1、14.1 分析“求汽车行驶的路程” 感悟定积分概念的形成定积分概念的理解对大多数同学来说是比较抽象的.概念的形成不是以一段文字可以概括和说明的.而是要通过一种数学运算来体现定积分的内涵与意义.所以对这种运算如果不能有一种清晰的认识,就很难真正把握定积分的定义.下面我们就把这一运算过程通过“求汽车行驶的路程”详细地分解开,以助于同学们深刻理解其本质.一.提出问题汽车以速度 v组匀速直线运动时，经过时间 t所行驶的路程为 Svt如果汽车作变速直线运动，在时刻 t的速度为 2vt（单位：km/h），那么它在 0 1(单位：h)这段时间内行驶的路程 S（单位：km）是多少？ 分析：与求曲边梯形面积类似
2、，采取“以不变代变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题把区间 0,1分成 n个小区间，在每个小区间上，由于 vt的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得 S（单位：km）的近似值，最后让 趋紧于无穷大就得到 S（单位： km）的精确值（思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程）解：1分割在时间区间 0,1上等间隔地插入 1n个点，将区间 0,1等分成 n个小区间：,n， 2,， , 记第 i个区间为 1,(,2)iinn ，其长度为: 1itn.把汽车在时间段
3、 0,， ,， 1,上行驶的路程分别记作：1S， 2， nS显然， 1nii2（2）近似代替当 n很大，即 t很小时，在区间 1,in上，可以认为函数 2vt的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点 1in处的函数值21iivn，从物理意义上看，即使汽车在时间段,(,)iin上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻 1in处的速度21iivn作匀速直线运动，即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是的用小矩形的面积 iS近似的代替 iS，即在局部范围内“ 以直代取”，则有:ntnvii 121 nini 3,212（3）求和由， nitnivSniini 21111202n=2
4、2311n= 36= 123n从而得到 S的近似值 nS.（4）取极限当 n趋向于无穷大时，即 t趋向于 0 时， 1123nSn趋向于 S，从而有: 35lim1lilim1 nivSnn.3思考：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程 S与由直线0,1tv和曲线 2vt所围成的曲边梯形的面积有什么关系？结合上述求解过程可知，汽车行驶的路程 limnS在数据上等于由直线 1,0t,v和曲线 2vt所围成的曲边梯形的面积一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为 vt，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在 a t b
5、内所作的位移 S二实例展示例弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力 Fxk（ 为常数， x是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长 b所作的功 分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解解： 将物体用常力 F沿力的方向移动距离 x，则所作的功为 WFx1分割在区间 0,b上等间隔地插入 1n个点，将区间 0,1等分成 n个小区间：,n， 2,， ,b 记第 i个区间为 1,(1,2)iinn ，其长度为: 1ibxnn.把在分段 0,b， 2,， ,b上所作的功分别记作：1W， 2， n（2）近似代替有条件知： 11iibibFxknn (1,2)in（3）求和411nnii ibWkn= 2 2210kbkkbn n从而得到 的近似值 2nbW（4）取极限 2211limlilimnnnkbkbW.所以得到弹簧从平衡位置拉长 所作的功为：2.
