1、 1第一篇、复合函数问题一、复合函数定义： 设 y=f(u)的定义域为 A，u=g(x)的值域为 B，若 A B，则 y 关于 x 函数的 y=fg(x)叫做函数 f 与 g 的复合函数，u 叫中间量.二、复合函数定义域问题：（一）例题剖析：(1)、已知 的定义域，求 的定义域fx()fx()思路：设函数 的定义域为 D，即 ，所以 的作用范围为 D，又 f 对f作用，作用范围不变，所以 ，解得 ，E 为 的定义域。gx() g)( gx()例 1. 设函数 的定义域为（0 ，1） ，则函数 的定义域为 _。fu() f(ln)解析：函数 的定义域为（0，1 ）即 ，所以 的作用范围为（0，1
2、）u0， f又 f 对 lnx 作用，作用范围不变，所以 1lx解得 ，故函数 的定义域为（1，e）xe()， fx(ln)例 2. 若函数 ，则函数 的定义域为_。ff()解析：先求 f 的作用范围，由 ，知x()1x即 f 的作用范围为 ，又 f 对 f(x)作用xR|所以 ，即 中 x 应满足ff()()且 1f()fx1()即 ，解得x1x2且故函数 的定义域为f()Rx|1且（2 ） 、已知 的定义域，求 的定义域gxf()思路：设 的定义域为 D，即 ，由此得 ，所以 f 的作用范围为f()xgxE()E，又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以 为 的定义域。E， f例 3. 已
3、知 的定义域为 ，则函数 的定义域为_。fx()32x12， x()解析： 的定义域为 ，即 ，由此得， ， 3215x，所以 f 的作用范围为 ，又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以15， ，2即函数 的定义域为fx()15，例 4. 已知 ，则函数 的定义域为_。fx()lg2248fx()解析：先求 f 的作用范围，由 ，知fxx()lg2248x20解得 ，f 的作用范围为 ，又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以x24()， ，即 的定义域为()， x()4，（3 ） 、已知 的定义域，求 的定义域fgfhx()思路：设 的定义域为 D，即 ，由此得 ， 的作用范围为()gxE
4、()fE，又 f 对 作用，作用范围不变，所以 ，解得 ，F 为 的定义hx()hx()域。例 5. 若函数 的定义域为 ，则 的定义域为_。fx()21， fx(log)2解析： 的定义域为 ，即 ，由此得fx()， x1， 12x，的作用范围为f12，又 f 对 作用，所以 ，解得log2xlog21x， x24，即 的定义域为f(l)24，评注：函数定义域是自变量 x 的取值范围（用集合或区间表示）f 对谁作用，则谁的范围是 f 的作用范围，f 的作用对象可以变，但 f 的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。（二）同步练习：1、 已知函
5、数 )x(f的定义域为 1,0，求函数 )x(f2的定义域。答案： ,32、 已知函数 )x23(f的定义域为 3,，求 )x(f的定义域。答案： 9,3、 已知函数 )(fy的定义域为 )0,1(，求 |)12(|f的定义域。答案： 23,1)0,(4、设 ，则 的定义域为（ ）xxflgxff2A. B. 4,0,4,1,C. D. 21 2解：选 C.由 得， 的定义域为 。故 ，解得0x()fx|x2,.x。故 的定义域为4,1,xxff24,1,5、已知函数 的定义域为 ，求 的定义域。)(xf )3,1()0()(axffxg解析由已知，有 .23,231,axax（1 ）当 时，
6、定义域为 ；a|（2 ）当 ，即 时，有 ，23102a定义域为 ；|ax（3 ）当 ，即 时，有 ，a2312a定义域为 .|x故当 时，定义域为 ；123|ax当 时，定义域为0a.|点评对于含有参数的函数，求其定义域，必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字母的方法。4三、复合函数单调性问题（ 1）引理证明已知函数 .若 在区间 ）上是减函数，其值域为(c，d)，又)(xgfy)(xguba,(函数 在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数 在区间 ）)(uf )(xgfyba,(上是增函数.证明：在区间 ）内任取两个数 ，使ba, 21,xb21因为 在区间 ）上是减函数，所以 ,记
