1、07. 直线和圆的方程直线和圆的方程 知识要点知识要点一、直线方程.1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与 x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与 x轴平行或重合时，其倾斜角为 0，故直线倾斜角的范围是 )0(180.注：当 9或 12x时，直线 l垂直于 x轴，它的斜率不存在.每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点 ),0(ba，即直线在 x轴， y轴上的截距分别为)0,(,ba时，直线方程是：
2、1yx.注：若 23xy是一直线的方程，则这条直线的方程是 23xy，但若)0(2则不是这条线.附：直线系：对于直线的斜截式方程 bkxy，当 k,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果 bk,变化时，对应的直线也会变化.当 b为定植， k变化时，它们表示过定点（0， ）的直线束. 当 为定值， 变化时，它们表示一组平行直线.3. 两条直线平行：1l 2k两条直线平行的条件是： 1l和 2是两条不重合的直线 . 在 1l和2的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误 .（一般的结论是：对于两条直线 21,l，它们在 y轴上的纵截距是 2
3、1,b，则 1l21kl，且 21b或 1,l的斜率均不存在，即 21AB是平行的必要不充分条件，且 C）推论：如果两条直线 21,l的倾斜角为 21,则 l 212. 两条直线垂直：两条直线垂直的条件：设两条直线 1l和 2的斜率分别为 1k和 2，则有121kl这里的前提是 21,l的斜率都存在. 012kl，且 2l的斜率不存在或 0，且 l的斜率不存在 . （即 0121BA是垂直的充要条件）4. 直线的交角：直线 1l到 2的角（方向角）；直线 1l到 2的角，是指直线 1l绕交点依逆时针方向旋转到与 重合时所转动的角 ，它的范围是 ),0(，当 90时 21tank.两条相交直线
4、1l与 2的夹角：两条相交直线 1l与 2的夹角，是指由 l与 相交所成的四个角中最小的正角 ，又称为 l和 所成的角，它的取值范围是 2,0，当 90，则有 21tank.5. 过两直线 0:2211CyBxAl的交点的直线系方程(0)(2211 CyBxACyBxA为参数， 不包括在内）6. 点到直线的距离：点到直线的距离公式：设点 ),(0yxP，直线 PCByAxl,0:到 l的距离为 d，则有 20BACyxd.注：1. 两点 P1(x1,y1)、P 2(x2,y2)的距离公式： 212121)()(| yxP.特例：点 P(x,y)到原点 O 的距离： |y2. 定比分点坐标分式。
5、若点 P(x,y)分有向线段 1212P所 成 的 比 为 即 ,其中P1(x1,y1),P2(x2,y2).则 ,12yx特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。3. 直线的倾斜角（0 180）、斜率: tank4. 过两点 1221),(),( xyyxP的 直 线 的 斜 率 公 式 ： . 12()x当 2121,x（即直线和 x 轴垂直）时，直线的倾斜角 90，没有斜率 新 疆学 案王 新 敞两条平行线间的距离公式：设两条平行直线 )(0:,0: 212211 CByAxlCByAxl ，它们之间的距离为 d，则有 21BAC.注；直线系方程1. 与直线：Ax +By+C=
6、 0 平行的直线系方程是：Ax+By +m=0.( mR, Cm ).2. 与直线：Ax +By+C= 0 垂直的直线系方程是：B x-Ay+m=0.( mR)3. 过定点（x 1,y1）的直线系方程是： A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B 不全为 0)4. 过直线 l1、l 2 交点的直线系方程：（A 1x+B1y+C1）+( A2x+B2y+C2）=0 (R） 注：该直线系不含 l2.7. 关于点对称和关于某直线对称：关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.若两条直
7、线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程）可解得所求对称点.注：曲线、直线关于一直线（ bxy）对称的解法：y 换 x，x 换 y. 例：曲线 f(x ,y)=0 关于直线 y=x2 对称曲线方程是 f(y+2 ,x 2)=0. 曲线 C: f(x ,y)=0 关于点(a ,b) 的对称曲线方程是 f(a x, 2b y)=0. 二、圆的方程.1. 曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线 C上的 与一个二元方程0),(yxf的实数建立了如下关系：曲
