直线 的距离之和的最小值；1x（2） 若 B（3，2） ，求 的最小值。F解：（1）抛物线焦点为 F（1，0） ，准线方
11、程为 。P 点到准线 的距离等于 P 点到 F（1，0）的距离，x问题转化为：在曲线上求一点 P，使点 P 到 A（-1，1）的距离与 P 到 F（1，0）的距离之和最小。显然 P 是 AF 的连线与抛物线的交点，最小值为 5AF（2）同理 与 P 点到准线的距离相等，如图：过 B 做 BQ准线于 Q 点，交抛物线与 P1点。 ，1P 。14FB 的最小值是 4。B题型三 利用函数思想求抛物线中的最值问题方法思路：函数思想、数形结合思想是解决解析几何问题的两种重要的思想方法。【例 7】已知抛物线 yx 2，动弦 AB 的长为 2，求 AB 的中点纵坐标的最小值。分析一：要求 AB 中点纵坐标最
12、小值，可求出 y1y 2 的最小值，从形式上看变量较多，结合图形可以观察到 y1、y 2 是梯形 ABCD 的两底，这样使得中点纵坐标 y 成为中位线，可以利用几何图形的性质和抛物线定义求解。解法一：设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点为 M(x,y)由抛物线方程 yx 2 知焦点 ,准线方程1F(0)4，设点 A、B、M 到准线的距离分别为4y|AD1|、 |BC1|、|MN|，则|AD 1|BC 1|2|MN|，且，根据抛物线的定义，有N=2(+)|AD1| |AF|、|BC 1|BF|, |AF|BF|AB| 2，2(y+)4yxAOPF 12(y+)4 ,即点 M 纵坐
13、标的最小值为 。334分析二：要求 AB 中点 M 的纵坐标 y 的最小值，可列出 y 关于某一变量的函数，然后求此函数的最小值。解法二：设抛物线 yx 2上点 A(a,a2),B(b,b2)，AB 的中点为 M(x，y)，则,22bax|AB|2，(ab) 2(a 2b 2)4，则(ab) 24ab(a 2b 2)24a 2b24则 2xab,2ya 2b 2,得 ab2x 2y,4x 24(2x 2y)4y 24(2x 2y)4整理得 14xy 43142)(122 即点 M 纵坐标的最小值为 3/4。练习：1、以 y= 32x 为渐近线的双曲线的方程是（ ）、3 y22 x2=6 、9
14、y28 x2=1 C、3 y22 x2=1 D、9 y24 x2=36【答案 D】解析：A 的渐近线为 ，B 的渐近线为=3C 的渐近线为 ，只有 D 的渐近线符合题意。2y3x2、若双曲线 的左支上一点 P（a，b）到直线 y=x 的距离为 ，则 a+b 的值为21xy 2（ ）A、 B、 C、 D、2【答案 A】解析：P 在双曲线上， 即（a+b） （a-b）=121ab又 P（a，b）到直线 y=x 的距离为 2 且2b即 aba+b= 13、如果抛物线的顶点在原点、对称轴为 x 轴，焦点在直线 上，那么抛物34120xy线的方程是（）A、 B、216yx21yC、 D、 x【答案 C】
15、解析：令 x=0 得 y=3，令 y=0 得 x=4， 直线 与坐标轴的交点为（0，-3） ， （4，0） 。3412xy焦点为（0，-3） ， （4，0） 。抛物线方程为 或 。2216yx4、若抛物线 y= x2上一点 P 到焦点 F 的距离为 5，则 P 点的坐标是1A.（4，4） B.（4，4） C.（ ， ） D.（ ， ）1679887916【答案 B】解析：抛物线的焦点是（ 0，1） ，准线是 ，1yP 到焦点的距离可以转化为到准线的距离。设 P（x，y） ，则 y=4， 4645、若点 A 的坐标为（3，2） ， 为抛物线 的焦点，点 是抛物线上的一动点，则Fxy2P取得最小值
16、时点 的坐标是 （ FPC ）A （0，0） B （ 1，1） C （2，2） D )1,2(【答案 C】解析：抛物线焦点为 F（1，0） ，准线方程为 。xP 点到准线 的距离等于 P 点到 F（1，0）的距离，x问题转化为：在曲线上求一点 P，使点 P 到 A（3，2）的距离与 P 到 F（1，0）的距离之和最小。显然 P 是 A 到准线的垂线与抛物线的交点，P 的坐标为（2，2）6、已知 A、B 是抛物线 上两点，O 为坐标原点，若OA=OB，且2(0)ypxAOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线 AB 的方程是（ ）A、x=p B、x=3p C、x= p D、x= p3252【答案
17、D】解析：设 A（ ，y） ，B（ ，-y） ，2pF（p，0）是AOB 的垂心， 221yp整理得 25 yxp7、过点 P（4，1） ，且与双曲线 只有一个公共点的直线有 条。2196y【答案】两条 解析：因为 P（4，1）位于双曲线的右支里面，故只有两条直线与双曲线有一个公共点，分别与双曲线的两条渐近线平行。这两条直线是： 和4()3yx41()3yx8、双曲线 C 与双曲线 有共同的渐近线，且过点 ，则 C 的两条准线之21xA2,-间的距离为 。【答案】 263解析：设双曲线 C 的方程为 ，2(0)xyk将点 A 代入，得 k= 。-故双曲线 C 的方程为：214x ，b=2, 2a6c所以两条准线之间的距离是 。263a9、已知抛物线 ，一条长为 4P 的弦，其两个端点在抛物线上滑动，则此2(0)ypx弦中点到 y 轴的最小距离是