7、, )(xg,( )(xg)(1xu即2u),21,21dcu且因为函数 在区间(c,d)上是减函数，所以 ,即fy 21ff，)()(21xf故函数 在区间 ）上是增函数.gfba,(（2 ） 复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表： )(ufy增 减 xg增 减 增 减 )(fy增 减 减 增 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.（3 ）、复合函数 的单调性判断步骤：)(xgfy 确定函数的定义域； 将复合函数分解成两个简单函数： 与 。)(ufy)(xg 分别确定分解成的两个函数的单调性； 若两个函数在对应的
8、区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数 为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一)(xgfy个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数 为减函数。)(xgfy（4 ）例题演练5例 1、 求函数 的单调区间，并用单调定义给予证明 奎 屯王 新 敞新 疆)32(log1xy解：定义域 102 x或单调减区间是 设 则 ),3(221),3(,xx且log121y )3log21y=)(2x)(2x)(x 31201012 又底数 )(x)3(2x 即 012y1y 在 上是减函数 奎 屯王 新 敞新 疆),3(同理可证： 在 上是增函数 奎 屯王 新 敞
9、新 疆),例2、讨论函数 的单调性.)23(log(xxfa解由 得函数的定义域为012.3,|x或则当 时，若 ， 为增函数， 为ax12xu )123(log)(xxfa增函数.若 ， 为减函数.31x2 为减函数。)1(log)(xfa当 时，若 ，则 为减函数，若 ，则0)123(log(xfa 31x为增函数.)23(l)(xfa例 3、.已知 y= (2- )在0，1上是 x 的减函数，求 a 的取值范围.alogx解：a0 且 a1当 a1 时，函数 t=2- 0 是减函数x由 y= (2- )在0，1上 x 的减函数，知 y= t 是增函数，lx aloga1由 x 0，1时，
10、2- 2-a0,得 a2,xa1a2当 00 是增函数 奎 屯王 新 敞新 疆x由 y= (2- )在0，1上 x 的减函数，知 y= t 是减函数，alogx alog60a1 奎 屯王 新 敞新 疆由 x 0，1时，2- 2-10, 0a1xa综上述，0a1 或 1a2 奎 屯王 新 敞新 疆例 4、已知函数 （ 为负整数）的图象经过点2)3()(2axf，设 .问是否存在实数 使得Rm),02( )(,xfpgFfxg )0(p在区间 上是减函数，且在区间 上是减函数？并证明你的结论。xF)2(,f0,(f解析由已知 ，得 ，02)32ama其中 即 ，.,a93解得 .7213721
11、为负整数，aa ，1)(34)( 2xxf即 ，.12 242)() xfg .()(4pfpF假设存在实数 ，使得 满足条件，设 ，)0)(xF21x .()( 212121 xx ，当 时， 为减函数，3f )3,)( ，0)(21F .01,02121 pxp , ,x8x ,6)(21pp .06当 时, 增函数,)3(,21x(xF.0)(21xF , ,62)21pp . 06由、可知 ，故存在6.1（5）同步练习：1函数 y （x 23x2）的单调递减区间是（ ）1logA （，1） B （2，）C （ ， ） D （ ，）3解析：先求函数定义域为（o，1 ）（2，） ，令 t（
12、x ）x 23x2 ，函数t（x ）在（ ，1）上单调递减，在（2 ，）上单调递增，根据复合函数同增异减的7原则，函数 y （x 23x 2）在（2，）上单调递减1log答案：B2 找出下列函数的单调区间.（1 ） ；)1(23ayx（2 ） .2答案：(1)在 上是增函数，在 上是减函数。,(),23（2 ）单调增区间是 ，减区间是 。113、讨论 的单调性。)0,(),logaayx且答案： 时 为增函数， 时， 为增函数。,0()0,(4求函数 y （x 25x4 ）的定义域、值域和单调区间31l解：由 （x）x 25x4 0，解得 x4 或 x1，所以 x（，1）（4 ， ） ，当 x
13、（，1）（4 ，） ， x 25 x4R ，所以函数的值域是 R 因为函数 y （x 25x4 ）是由 y （x ）与 （x）31log31logx 25x 4 复合而成，函数 y （x ）在其定义域上是单调递减的，函数 （x）x 25x 4 在（， ）上为减函数，在 ，上为增函数考虑到函数的定252义域及复合函数单调性，y （x 25x 4）的增区间是定义域内使 y （x）31log 31log为减函数、 （x）x 25x4 也为减函数的区间，即（ ，1 ） ；y （x 25x4 ）的减区间是定义域内使 y （x）为减函数、 （x）31log 3logx 25x 4 为增函数的区间，即（4，
