1、高等数学（下）知识点第 1 页 共 17 页高等数学下册知识点第八章 空间解析几何与向量代数（一） 向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设 ， ，),(zyxaa ),(zyxbb则 , ； ,( zyxbab zaa5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模： ；22zr2） 两点间的距离公式： 212121 )()()( zyxBA3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角 ,4） 方向余弦： rzryrxcos ,cos
2、,cos1sscos2225） 投影： ，其中 为向量 与 的夹角。coPrajuau（二） 数量积，向量积1、 数量积： cosbaba1）22） ba0bazyx ba2、 向量积： ac大小： ，方向： 符合右手规则sinbacba,1） 0高等数学（下）知识点第 2 页 共 17 页2） ba/0bazyxbbkji运算律：反交换律 ba（三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念： 0),(:zyxfS2、 旋转曲面： （旋转后方程如何写）面上曲线 ，yoz),(:zfC绕 轴旋转一周： 0),(22zxyf绕 轴旋转一周：z ),(22yf3、 柱面：（特点）表示母线平行于 轴，准线为
3、 的柱面0),(yxFz0),(zyxF4、 二次曲面（会画简图）1） 椭圆锥面：222zbyax2） 椭球面： 1222czyx旋转椭球面： 222czayx3） *单叶双曲面： 1222czbyx高等数学（下）知识点第 3 页 共 17 页4） *双叶双曲面： 1222czbyax5） 椭圆抛物面 ： zyx226） *双曲抛物面（马鞍面）： zbyax227） 椭圆柱面： 122byax8） 双曲柱面： 22yx9） 抛物柱面： ayx（四） 空间曲线及其方程1、 一般方程： 0),(,zyxGF2、 参数方程： ，如螺旋线：)(tzytbtzaytxsinco3、 空间曲线在坐标面上的
4、投影，消去 ，得到曲线在面 上的投影0),(,zyxGFzxoy0),(zyxH（五） 平面及其方程（法向量）1、 点法式方程： )()()( 000 zCyBxA法向量： ，过点,Cn ,0z高等数学（下）知识点第 4 页 共 17 页2、 一般式方程： （某个系数为零时的特点）0DCzByAx截距式方程： 1cba3、 两平面的夹角： ， ，),(11CBAn ),(22CBAn222121cosA21 02122CB21/ 212A4、 点 到平面 的距离：),(00zyxP 0DzyAx22CBADd（六） 空间直线及其方程（方向向量）1、 一般式方程： 02222 1111 DzyB
5、xA2、 对称式（点向式）方程： pznym0方向向量： ，过点),(pns ),(00zx3、 参数式方程： ptzytx004、 两直线的夹角： ， ，),(11nms ),(222pnms222121cos ppn高等数学（下）知识点第 5 页 共 17 页21L0212121 pnm21/ 225、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角， 2222sin pnmCBA/L0pn第九章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。2、 多元函数： ，图形，定义域：),(yxfz3、 极限：
6、Ayxylim),(),(04、 连续： ),(),0),(),(0 yxff5、 偏导数： xfxfyxfx ), (), li),( 0000 yyfffyy ),(),(lim),( 00006、 方向导数： 其中 为 的方向角。coscosyfxflf,l7、 梯度： ，则 。),(fz jyxfiyxfyxgradf y),(),(),( 0008、 全微分： 设 ，则,yxfdzz（二） 性质1、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：高等数学（下）知识点第 6 页 共 17 页偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件 必要条件定义1 22342、 闭区域上连
