1、高中函数大题专练、已知关于 x的不等式 2(4)(0kx，其中 kR。试求不等式的解集 A；对于不等式的解集 ，若满足 ZB（其中 为整数集） 。试探究集合 B能否为有限集？若能，求出使得集合 中元素个数最少的 的所有取值，并用列举法表示集合 B；若不能，请说明理由。、对定义在 0,1上，并且同时满足以下两个条件的函数 ()fx称为 G函数。 对任意的 ,x，总有 ()0fx； 当 1212时，总有 1212(f成立。已知函数 ()g与 ()ha是定义在 ,上的函数。（1）试问函数 是否为 G函数？并说明理由；（2）若函数 x是 函数，求实数 的值；（3）在（2）的条件下 ，讨论方程 (21)
2、(xghm)R解的个数情况。3.已知函数 |21)(xf.（1）若 ，求 的值；（2）若 0)(tmftf对于 2,3t恒成立，求实数 的取值范围.4.设函数 )(xf是定义在 R上的偶函数.若当 0x时，1,()0fx;.x（1）求 f在 (,0)上的解析式.（2）请你作出函数 xf的大致图像.（3）当 ab时，若 ()afb，求 a的取值范围.（4）若关于 的方程 0)2c有 7 个不同实数解，求 ,bc满足的条件.5已知函数 ()(0)|fxax。（1）若函数 f是 ,上的增函数，求实数 b的取值范围；（2）当 b时，若不等式 ()fx在区间 (1,)上恒成立，求实数 a的取值范围；（3
3、）对于函数 ()gx若存在区间 ,mn，使 ,xmn时，函数 ()gx的值域也是 ,mn，则称 是 上的闭函数。若函数 ()f是某区间上的闭函数，试探求 ab应满足的条件。6、设 bxaxf2)(，求满足下列条件的实数 a的值：至少有一个正实数 b，使函数的定义域和值域相同。7对于函数 )(xf，若存在 R0 ，使 0)(xf成立，则称点 0(,)x为函数的不动点。（1）已知函数 )()(2abxf 有不动点（1，1）和（-3，-3）求 a与 b的值；（2）若对于任意实数 ，函数 )0()(2abxf 总有两个相异的不动点，求a的取值范围；（3）若定义在实数集 R 上的奇函数 )(g存在（有限
4、的） n 个不动点，求证： n必为奇数。8设函数 )0(1)(xxf， 的图象为 1C、 关于点 A（2，1）的对称的图象为 2C，2C对应的函数为 g. （1）求函数 )(xy的解析式；（2）若直线 b与 2C只有一个交点，求 b的值并求出交点的坐标.9设定义在 ),0(上的函数 )(xf满足下面三个条件：对于任意正实数 a、 b，都有 )()1abfb； (2)f；当 1x时，总有 ()1fx.（1）求 2)(f及 的值；（2）求证： ),0(在x上是减函数.10 已知函数 )(xf是定义在 2,上的奇函数，当 )0,2x时，321)(xtf（ t为常数） 。（1）求函数 )(f的解析式；
5、（2）当 6,t时，求 )(xf在 0,2上的最小值，及取得最小值时的 x，并猜想)(xf在 20上的单调递增区间（不必证明） ；（3）当 9时，证明：函数 )(fy的图象上至少有一个点落在直线 14y上。11.记函数 27xf的定义域为 A， Rabaxxg,02l 的定义域为 B，（1）求 A： （2）若 ，求 a、 b的取值范围12、设 1,01axfx。（1）求 的反函数 f： （2）讨论 f在 .上的单调性，并加以证明：（3）令 xxgalo，当 nmn,时， xf1在 nm,上的值域是mn,，求 的取值范围。13集合 A 是由具备下列性质的函数 )(xf组成的：(1) 函数 )(x
6、f的定义域是 0,； (2) 函数 的值域是 24；(3) 函数 在 ,)上是增函数试分别探究下列两小题：（）判断函数 1(fx，及 21()46()0xfx是否属于集合 A？并简要说明理由（）对于（I）中你认为属于集合 A 的函数 f，不等式 )1(2)(xff，是否对于任意的 0总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论14、设函数 f(x)=ax 2+bx+1（a,b 为实数）,F(x)= )0()xf（1）若 f(-1)=0 且对任意实数 x 均有 f(x) 0成立，求 F(x)表达式。（2）在（1）的条件下,当 x 2,时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求实数 k 的取
