1、第 1 页（共 32 页）高中数学线性规划问题一选择题（共 28 小题）1 （2015马鞍山一模）设变量 x，y 满足约束条件： ，则 z=x3y 的最小值（ ）A2 B4 C 6 D82 （2015山东）已知 x，y 满足约束条件 ，若 z=ax+y 的最大值为 4，则 a=（ ）A3 B2 C 2 D33 （2015重庆）若不等式组 ，表示的平面区域为三角形，且其面积等于 ，则 m 的值为（ ）A3 B1 C D34 （2015福建）变量 x，y 满足约束条件 ，若 z=2xy 的最大值为 2，则实数m 等于（ ）A2 B1 C1 D25 （2015安徽）已知 x，y 满足约束条件 ，则
2、z=2x+y 的最大值是（ ）A1 B2 C 5 D16 （2014新课标 II）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=2xy 的最大值为（ ）第 2 页（共 32 页）A10 B8 C3 D27 （2014安徽） x、y 满足约束条件 ，若 z=yax 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为（ ）A 或1 B2 或 C2 或 1 D2 或18 （2015北京）若 x，y 满足 ，则 z=x+2y 的最大值为（ ）A0 B1 C D29 （2015四川）设实数 x，y 满足 ，则 xy 的最大值为（ ）A B C12 D1610 （2015广东）若变量 x，y 满足约束条件 ，则 z=3x
3、+2y 的最小值为（ ）A4 B C6 D11 （2014新课标 II）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=x+2y 的最大值为（ ）A8 B7 C2 D112 （2014北京）若 x，y 满足 且 z=yx 的最小值为 4，则 k 的值为（ ）A2 B2 C D13 （2015开封模拟）设变量 x、y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x2+y2 的取值范围为（ ）第 3 页（共 32 页）A2，8 B4，13 C2，13 D14 （2016荆州一模）已知 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最大值为（ ）A3 B3 C1 D15 （2015鄂州三模）设变量 x，y 满足约束条件 ，则
4、 s= 的取值范围是（ ）A1， B ，1 C1，2 D ，216 （2015会宁县校级模拟）已知变量 x，y 满足 ，则 u= 的值范围是（ ）A ， B ， C ， D ， 17 （2016杭州模拟）已知不等式组 所表示的平面区域的面积为 4，则 k 的值为（ ）A1 B3 C1 或 3 D018 （2016福州模拟）若实数 x，y 满足不等式组 目标函数 t=x2y 的最大值为 2，则实数 a 的值是（ ）A2 B0 C1 D219 （2016黔东南州模拟）变量 x、y 满足条件 ，则（x2） 2+y2 的最小值为（ ）A B C D5第 4 页（共 32 页）20 （2016赤峰模拟）
5、已知点 ，过点 P 的直线与圆 x2+y2=14 相交于 A，B 两点，则|AB|的最小值为（ ）A2 B C D421 （2016九江一模）如果实数 x，y 满足不等式组 ，目标函数 z=kxy 的最大值为 6，最小值为 0，则实数 k 的值为（ ）A1 B2 C3 D422 （2016三亚校级模拟）已知 a0，x，y 满足约束条件 ，若 z=2x+y的最小值为 ，则 a=（ ）A B C1 D223 （2016洛阳二模）若 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x+y 的最大值为 2，则实数 a 的值为（ ）A2 B1 C 1 D224 （2016太原二模）设 x，y 满足不等式组 ，若
6、 z=ax+y 的最大值为2a+4，最小值为 a+1，则实数 a 的取值范围为（ ）A1，2 B2，1 C3， 2 D 3，125 （2016江门模拟）设实数 x，y 满足： ，则 z=2x+4y 的最小值是（ ）A B C1 D826 （2016漳州二模）设 x，y 满足约束条件 ，若 z=x+3y 的最大值与最小值的差为 7，则实数 m=（ ）第 5 页（共 32 页）A B C D27 （2016河南模拟）已知 O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标均满足不等式组，设 与 的夹角为 ，则 tan 的最大值为（ ）A B C D28 （2016云南一模）已知变量 x、y 满足条件 ，则 z=
7、2x+y 的最小值为（ ）A2 B3 C7 D12二填空题（共 2 小题）29 （2016郴州二模）记不等式组 所表示的平面区域为 D若直线 y=a（x+1）与 D 有公共点，则 a 的取值范围是 30 （2015河北）若 x，y 满足约束条件 则 的最大值为 第 6 页（共 32 页）高中数学线性规划问题参考答案与试题解析一选择题（共 28 小题）1 （2015马鞍山一模）设变量 x，y 满足约束条件： ，则 z=x3y 的最小值（ ）A2 B4 C 6 D8【分析】我们先画出满足约束条件： 的平面区域，求出平面区域的各角点，然后将角点坐标代入目标函数，比较后，即可得到目标函数 z=x3y
