1、均值不等式归纳总结1. (1)若 Rba,，则 ab22(2)若 R,，则 2ba（当且仅当时取“=”）2. (1)若 *,ba，则 ab2(2)若 *,，则 ab（当且仅当时取“=”）(3)若 *,Rba，则 2ba (当且仅当 ba时取“=”）3.若 0x，则 1x (当且仅当 1x时取“=”）若 ，则 2 (当且仅当 时取“=”）若 0x，则 11-2xx即 或 (当且仅当 ba时取“=”）4.若 ab，则 2ab (当且仅当 ba时取“=”）若 0，则 2-2即 或 (当且仅当 ba时取“=”）5.若 Rba,，则 )2(2ba（当且仅当 ba时取“=”）ps.(1)当两个正数的积为定
2、植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值例 1：求下列函数的值域（1） y3 x 2 （2 ） y x12x 2 1x解：(1)y3x 2 2 值域为 ，+）12x 2 6 6(2)当 x0 时，yx 2 2；1x当 x0 时， yx = （ x ）2 =21x 1x值域为（ ，22，+）解题技巧技巧一：凑项例 已知 54x，求函数 1425yx的最大值。解：因 0，所以首先要“调
3、整”符号，又 1(42)5xA不是常数，所以对 42x要进行拆、凑项，5,40x， 1142543yxx21当且仅当 1，即 时，上式等号成立，故当 x时， maxy。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例 1. 当 时，求 (82)yx的最大值。解析：由 知， ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到 2(8)x为定值，故只需将 (82)yx凑上一个系数即可。当 ，即 x2 时取等号 当 x2 时， (82)yx的最大值为 8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用
4、均值不等式求最大值。变式：设 230x，求函数 )23(4xy的最大值。解： 0x 2932)3()( xx当且仅当 ,23即 23,4时等号成立。技巧三： 分离例 3. 求2710()xyx的值域。解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分离。当 ,即 时, 421)59yx（ （当且仅当 x1 时取“ ”号）。技巧四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令 t=x1，化简原式在分离求最值。 22(1)7(+054=5ttty t）当 ,即 t= 时, 9yt（当 t=2 即 x1 时取“” 号）。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后
5、将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为 ()(0,)AymgxB，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数 ()afx的单调性。例：求函数254xy的值域。解：令 2()t，则 254xy221(2)4tx因 10,tt，但 1t解得 t不在区间 ,，故等号不成立，考虑单调性。因为 yt在区间 ,单调递增，所以在其子区间 2,为单调递增函数，故52。所以，所求函数的值域为 5,2。练习求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.（1）231,(0)xyx（2 ） 1,3yx (3)sin,(,
6、)i2已知 01x，求函数 (1)yx的最大值.；3 203x，求函数(3)y的最大值.条件求最值1.若实数满足 2ba，则 ba3的最小值是 .分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且 ba3定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解： ba3和 都是正数， ba3 62baba当 时等号成立，由 及 3得 1即当 1ba时，ba3的最小值是 6变式：若 44logl2xy，求 1xy的最小值.并求 x,y 的值技巧六：整体代换多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。2：已知 0,xy，且 19xy，求 xy的最小值。错解： ,，且 ， 199212xyxy 故 m
7、in12xy。错因：解法中两次连用均值不等式，在 2xy等号成立条件是 xy，在192xy等号成立条件是 19xy即 ,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解： 190,xy， 19106yxxyx当且仅当 时，上式等号成立，又 y，可得 4,2y时，min16xy。变式： （1）若 Ryx,且 12yx，求 yx的最小值(2)已知 ba,且 ybxa，求 的最小值技巧七已知 x， y 为正实数，且 x 2 1 ，求 x 的最大值.y 22 1 y 2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公
8、式 ab 。a 2 b 22同时还应化简 中 y2前面的系数为 ， x x x1 y 212 1 y 2 2下面将 x， 分别看成两个因式：x 即 x x 34 1 y 2 2 342技巧八：已知 a， b 为正实数， 2b ab a30，求函数 y 的最小值.1ab分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。法一： a ， ab b30 2bb 1 3
9、0 2bb 1 2 b 2 30bb 1由 a0 得，0 b15令 t b+1，1 t16， ab 2（ t ） 2t 2 34t 31t 16t34 t 2 816t ab18 y 当且仅当 t4，即 b3， a6 时，等号成立。118法二：由已知得：30 ab a2 b a2 b2 30 ab22 ab 2 ab令 u 则 u22 u300， 5 u3ab 2 2 2 3 ， ab18， yab 2118点评：本题考查不等式 ab2）（ R,的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不等式 30）（ ,出发求得 ab的范围，关键是寻找到 ab与之间的关系，由此想到不等式 ba2）（ R,，
10、这样将已知条件转换为含 的不等式，进而解得 的范围.变式：1.已知 a0， b0， ab( a b)1，求 a b 的最小值。2.若直角三角形周长为 1，求它的面积最大值。技巧九、取平方5、已知 x， y 为正实数， 3x2 y10 ，求函数 W 的最值.3x 2y解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系， ，本题很a b2 a 2 b 22简单 23x 2y 2 23x 2y 5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W0，W 23 x2 y2 10 2 10( )2( )2 3x 2y 3x 2y 3x 2y10
11、(3 x 2y)20 W 220 5变式: 求函数 152()yxx的最大值。解析：注意到 与 的和为定值。2 2(15)4()24(1)(52)8yx xx又 0，所以 y当且仅当 21x=5x，即 32时取等号。 故 max2y。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值” ，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等” ，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。应用二：利用均值不等式证明不等式1已知 cba,为两两不相等的实数，求证： cabcba221）正数 a， b， c 满足 a b c1 ，求证：(1 a)(1 b)(1
12、 c)8abc例 6：已知 a、b、c R，且 。求证： 118分析：不等式右边数字 8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又 12abc，可由此变形入手。解： a、b、c R， 1。 12abc。同理 12acb，12。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得 128bcababA。当且仅当 13abc时取等号。应用三：均值不等式与恒成立问题例：已知 0,xy且 19xy，求使不等式 xym恒成立的实数 m的取值范围。解：令 ,0,xyky19x， 91.xyk091yxk1032。 6 ， ,6m应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若 )2lg(),l(g21,lg,1 baRbaQbaPba ，则 RQP,的大小关系是 .分析： 0l,l2Q（ pbabag)gl QRl21(RQP。
