1、1高中数学圆的方程典型题型归纳总结类型一：巧用圆系求圆的过程在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种：以 为圆心的同心圆系方程过直线 与圆 的交点的圆系方程过两圆 和圆 的交点的圆系方程此圆系方程中不包含圆 ，直接应用该圆系方程，必须检验圆 是否满足题意，谨防漏解。当 时，得到两圆公共弦所在直线方程例 1：已知圆 与直线 相交于 两点， 为坐标原点，若 ，求实数 的值。分析：此题最易想到设出 ，由 得到 ，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于 的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系 ，不难得出
2、 在以 为直径的圆上。而刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。解：过直线 与圆 的交点的圆系方程为：，即.依题意， 在以 为直径的圆上，则圆心（ ）显然在直线上，则 ，解之可得又 满足方程，则 故例 2：求过两圆 和 的交点且面积最小的圆的方程。解：圆 和 的公共弦方程为，即过直线 与圆 的交点的圆系方程为，即2依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心 必在公共弦所在直线 上。即 ，则 代回圆系方程得所求圆方程例 3:求证：m 为任意实数时，直线(m 1)x(2m1)ym5 恒过一定点 P，并求 P 点坐标。分析：不论
3、 m 为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。解：由原方程得m(x2y1) (xy5)0，即 ，49x5x12解 得直线过定点 P（9，4 ）注：方程可看作经过两直线交点的直线系。例 4 已知圆 C：（x1） 2（y2） 225，直线 l：（2m+1）x+（m+1）y7m4=0（mR）.（1）证明：不论 m 取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点；（2）求直线被圆 C 截得的弦长最小时 l 的方程.剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.（1）证明：l 的方程（x +y4）+m（2x+y7）=0.2x+y7=0， x=3，x+y4=0， y=1，即 l
4、恒过定点 A（3，1）.圆心 C（1，2） ，AC 5（半径） ，点 A 在圆 C 内，从而直线 l 恒与圆 C 相交于两点.（2）解：弦长最小时，lAC，由 kAC ，21l 的方程为 2xy5=0.评述：若定点 A 在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？思考讨论 类型二：直线与圆的位置关系例 5、若直线 与曲线 有且只有一个公共点，求实数 的取值范围.mxy24xym解：曲线 表示半圆 ，利用数形结合法，可得实数 的取值24)0(y范围是 或 .2变式练习：1.若直线 y=x+k 与曲线 x= 恰有一个公共点，则 k 的取值范围是_.21y解析：利用数形结合.答案：1k1 或 k= 2
5、例 6 圆 9)3()(22yx上到直线 0143yx的距离为 1 的点有几个？分析：借助图形直观求解或先求出直线 l、 2的方程，从代数计算中寻找解答解法一：圆 )()(22yx的圆心为 )3,(1O，半径 r设圆心 1O到直线 0143的距离为 d，则 32412如图，在圆心 1同侧，与直线 1yx平行且距离为 1 的直线 1l与圆有两个交点，这两个交点符合题意又 123dr与直线 04yx平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意符合题意的点共有 3 个解法二：符合题意的点是平行于直线 0143yx，且与之距离为 1 的直线和圆的交mR， 得3点设所求直线为 043myx，则 143
6、2d， 51m，即 6，或 ，也即l：，或 12l： 设圆 9)3()(21yxO： 的圆心到直线 1l、 2的距离为 1d、 2，则46321d， 43622d 1l与 相切，与圆 1有一个公共点； l与圆 1O相交，与圆 1有两个公共点即符合题意的点共 3 个说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：设圆心 1O到直线 0143yx的距离为 d，则 32432圆 1到 距离为 1 的点有两个显然，上述误解中的 d是圆心到直线 043yx的距离， rd，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为 1类型三：圆中的最值问题例 7：圆 上的点到直线 的最大距离与最小距离
7、的差是 0142yx 04yx解：圆 的圆心为（2，2） ，半径 ，圆心到直线的距离8)()( 23r，直线与圆相离，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是rd2510.6)()(r例 8 (1)已知圆 1)4(3221yxO： ， ),(yxP为圆 O上的动点，求 2yxd的最大、最小值(2)已知圆 )(22： ， ),(为圆上任一点求 12xy的最大、最小值，求yx2的最大、最小值分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决解：(1)( 法 1)由圆的标准方程 1)4()3(22yx可设圆的参数方程为 ,sin4coy（ 是参数） 则 222 sin
8、81669xd )cos(0si8co（其中 34ta） 所以 3102max， 2mind(法 2)圆上点到原点距离的最大值 1等于圆心到原点的距离 1d加上半径 1，圆上点到原点距离的最小值 2d等于圆心到原点的距离 减去半径 1所以 6143212所以 maxd min(2) (法 1)由 1)2y得圆的参数方程： ,sinco2yx是参数则 3cosin1xy令 t3cos2in，得 tt2si， t32)i(1)sin(12t 4t所以 43maxt， 43mint4即 12xy的最大值为 43，最小值为 43此时 )cos(52sinco所以 yx2的最大值为 ，最小值为 (法 2
9、)设 k1，则 0kyx由于 ),(yxP是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所示，两条切线的斜率分别是最大、最小值由 12kd，得 43k所以 xy的最大值为 3，最小值为 令 t2，同理两条切线在 x轴上的截距分别是最大、最小值由 15md，得 52所以 yx2的最大值为 ，最小值为 例 9、已知对于圆 1)(22yx上任一点 ),(yxP，不等式 0myx恒成立，求实数 m的取值范围设圆 )1(22上任一点 )sin,(co)2,0 cosx， siny 0myx恒成立 sin1co即 )(恒成立只须 不小于 )sinco(的最大值设 14(21)s(inu 2max即 说明：在这种解法中，运用了圆上的点的参数设法一般地，把圆 22)()(rbyax上的点设为 )sin,co(rbra( )2,0)采用这种设法一方面可减少参数的个数，另一方面可以灵活地运用三角公式从代数观点来看，这种做法的实质就是三角代换