8、线上的点的坐标都是这个方程的解.以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点 ),(yxM其坐标与方程 0),(yxf的一种关系，曲线上任一点 ),(yx是方程 0),(yxf的解；反过来，满足方程0),(yxf的解所对应的点是曲线上的点.注：如果曲线 C 的方程是 f(x ,y)=0，那么点 P0(x0 ,y)线 C 上的充要条件是 f(x0 ,y0)=0 2. 圆的标准方程：以点 ),(baC为圆心， r为半径的圆的标准方程是22)()(rbyax.特例：圆心在坐标原点，半径为 r的圆的方程是： 2
9、ryx.注：特殊圆的方程：与 x轴相切的圆方程 2)()(ba ),(,babr或圆 心与 y轴相切的圆方程 22)()(abyax ),(,baar或圆 心与 x轴 轴都相切的圆方程 ,圆 心3. 圆的一般方程： 02FEyDx .当 042FED时，方程表示一个圆，其中圆心 2,EDC，半径r.当 042时，方程表示一个点 2,E.当 FED时，方程无图形（称虚圆）.注：圆的参数方程： sincorbyax（ 为参数）.方程 022FEDCBxyA表示圆的充要条件是： 0B且 0CA且042FED.圆的直径或方程：已知 )()(),(),( 212121 yxyxBA （用向量可征）.4.
10、 点和圆的位置关系：给定点 ),(0yxM及圆 22)()(:rbyaxC.M在圆 C内 220)(rbax 在圆 上 0)(y（ M在圆 C外 2020)()(rbyax5. 直线和圆的位置关系：设圆圆 ： )()()(22rbyax； 直线 l： )0(2BACyAx；圆心 ),(bC到直线 l的距离 2BACbad. rd时， l与 相切；附：若两圆相切，则 02211FyExDy相减为公切线方程. rd时， l与 C相交；附：公共弦方程：设有两个交点，则其公共弦方程为 0)()()( 212121 FyExD. rd时， l与 C相离. 附：若两圆相离，则 02211FyExy相减为圆
11、心 21O的连线的中与线方程.由代数特征判断：方程组 0)()(22CBxArbya用代入法，得关于 x（或 y）的一元二次方程，其判别式为 ，则：l0与 C相切；与 相交；l与 相离.注：若两圆为同心圆则 0112FyExDy， 022FyExDy相减，不表示直线.6. 圆的切线方程：圆 2ryx的斜率为 k的切线方程是 rkxy21过圆02FEyDx上一点 ),(P的切线方程为： 0200 FyExDyx .0:22111FyExy一般方程若点(x 0 ,y0)在圆上，则 (x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2. 特别地，过圆2ry上一点 (xP的切线方程为 2r.若点(x
12、0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则 1)(2001Rxakyb，联立求出 k切线方程.7. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：ABCD 四类共圆. 已知 O的方程 02FEyDx 又以 ABCD 为圆为方程为 )()(kbxyaxAA 4)(222byR，所以 BC 的方程即代 ， 相切即为所求.三、曲线和方程1.曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线 C 和方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系：1） 曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解（纯粹性）；2） 方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上（完备性）。则称方
13、程 f(x,y)=0为曲线 C 的方程，曲线 C 叫做方程 f(x,y)=0 的曲线。2.求曲线方程的方法：.1）直接法：建系设点，列式表标,简化检验; 2）参数法; 3）定义法， 4）待定系数法.-圆锥曲线方程考试内容：椭圆及其标准方程椭圆的简单几何性质椭圆的参数方程双曲线及其标准方程双曲线的简单几何性质抛物线及其标准方程抛物线的简单几何性质考试要求：（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程ABCD(a,b)（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质（4）了解圆锥曲线的初步应用08. 圆锥曲线方程
14、 知识要点一、椭圆方程.1. 椭圆方程的第一定义： 为 端 点 的 线 段以无 轨 迹方 程 为 椭 圆2121,FaPF椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在 x 轴上： )0(12bayx. ii. 中心在原点，焦点在 y轴上：)0(12baxy. 一般方程： )0,(12BAyx.椭圆的标准参数方程： 12byax的参数方程为 sincobyax（一象限 应是属于 2）.顶点： ),0(b或 )0,(,ba.轴：对称轴： x 轴， y轴；长轴长 a2，短轴长 b2.焦点： ,c或 ,c.焦距： 221,bcF.准线：cax或 y2.离心率： )0(ea.焦点半径：i. 设 ),(0P为