7、续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、 微分法1） 定义： ux2） 复合函数求导：链式法则 z若 ，则 (,)(,)(,)zfuvxyvxyvy，zxxzuzv3） 隐函数求导： a.两边求偏导，然后解方程（组） ，b. 公式法（三） 应用1、 极值1） 无条件极值：求函数 的极值),(yxfz解方程组 求出所有驻点，对于每一个驻点 ，令0yxff ),(0yx， ， ，),(0xfA),(0yxfB),(0fCy 若 ， ，函数有极小值，2CA若 ， ，函数有极大值； 若 ，函数没有极值；02BA 若 ，不定。C2） 条件极值：求函数 在条件 下的极值),(yxfz 0)
8、,(yx高等数学（下）知识点第 7 页 共 17 页令： Lagrange 函数),(),(),( yxyxfyxL解方程组 0),(yxx2、 几何应用1） 曲线的切线与法平面曲线 ，则 上一点 （对应参数为 ）处的)()(:tzytx),(0zyxM0t切线方程为： )()()( 000 tztytx法平面方程为： 0)()00 ztzyyx2） 曲面的切平面与法线曲面 ，则 上一点 处的切平面方程为：0),(:zyxF),(0xM0)(,(),(,( 000000 zyxFyzyxFzyx法线方程为： ),(),(),( 000000 zzx zy第十章 重积分（一） 二重积分1、 定义
9、： nk kkDfyxf 10),(limd),( 2、 性质：（ 6 条）3、 几何意义：曲顶柱体的体积。4、 计算：1） 直角坐标X 型区域： ，bxayyxD)()(,(21高等数学（下）知识点第 8 页 共 17 页21()(,)dd,)dbxaDfxyfyY 型区域： ，dycxyx)()(,(2121()(,)d,)dycDfxyfx*交换积分次序（课后题）2） 极坐标)()(,(2121()(,)dcos,in)dDfxydf（二） 三重积分1、 定义： nk kkvfvzyxf 10),(limd),( 2、 性质：3、 计算：1） 直角坐标-投影法“先一后二”Dyxz zfv
10、zyxf ),(,21 d),dd),(-截面法“先二后一”Zba yxzyfzf ),(),(2） 柱面坐标，zyxsinco(,)d(cos,in,)dfxyzvf zz3） *球面坐标 *高等数学（下）知识点第 9 页 共 17 页cosinicossrzyrx 2(,)d(sinco,sin,cos)indfxyzvfrrrr（三） 应用曲面 的面积：DyxfzS),(),(: yxyzxzADd)()(122第十一章 曲线积分与曲面积分（一） 对弧长的曲线积分1、 定义： 01(,)dlim(,)niiLifxysfs2、 性质：1） (,)(,)(,)d(,)d.L LLfxyxy
11、sfxysgxys 2） 1 2(,)d(,)d(,).LLLfsff ).(213）在 上，若 ，则),(),(yxgyxf(,)d(,)d.LLfxysgxys4） ( l 为曲线弧 L 的长度)sLd3、 计算：设 在曲线弧 上有定义且连续， 的参数方程为 ，其中),(yxfLL )(),ttyx在 上具有一阶连续导数，且 ，则)(,t, 0()(22t22,d(),)d ,()Lfxysftttt （二） 对坐标的曲线积分高等数学（下）知识点第 10 页 共 17 页1、 定义：设 L 为 面内从 A 到 B 的一条有向光滑弧，函数 ， 在 L 上有界，xoy ),(yxP),(yxQ
12、定义 ，nk kkL xPP10),(limd),( .nk kkL yQyxQ10),(li),(向量形式： LL xyxPrFd),(d),(d2、 性质： 用 表示 的反向弧 , 则 LL ryFrF),(),(3、 计算：设 在有向光滑弧 上有定义且连续, 的参数方程为),(),(yxQP，其中 在 上具有一阶连续导数，且):(),tyx )(,t,，则0(22tt,)d(,)d(),()(),()d LPxyQxyPtttQttt 4、 两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为 ， 上点 处的切向量的方向角为： ，)( tyL为L),(yx,， ，)()(cos22tt )()(cos22tt则 .d dLLPxQyPQs（三） 格林公式1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数 在 ),(),(yxQPD 上具有连续一阶偏导数, 则有 LDyxxQdd