8、的最小值【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如图所示，由图可知目标函数在点（2， 2）取最小值 8故选 D【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解2 （2015山东）已知 x，y 满足约束条件 ，若 z=ax+y 的最大值为 4，则 a=（ ）A3 B2 C 2 D3第 7 页（共 32 页）【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 z
9、的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 则 A（2，0） ，B（1，1） ，若 z=ax+y 过 A 时取得最大值为 4，则 2a=4，解得 a=2，此时，目标函数为 z=2x+y，即 y=2x+z，平移直线 y=2x+z，当直线经过 A（2，0）时，截距最大，此时 z 最大为 4，满足条件，若 z=ax+y 过 B 时取得最大值为 4，则 a+1=4，解得 a=3，此时，目标函数为 z=3x+y，即 y=3x+z，平移直线 y=3x+z，当直线经过 A（2，0）时，截距最大，此时 z 最大为 6，不满足条件，故 a=2，故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，结
10、合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键3 （2015重庆）若不等式组 ，表示的平面区域为三角形，且其面积等于 ，则 m 的值为（ ）A3 B1 C D3【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出三角形各顶点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：若表示的平面区域为三角形，第 8 页（共 32 页）由 ，得 ，即 A（2，0） ，则 A（2，0）在直线 xy+2m=0 的下方，即 2+2m0，则 m1，则 A（2，0） ，D（2m，0） ，由 ，解得 ，即 B（1 m，1+m ） ，由
11、 ，解得 ，即 C（ ， ） 则三角形 ABC 的面积 SABC=SADBSADC = |AD|yByC|= （2+2m） （1+m ）=（1+m） （1+m ）= ，即（1+m） = ，即（1+m） 2=4解得 m=1 或 m=3（舍） ，故选：B【点评】本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算，求出交点坐标，结合三角形的面积公式是解决本题的关键第 9 页（共 32 页）4 （2015福建）变量 x，y 满足约束条件 ，若 z=2xy 的最大值为 2，则实数m 等于（ ）A2 B1 C1 D2【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解
12、的坐标，代入目标函数求得 m 的值【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，联立 ，解得 A（ ） ，化目标函数 z=2xy 为 y=2xz，由图可知，当直线过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最大值为，解得：m=1故选：C【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题5 （2015安徽）已知 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最大值是（ ）A1 B2 C 5 D1【分析】首先画出平面区域，z=2x+y 的最大值就是 y=2x+z 在 y 轴的截距的最大值第 10 页（共 32 页）【解答】解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线 y=2
13、x+z 经过 A 时使得 z 最大，由 得到 A（1，1） ，所以 z 的最大值为21+1=1；故选：A【点评】本题考查了简单线性规划，画出平面区域，分析目标函数取最值时与平面区域的关系是关键6 （2014新课标 II）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=2xy 的最大值为（ ）A10 B8 C3 D2【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 z的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分 ABC） 由 z=2xy 得 y=2xz，平移直线 y=2xz，由图象可知当直线 y=2xz 经过点 C 时，直线 y=2xz 的截距最小，此时 z 最大由 ，解得 ，即 C（5，2）代入目标函数 z=2xy，得 z=252=8