15、椭圆 12byax上的一点， 21,为左、右焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出.ii.设 ),(0yx为椭圆 )0(12baybx上的一点， 21,F为上、下焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出.由椭圆第二定义可知： )0()(),0()( 02201 xaecpxeacxepF 归结起来为“左加右减 ”.注意：椭圆参数方程的推导：得 )sin,o(bN方程的轨迹为椭圆. 通径：垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标： ),(22abcd和 ),(2共离心率的椭圆系的方程：椭圆 )0(12bayx的离心率是0201,exaPFexa0201,eyaeya)(2bace，方程 tbyax(2
16、是大于 0 的参数， )0ba的离心率也是我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.若 P 是椭圆： 12byax上的点. 21,F为焦点，若 21PF，则 21FP的面积为 2tanb（用余弦定理与 aP可得）. 若是双曲线，则面积为cot2.二、双曲线方程.1. 双曲线的第一定义： 的 一 个 端 点 的 一 条 射 线以无 轨 迹方 程 为 双 曲 线2121,FaPF双曲线标准方程： )0,(1),0,(2baxybayx. 一般方程：)0(12ACyx.i. 焦点在 x 轴上： 顶点： )0,(,a 焦点： )0,(,c 准线方程 cax2 渐近线方程：byax或 2byxii. 焦点在
17、轴上：顶点： ),0(,a. 焦点： ),0(c. 准线方程： cay2. 渐近线方程： 0bxay或 2bxy，参数方程： tansebyx或 setanybx .轴 x,为对称轴，实轴长为 2a, 虚轴长为 2b，焦距 2c. 离心率 ac. 准线距 ca2（两准线的距离）；通径 . 参数关系 ebac,2. 焦点半径公式：对于双曲线方程 12byax（ 2,F分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则： aexMF021构成满足 aMF21 aexF021（与椭圆焦半径不同，椭 asinco,()bNyx的 轨 迹 是 椭 圆 yxM1F2 yx12圆焦半径要带符
18、号计算，而双曲线不带符号） aeyFMaey021021等轴双曲线：双曲线 22ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为 xy，离心率 2e.共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线. 2byax与 2byax互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线： 02yx.共渐近线的双曲线系方程： )0(2byax的渐近线方程为 02byax如果双曲线的渐近线为 0byax时，它的双曲线方程可设为 )(2.例如：若双曲线一条渐近线为 x21且过 )21,3(p，求双曲线的方程？解：令双曲线的方程为： )0(42yx，代入 ,得 128yx.直线与双曲线的位置关系：区域
19、：无切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 2 条；区域：即定点在双曲线上，1 条切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 3 条；区域：2 条切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 4 条；区域：即定点在渐近线上且非原点，1 条切线，1 条与渐近线平行的直线，合计 2 条；区域：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4 条.（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入 ”“法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.若 P 在双曲线 12byax，则常用结论 1：P 到焦点的距离为 m = n，则
20、 P 到两准线的距离比为 mn. xF2453简证： ePFd21= nm.常用结论 2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于 b.三、抛物线方程.3. 设 0p，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： pxy2pxy2pyx2pyx2图形 O O x焦点 )0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF准线 xxyy范围 Ry,0Ry,00,x0,Rx对称轴 x轴 y轴顶点 （0，0）离心率 1e焦点 12xpPF2xpPF12ypPF12ypPF注： cbya2顶点 )4(abc. )0(pxy则焦点半径 2x; )0(py则焦点半径为 2y.通径为 2p，这是过焦点的所有弦中最短的.
