1、函数知识点大全一次函数一、定义与定义式：自变量 x和因变量 y有如下关系：y=kx+b则此时称 y是 x的一次函数。特别地，当 b=0时，y 是 x的正比例函数。即：y=kx （k 为常数，k0）二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的 x的变化值成正比例，比值为 k即：y=kx+b （k 为任意不为零的实数 b 取任何实数）2.当 x=0时，b 为函数在 y轴上的截距。三、一次函数的图像及性质：1作法与图形：通过如下 3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道 2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与 x轴和 y轴的交点）2性
2、质：（1）在一次函数上的任意一点 P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数与 y轴交点的坐标总是（0，b)，与 x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。3k，b 与函数图像所在象限：当 k0 时，直线必通过一、三象限，y 随 x的增大而增大；当 k0 时，直线必通过二、四象限，y 随 x的增大而减小。当 b0 时，直线必通过一、二象限；当 b=0时，直线通过原点当 b0 时，直线必通过三、四象限。特别地，当 b=O时，直线通过原点 O（0，0）表示的是正比例函数的图像。这时，当 k0 时，直线只通过一、三象限；当 k0 时，直线只通过二、四象限。四、确定一次函数的
3、表达式：已知点 A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点 A、B 的一次函数的表达式。（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为 y=kx+b。（2）因为在一次函数上的任意一点 P（x，y），都满足等式 y=kx+b。所以可以列出 2个方程：y1=kx1+b 和 y2=kx2+b （3）解这个二元一次方程，得到 k，b 的值。（4）最后得到一次函数的表达式。五、一次函数在生活中的应用：1.当时间 t一定，距离 s是速度 v的一次函数。s=vt。2.当水池抽水速度 f一定，水池中水量 g是抽水时间 t的一次函数。设水池中原有水量 S。g=S-ft。六、常用公式：（不全，希望有人补充）1.求函
4、数图像的 k值：（y1-y2)/(x1-x2)2.求与 x轴平行线段的中点：|x1-x2|/23.求与 y轴平行线段的中点：|y1-y2|/24.求任意线段的长：(x1-x2)2+(y1-y2)2 （注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和） 二次函数I.定义与定义表达式一般地，自变量 x和因变量 y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a0，且 a决定函数的开口方向，a0 时，开口方向向上，a0时，y=a(x-h)2 的图象可由抛物线 y=ax2向右平行移动 h个单位得到，当 h0,k0时，将抛物线 y=ax2向右平行移动 h个单位，再向上移动 k个单位，就可以
5、得到 y=a(x-h)2 +k的图象；当 h0,k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动 k个单位可得到 y=a(x-h)2+k的图象；当 h0时，开口向上，当 a0，当 x -b/2a 时，y 随 x的增大而减小；当 x -b/2a 时，y 随 x的增大而增大若 a0，图象与 x轴交于两点 A(x，0)和 B(x，0)，其中的 x1,x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两根这两点间的距离 AB=|x-x| 当=0图象与 x轴只有一个交点； 当0时，图象落在 x轴的上方，x 为任何实数时，都有 y0；当 a0(a0)，则当 x= -b/2a时，y 最小(大)值=(4a
6、c-b2)/4a 顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值 6用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知 x、y 的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax2+bx+c(a0) (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)2+k(a0) (3)当题给条件为已知图象与 x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x)(x-x)(a0) 7二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现反比例函数形
7、如 ykx(k 为常数且 k0) 的函数，叫做反比例函数。自变量 x的取值范围是不等于 0的一切实数。反比例函数图像性质：反比例函数的图像为双曲线。由于反比例函数属于奇函数，有 f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为k。如图，上面给出了 k分别为正和负（2 和-2）时的函数图像。当 K0 时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数当 K0 时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。 知识点：1.过反比例函数
8、图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为| k |。2.对于双曲线 ykx ，若在分母上加减任意一个实数 (即 yk（xm）m 为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。（加一个数时向左平移，减一个数时向右平移）对数函数对数函数的一般形式为 ，它实际上就是指数函数 的反函数。因此指数函数里对于 a的规定，同样适用于对数函数。右图给出对于不同大小 a所表示的函数图形：可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线 y=x的对称图形，因为它们互为反函数。（1）对数函数的定义域为大于 0的实数集合。（2）对数函数的值域为全部实数集合。（3）函数总是通
9、过（1，0）这点。（4）a 大于 1时，为单调递增函数，并且上凸；a 小于 1大于 0时，函数为单调递减函数，并且下凹。（5）显然对数函数无界。指数函数指数函数的一般形式为 ，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得 x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得 如图所示为 a的不同大小影响函数图形的情况。可以看到：（1） 指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是 a大于 0，对于 a不大于 0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。（2） 指数函数的值域为大于 0的实数集合。（3） 函数图形都是下凹的。（4） a 大于 1，则指数函数单调递增；a 小于 1大
10、于 0，则为单调递减的。（5） 可以看到一个显然的规律，就是当 a从 0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于 Y轴与 X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于 Y轴的正半轴与 X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线 y=1是从递减到递增的一个过渡位置。（6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于 X轴,永不相交。（7） 函数总是通过（0，1）这点。（8） 显然指数函数无界。 奇偶性注图：（1）为奇函数（2）为偶函数1定义一般地，对于函数 f(x)（1）如果对于函数定义域内的任意一个 x，都有 f(-x)=f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数。（2）如果
11、对于函数定义域内的任意一个 x，都有 f(-x)=f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数。（3）如果对于函数定义域内的任意一个 x，f(-x)=-f(x)与 f(-x)=f(x)同时成立，那么函数 f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。（4）如果对于函数定义域内的任意一个 x，f(-x)=-f(x)与 f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数 f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。说明：奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验
12、其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与 f(x)比较得出结论）判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义2奇偶函数图像的特征：定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于 y轴或轴对称图形。f(x)为奇函数f(x)的图像关于原点对称点（x,y）（-x,-y）奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。偶函数 在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。 3. 奇偶函数运算(1) . 两个偶函数相加所得的和为偶函数.(2) . 两个奇函数相加所得的和为奇函数.(3) . 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.
13、(4) . 两个偶函数相乘所得的积为偶函数.(5) . 两个奇函数相乘所得的积为偶函数.(6) . 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.定义域（高中函数定义）设 A,B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系 f,使对于集合 A中的任意一个数 x，在集合 B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f:A-B为集合A到集合 B的一个函数，记作 y=f(x),x属于集合 A。其中，x 叫作自变量，x 的取值范围 A叫作函数的定义域； 值域名称定义函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域,在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合 常用的求值域的方法（1）化归法；（2）
14、图象法（数形结合）， （3）函数单调性法， （4）配方法，（5）换元法，（6）反函数法（逆求法），（7）判别式法，（8）复合函数法，（9）三角代换法，（10）基本不等式法等 关于函数值域误区定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中（典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化）。如果函数的值域是无限集的话，那么
15、求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。“范围”与“值域”相同吗？“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。“值域”是所有函数值的集合（即集合中每一个元素都是这个函数的取值），而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合（即集合中的元素不一定都满足这个条件）。也就是说:“值域”是一个“范围”，而“范围”却不一定是“值域”。
