1、1(经典)高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解分析一、函数的概念与表示1、映射：（1）对映射定义的理解。 （2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射集合 A，B 是平面直角坐标系上的两个点集，给定从 AB 的映射 f:(x,y)(x 2+y2,xy)，求象(5，2)的原象.3.已知集合 A 到集合 B0，1，2，3的映射 f:x 1x，则集合 A 中的元素最多有几个?写出元素最多时的集合 A.2、函数。构成函数概念的三要素 定义域对应法则值域两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同1、下列各对函数中，相同的是 （ ）A、 B、 xgxfl2)(,l)(2
2、)1lg()l(),1lg)( xxxfC、 D、f（x）=x，vu1,1 2(f2、 给出下列四个图形，其中能表示从集合 M 到集合30|0|yNxMN 的函数关系的有 （ ）A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个x x x x1 2 111 22211112222y y yy3O OOO二、函数的解析式与定义域函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。例 1 设 是一次函数，且 ，求)(xf 34)(xf)(xf配凑法：已知复合函数 的表达式，求 的解析式， 的表达式容易配成 的运算形fgx ()fgx()gx式时，常用配凑法。但要
3、注意所求函数 的定义域不是原复合函数的定义域，而是 的值域。 ()fx例 2 已知 ，求 的解析式21)(xxf0(三、换元法：已知复合函数 的表达式时，还可以用换元法求 的解析式。与配凑法一样，要)fg ()fx注意所换元的定义域的变化。例 3 已知 ，求xxf2)1()1(f2四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例 4 已知：函数 的图象关于点 对称，求 的解析式)(2xgyxy与 )3,2()(xg五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。例 5 设 求,)1()(fxff 满 足
4、)(f例 6 设 为偶函数， 为奇函数，又 试求 的解析式)(xf)(xggxg和六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。例 7 已知： ，对于任意实数 x、y，等式 恒成立，求1)0(f )12()(yxfyxf )(xf七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。例 8 设 是 上的函数，满足 ，对任意的自然数 都有 ，求)(xfN1)(f ba, abfbf )()()(f1、求函数定义域的主要依据：（1）分式的分母不为零
5、；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；（3）对数函数的真数必须大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于 1； 6.（05 江苏卷）函数 的定义域为20.5log(43)yx2 求函数定义域的两个难点问题（1） ()x已 知 f的 定 义 域 是 -,求 f(+)的 定 义 域 。（2） 21x已 知 的 定 义 域 是 13,求 的 定 义 域例 2 设 ，则 的定义域为_()lgfx2()xff变式练习： ，求 的定义域。24)(三、函数的值域1 求函数值域的方法直接法：从自变量 x 的范围出发，推出 y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；换元法：利
6、用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出 y 的取值范围；适合分母为二次且 R 的分式；x分离常数：适合分子分母皆为一次式（x 有范围限制时要画图） ；单调性法：利用函数的单调性求值域；图象法：二次函数必画草图求其值域；利用对号函数几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数1 （直接法） 2 3 （换元法）213yx2()4fxx12xy4. （ 法） 5. 6. (分离常数法) 421y2 1x3 7. (单调性) 8. ，31(24xy3(1,)2yx1yx9(图象法) 10(对勾函数)x82(4yx11.
7、 (几何意义) 21yx四函数的奇偶性1定义:2.性质：y=f(x)是偶函数 y=f(x)的图象关于 轴对称, y=f(x)是奇函数 y=f(x)的图象关于原点对称,y若函数 f(x)的定义域关于原点对称，则 f(0)=0 奇 奇 =奇 偶 偶 =偶 奇 奇 =偶 偶 偶 =偶 奇 偶 =奇 两 函 数 的 定 义 域 D1 ， D2， D1 D2要 关 于 原 点对 称 3 奇 偶 性 的 判 断 看 定 义 域 是 否 关 于 原 点 对 称 看 f(x)与 f(-x)的 关 系1 已知函数 是定义在 上的偶函数. 当 时， ，则当)(xf ),(0,4)(xf时， .,0(x2 已知定义
8、域为 的函数 是奇函数。 （）求 的值；（）若对任意R12()xbfa ,ab的 ，不等式 恒成立，求 的取值范围；t2(0fttkk3 已知 在（1，1）上有定义，且满足)(xf ),1()()1, xyfxfyx有证明： 在（1，1）上为奇函数；4 若奇函数 满足 ， ，则 _)(Rxf1)2(f )2()2(fxf)5(f五、函数的单调性1、函数单调性的定义：2 设 是定义在 M 上的函数，若 f(x)与 g(x)的单调性相反，则xgfy在 M 上是减函数；若 f(x)与 g(x)的单调性相同，则 在 M 上是增函数。xgfy xgfy2 例 函数 对任意的 ，都有 ，并且当 时，)(f
9、Rnm, 1)()(nmfnf 0，1)(xf求证： 在 上是增函数； 若 ，解不等式 )(xf 4)3(f 2)5(2af3 函数 的单调增区间是_)26log1.0y4(高考真题)已知 是 上的减函数，那么 的取值范围(314,logaxfx(,)a是 （A） （B） （C） （D）(0,1)(0,)3,)731,)74一：函数单调性的证明 1.取值 2，作差 3，定号 4，结论二：函数单调性的判定，求单调区间32xy 32xy 452xy 321xy)(log2xy xy421xy2152xy（ ） （ ）xa0xa0三：函数单调性的应用 1.比较大小 例：如果函数 对任意实数 都有cb
10、xf2)( t，那么 A、 B、 C、 C、)2()2(tff )4(1)2(ff)4(1f)1(4)2(ff142.解不等式例：定义在（1，1）上的函数 是减函数，且满足： ，求实数 的取值()fx(1)(fafa范围。 例：设 是定义在 上的增函数， ，且 ，求满足不等式 的 x 的取值范围.3.取值范围例: 函数 在 上是减函数,则 的取值范围是_例：若 是 上的减函数，那么 的取值范围是（ ）(31)41)logaxfxRaA. B. C. D.(0,1(0,),)731,)74. 二次函数最值例：探究函数 在区间 的最大值和最小值。12axxf ,0例：探究函数 在区间 的最大值和最
11、小值。)(2f ,5.抽象函数单调性判断例：已知函数 的定义域是 ，当 时， ，且)(xf ),0(1x0)(xf )()(yfxyf求 ，证明 在定义域上是增函数1f如果 ，求满足不等式 2 的 的取值范围)3(f )2()xfx例：已知函数 f(x)对于任意 x， yR，总有 f(x) f(y) f(x y)，且当 x0 时， f(x)1 时， f(x)0 , a1)互为反函数名称 指数函数 对数函数一般形式 Y=ax (a0 且 a1) y=logax (a0 , a1)定义域 (-,+ ) (0,+ )值域 (0,+ ) (-,+ )过定点 （，1） （1，）指数函数 y=ax与对数函
12、数 y=logax (a0 , a1)图象关于 y=x 对称图象单调性 a 1,在(-,+ )上为增函 a1,在(0,+ )上为增函数7数a1 ? y0? y0)的图象，可将 y=f(x)的图象上的每一点的纵坐标伸长(a1)或缩短(00)的图象，可将 y=f(x)的图象上的每一点的横坐标缩短(a1)或伸长(0a1)到原来的 a倍。十函数的其他性质1函数的单调性通常也可以以下列形式表达：9单调递增12()0fxf单调递减12()ffx2函数的奇偶性也可以通过下面方法证明：奇函数()0fx偶函数3函数的凸凹性：凹函数（图象“下凹” ，如：指数函数）1212()(xfxff凸函数（图象“上凸” ，如：对数函数）