14、） 变式练习一、选择题1函数 f（x） 的定义域是（ ）)1(log2xA （1，） B （2， ）C （，2） D 1(，8解析：要保证真数大于 0，还要保证偶次根式下的式子大于等于 0，所以 解得 1x 2)(log12 x答案：D2函数 y （x 23 x2）的单调递减区间是（ ）1lA （，1 ） B （2， ）C （， ） D （ ， ）23解析：先求函数定义域为（o，1 ）（2，） ，令 t（x ）x 23x2 ，函数t（x ）在（ ，1）上单调递减，在（2 ，）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数 y （x 23x 2）在（2，）上单调递减log答案：B3若 2 （x 2
15、y） x y，则 的值为（ ）llgxA4 B1 或 4C1 或 4 D错解：由 2 （x2 y） x y，得（x 2y） 2xy，解得 x4y 或 xy，则有lglg 或 1xy4答案：选 B正解：上述解法忽略了真数大于 0 这个条件，即 x 2y0，所以 x2 y所以 xy舍掉只有 x4y 答案：D4若定义在区间（1，0）内的函数 f（x ） （x1）满足 f（x）0，则 aa2log的取值范围为（ ）A （0， ） B （0， ）21C （ ，） D （0 ， ）9解析：因为 x（1，0） ，所以 x1（0，1 ） 当 f（x ）0 时，根据图象只有0 2al，解得 0a （根据本节思维
16、过程中第四条提到的性质） 2答案：A5函数 y （ 1）的图象关于（ ）lgxAy 轴对称 Bx 轴对称C原点对称 D直线 yx 对称解析：y （ 1 ） ，所以为奇函数形如 y 或 ylgx 2xlgx1lg的函数都为奇函数x1lg答案：C二、填空题已知 y （2 ax）在0，1 上是 x 的减函数，则 a 的取值范围是alog_解析：a0 且 a1 （x）2ax 是减函数，要使 y （2ax）是减函数，alog则 a1，又 2ax0 a （0 x1） a2 ，所以 a（1，2 ） 3答案：a（1，2 ）7函数 f（x）的图象与 g（x）（ ） x 的图象关于直线 yx 对称，则f（2xx2
17、 ）的单调递减区间为_解析：因为 f（x）与 g（ x）互为反函数，所以 f（x） x31log则 f（2 xx 2） （2xx 2） ，令 （x ）2xx 20，解得 0x231lo（x）2x x 2 在（0， 1）上单调递增，则 f （x） 在（0 ，1）上单调递减；（x）2x x 2 在（1， 2）上单调递减，则 f （x） 在1 ，2）上单调递增所以 f（2xx 2）的单调递减区间为（0，1） 答案：（0，1）8已知定义域为 R 的偶函数 f（x ）在0，上是增函数，且 f（ ）0 ，21则不等式 f（l og4x）的解集是 _10解析：因为 f（x）是偶函数，所以 f（ ）f（ ）0
18、又 f（x ）在0，21上是增函数，所以 f（x）在（ ，0）上是减函数所以 f（log 4x）0 log4x 或21log4x 21解得 x2 或 0x 21答案：x2 或 0x三、解答题9求函数 y （x 25 x4 ）的定义域、值域和单调区间31log解：由 （x）x2 5x40 ，解得 x4 或 x1，所以 x（，1）（4，） ，当 x（，1）（4 ，） ， x 25 x4R ，所以函数的值域是 R 因为函数 y （x 25x4 ）是由 y （x ）与 （x）31log31logx 25x4 复合而成，函数 y （x ）在其定义域上是单调递减的，函数 （x）x 25x4 在（， ）上为
19、减函数，在 ，上为增函数考虑到函数的定252义域及复合函数单调性，y （x 25x 4）的增区间是定义域内使 y （x）31log 31log为减函数、 （x）x 25x4 也为减函数的区间，即（ ，1 ） ；y （x 25x4 ）的减区间是定义域内使 y （x）为减函数、 （x）31log 3logx 25x4 为增函数的区间，即（4，） 10 设函数 f（x） ，532 xlg（1）求函数 f（x）的定义域；（2）判断函数 f（x）的单调性，并给出证明；（3）已知函数 f（x）的反函数 f1 （x ） ，问函数 y f1 （x）的图象与 x 轴有交点吗?若有，求出交点坐标；若无交点，说明理由解：（1）由 3x50 且 0，解得 x 且 x 取交集得x2 3523 x 23（2）令 （x）3 x5，随着 x 增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数；
