1、万有引力定律 人造地球卫星夯实基础知识1开普勒行星运动三定律简介（轨道、面积、比值）丹麦天文学家第一定律：所有行星都在椭圆轨道上运动，太阳则处在这些椭圆轨道的一个焦点上；第二定律：行星沿椭圆轨道运动的过程中，与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等；第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等即 kTr23开普勒行星运动的定律是在丹麦天文学家弟谷的大量观测数据的基础上概括出的，给出了行星运动的规律。2万有引力定律及其应用(1) 内容：宇宙间的一切物体都是相互吸引的，两个物体间的引力大小跟它们的质量成积成正比，跟它们的距离平方成反比，引力方向沿两个物体的连线方向。（168
2、7 年）2rMmGF叫做引力常量，它在数值上等于两个质量都是 1kg 的物体相距 1m 时的相21/067.kgN互作用力，1798 年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出。万有引力常量的测定卡文迪许扭秤实验原理是力矩平衡。实验中的方法有力学放大（借助于力矩将万有引力的作用效果放大）和光学放大（借助于平面境将微小的运动效果放大） 。万有引力常量的测定使卡文迪许成为“能称出地球质量的人 ”：对于地面附近的物体 m，有（式中 RE 为地球半径或物体到地球球心间的距离） ，可得到 。2EmGg GgRE2(2)定律的适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身
3、的大小时，公式也可近似使用，但此时 r 应为两物体重心间的距离对于均匀的球体，r 是两球心间的距离当两个物体间的距离无限靠近时，不能再视为质点，万有引力定律不再适用，不能依公式算出 F 近为无穷大。(3) 地球自转对地表物体重力的影响。重力是万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物 体随地球自OONF 心mF 引 mg甲转时需要向心力重力实际上是万有引力的一个分力另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力，如图所示，在纬度为 的地表处，万有引力的一个分力充当物体随地球一起绕地轴自转所需的向心力 F 向 =mRcos 2（方向垂直于地轴指向地轴） ，而万有引力的另一个分力就是通常所说的重
4、力mg，其方向与支持力 N 反向，应竖直向下，而不是指向地心。由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力 F 向不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度 g 随纬度变化而变化，从赤道到两极 R 逐渐减小，向心力 mRcos 2 减小，重力逐渐增大，相应重力加速度 g 也逐渐增大。在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力 F 向 和 m2g 刚好在一条直线上，则有 FF 向 m 2g，所以m2g=F 一 F 向 G m 2R 自 2 。1r物体在两极时，其受力情况如图丙所示，这时物体不再做圆周运动，没有向心力，物体受到的万有引力 F 引 和支持力 N 是一对平衡力，此时物体的重力
5、mgNF 引 。N oF 引丙NF 引o乙综上所述重力大小：两个极点处最大，等于万有引力；赤道上最小，其他地方介于两者之间，但差别很小。重力方向：在赤道上和两极点的时候指向地心，其地方都不指向地心，但与万有引力的夹角很小。由于地球自转缓慢，物体需要的向心力很小，所以大量的近似计算中忽略了自转的影响，在此基础上就有：地球表面处物体所受到的地球引力近似等于其重力，即 mg 2RGmM万有引力定律的应用： 基本方法：卫星或天体的运动看成匀速圆周运动，F 万 =F 心 (类似原子模型)方法：轨道上正常转： rTmrvrMmG2224地面附近：G = mg GM=gR2 (黄金代换式) 2R（1）天体表
6、面重力加速度问题通常的计算中因重力和万有引力相差不大，而认为两者相等，即 m2gG ， g=GM/R2 常用来计21R算星球表面重力加速度的大小，在地球的同一纬度处，g 随物体离地面高度的增大而减小，即gh=GM/（R+h） 2，比较得 gh=（ ） 2gRr设天体表面重力加速度为 g，天体半径为 R，由 mg= 得 g= ，由此推得两个不同天体表面重2MmGR2力加速度的关系为21122M（2）计算中心天体的质量某星体 m 围绕中心天体 m 中 做圆周运动的周期为 T，圆周运动的轨道半径为 r，则：由 得：rTrG22中 234Gr中例如：利用月球可以计算地球的质量，利用地球可以计算太阳的质
7、量。可以注意到：环绕星体本身的质量在此是无法计算的（选择题） 。（3）计算中心天体的密度= = =VM34R32GTr由上式可知，只要用实验方法测出卫星做圆周运动的半径 r 及运行周期 T，就可以算出天体的质量M若知道行星的半径 R 则可得行星的密度人造地球卫星。这里特指绕地球做匀速圆周运动的人造卫星。1、卫星的轨道平面：由于地球卫星做圆周运动的向心力是由万有引力提供的，所以卫星的轨道平面一定过地球球心，地球球心一定在卫星的轨道平面内。2、原理：由于卫星绕地球做匀速圆周运动，所以地球对卫星的引力充当卫星所需的向心力，于是有 rTmrmarGM2222 )(3、表征卫星运动的物理量：线速度、角速
8、度、周期等：（1）向心加速度 与 r 的平方成反比。向= 当 r 取其最小值时， 取得最大值。向a2G向aa 向 max= =g=9.8m/s2RM（2）线速度 v 与 r 的平方根成反比v= 当 h，vrG当 r 取其最小值地球半径 R 时，v 取得最大值。 V max= = =7.9km/sRGMg（3）角速度 与 r 的二分之三次方成反比= 当 h，3rGM当 r 取其最小值地球半径 R 时， 取得最大值。 max= = 1.23103 rad/s3RGMg（4）周期 T 与 r 的二分之三次方成正比。T=2 当 h，TGM3当 r 取其最小值地球半径 R 时，T 取得最小值。 T mi
9、n=2 =2 84 min3g卫星的能量：(类似原子模型)r 增 v 减小(E K 减小V1V4V34. 解析：设抛出点的高度为 h，可得223LHL设该星球上的重力加速度为 g，由平抛运动的规律得：可得21gth由万有引力定律与牛顿第二定律得：2RMmG联立以上各式解得 。23GtLR6. 解析：设两星质量分别为 M1 和 M2，都绕连线上 O 点作周期为 T 的圆周运动，星球 1 和星球 2 到O 的距离分别为 l1 和 l2。由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可得 M1：G M 1（ ） 2 l1 ，M 22RT14TlR对 M2： G M 2（ ） 2 l2， M1 2Gl两式相加
10、得 M1M 2 （l 1l 2） 。4TR34TR11.解：（1）设 A、B 的角速度分别为 1、 2，经过时间 t， A 转 过 的 角 度 为 1t， B 转 过 的 角 度 为 2t。 A、 B 距 离 最 近 的 条 件 是 ： 1t- 2t= 。)3,21(n恒 星 对 行 星 的 引 力 提 供 向 心 力 ， 则 ：，32,rmGrmG 即由 得 得 出 ： ， ，31 32r求 得 ： 。),(321ntrmG12. 解析：根据万有引力定律， ，挖去的球体原来对质点 m 的引力为 ，而2)(RMmGF 2)5.1(RmMF。所以剩下的部分对质点 m 的引力为3rRM。FrF3916答案： Rr3