7、值范围。（3） （理）设 m0,n0,a0 且 f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)0。15函数 f(x)= bax(a，b 是非零实常数) ，满足 f(2)=1，且方程 f(x)=x 有且仅有一个解。(1)求 a、b 的值； (2)是否存在实常数 m，使得对定义域中任意的 x，f(x)+f(mx)=4 恒成立？为什么？(3)在直角坐标系中，求定点 A(3,1)到此函数图象上任意一点 P 的距离|AP|的最小值。函数大题专练答案、已知关于 x的不等式 2(4)(0kx，其中 kR。试求不等式的解集 A；对于不等式的解集 ，若满足 ZB（其中 为整数集） 。试探究集合 B能否为有限集？若能
8、，求出使得集合 中元素个数最少的 的所有取值，并用列举法表示集合 B；若不能，请说明理由。解：（1）当 0k时， (,4)；当 0k且 2时， 4(,)(,)Ak；当 2时， A；（不单独分析 k时的情况不扣分）当 时， (,)k。（2） 由（1）知：当 0时，集合 B中的元素的个数无限；当 k时，集合 中的元素的个数有限，此时集合 B为有限集。因为 4，当且仅当 2k时取等号，所以当 2时，集合 的元素个数最少。此时 ,A，故集合 3,1,03B。、对定义在 01上，并且同时满足以下两个条件的函数 ()fx称为 G函数。 对任意的 ,x，总有 ()fx； 当 1212时，总有 1212(f成
9、立。已知函数 ()g与 ()ha是定义在 0,上的函数。（1）试问函数 是否为 G函数？并说明理由；（2）若函数 x是 函数，求实数 的值；（3）在（2）的条件下 ，讨论方程 (21)(xghm)R解的个数情况。解：（1） 当 0,1时，总有 0，满足， 当 122时， 21112gxxgx() ()，满足 （2）若 a时， ha(不满足，所以不是 G函数； 若 时， 在 0,上是增函数，则 h0，满足 由 1212()() ，得 1212xxxaa1，即 2x， 因为 0,x所以 1 2 1与 2不同时等于 1 11x0()11xa2()当 10时， 11x2min()( a， 综合上述：
10、a （3）根据（）知： a=1，方程为 x42， 由x021得 x01, 令 xt,，则 22mtt4() 由图形可知：当 ,时，有一解；当 0(,)()时，方程无解。 .已知函数 |21xf.（1）若 )(x，求 的值；（2）若 0)(tmftf对于 2,3t恒成立，求实数 m的取值范围.解 （1）当 时， x；当 0x时， xf21)(.由条件可知 21x，即 2x，解得 2x.0， log.（2）当 ,1t时， 02121ttttt m，即 24ttm.02， t.2,3165,17t ，故 的取值范围是 7,).设函数 )(xf是定义在 R上的偶函数.若当 0x时，1,()0fx;.x
11、（1）求 f在 ,0)上的解析式.（2）请你作出函数 (xf的大致图像.（3）当 ab时，若 ()afb，求 a的取值范围.（4）若关于 的方程 0)2c有 7 个不同实数解，求 ,bc满足的条件.解（1）当 (,0x时， 1()fxfx.（2） )(f的大致图像如下：. 4321-1-4 -2 2 4 6（3）因为 0ab，所以 ()fafb22112a，2解得 ab的取值范围是 (,).（4）由（2） ，对于方程 fxa，当 0时，方程有 3 个根；当 01a时，方程有 4 个根，当 1时，方程有 2 个根；当 时，方程无解.15 分所以，要使关于 的方程 )(cbf有 7 个不同实数解，
12、关于 )(xf的方程0)(2cxbff有一个在区间 ,1的正实数根和一个等于零的根。所以 ,(,)，即 0,.已知函数 ()|fax。（1）若函数 f是 0,)上的增函数，求实数 b的取值范围；（2）当 b时，若不等式 (fx在区间 (1,)上恒成立，求实数 a的取值范围；（3）对于函数 ()gx若存在区间 ,mn，使 ,xmn时，函数 ()gx的值域也是 ,mn，则称 是 上的闭函数。若函数 ()f是某区间上的闭函数，试探求 ab应满足的条件。解：（1） 当 (0,)x时， ()bfxa设 12,且 12，由 是 (0,)上的增函数，则 12()fxf1212()()bxfxf由 12， ,
13、(0,)知 12120,x，所以 0b，即 (,)（2）当 b时， 2()|fxax在 (1,)上恒成立，即 2ax因为 2x，当 即 时取等号，(1,)，所以 x在 (1,)上的最小值为 2。则 2a（3） 因为 |bfa的定义域是 ,0(,)，设 ()fx是区间 ,mn上的闭函数，则 0mn且 （4） 若 当 b时， ()|bfxa是 (,)上的增函数，则 ()fn，所以方程 在 0,上有两不等实根，即 2xab在 ()上有两不等实根，所以1240xb，即 ,0ab且 240ab当 时， ()|fxx在 (,)上递减，则 ()fmn，即0banamb，所以 0,ab若 当 0b时， ()|
14、fxax是 (,0)上的减函数，所以 ()fmn，即0anmbb，所以 ,ab、设 xaxf2)(，求满足下列条件的实数 的值：至少有一个正实数 b，使函数的定义域和值域相同。解：（1）若 0a，则对于每个正数 b， bxf)(的定义域和值域都是 ),0故 满足条件 （2）若 ，则对于正数 ， axf2)(的定义域为 D,0,ab， 但 )(xf的值域 ,A，故 AD，即 0a不合条件； （3）若 0a，则对正数 b，定义域 ,b abxf2)(ma，)(xf的值域为 2,a， 240 综上所述： a的值为 0 或 4 对于函数 )(f，若存在 Rx0 ，使 0)(xf成立，则称点 0(,)x
15、为函数的不动点。（1）已知函数 )()(2abf 有不动点（1，1）和（-3，-3）求 a与 b的值；（2）若对于任意实数 ，函数 )0()(2abxxf 总有两个相异的不动点，求a的取值范围；（3）若定义在实数集 R 上的奇函数 )(g存在（有限的） n 个不动点，求证： n必为奇数。解：（1）由不动点的定义： 0)(xf， 0)1(2bxa代入 x知 1a，又由 3及 1知 3b。 ， b。（2）对任意实数 ， )()(2xaxf 总有两个相异的不动点，即是对任意的实数 ，方程 0f总有两个相异的实数根。 )1(2bxa中 04)1(2ab，即 4b恒成立。故 )(2， 10a。故当 0时
16、，对任意的实数 ，方程 xf总有两个相异的不动点。 .1（3） )(xg是 R 上的奇函数，则 0)(g，（0，0）是函数 )(xg的不动点。若 有异于（ 0，0）的不动点 ,x，则 0)(g。又 0)()(xx， )(0是函数 x的不动点。 g的有限个不动点除原点外，都是成对出现的， 所以有 k2个（ N） ，加上原点，共有 12kn个。即 n必为奇数 设函数 )0(1)(xxf， 的图象为 C、 关于点 A（2，1）的对称的图象为 2C， 2C对应的函数为 g. （1）求函数 )(xy的解析式；（2）若直线 b与 2C只有一个交点，求 b的值并求出交点的坐标.解 （1）设 ),(vup是
17、xy1上任意一点， uv1 设 P 关于 A（2 ，1）对称的点为 yvxyxQ24),( 代入得 124xyxy);,4(),(2)( xg（2）联立 ,09)6(412bxxyb0)9()6(22 b或 ,4（1）当 0b时得交点（3，0） ； （2）当 时得交点（5，4）.9设定义在 ),(上的函数 )(xf满足下面三个条件：对于任意正实数 a、 b，都有 )()1abfb； (2)0f；当 1x时，总有 ()1fx.（1）求 2)(f及 的值；（2）求证： ),0(在x上是减函数.解（1）取 a=b=1，则 (1)2.(1)fff故 又 ()2f. 且 0.得： ()f（2）设 ,02
18、1x则： 222111()()(xxffff1()fx21()f依 ,1221可 得再依据当 x时，总有 ()fx成立，可得 21()xf 即 0)(12ff成立，故 ,0在f上是减函数。10 已知函数 )(x是定义在 2,上的奇函数，当 )0,2x时，3)(xtf（ t为常数） 。（1）求函数 )(f的解析式；（2）当 6,t时，求 )(f在 0,2上的最小值，及取得最小值时的 x，并猜想x在 20上的单调递增区间（不必证明） ；（3）当 9时，证明：函数 )(xfy的图象上至少有一个点落在直线 14y上。解：（1） ,时， ,x， 则 332)(21) xtxtf ， 函数 )(xf是定义在 2,上的奇函数，即 f， f，即 3t，又可知 0f，函数 )(x的解析式为 31)(xt ，2,x；（2） 21xtf， 6,t， 0,2x， 012xt， 2783123222 tttxtxf ， 221xt，即 36,2tx)0,(时， tf96min 。
