1、2函数极限总结一极限的产生极限理论是研究关于极限的严格定义、基本性质和判别准则等问题的基础理论。极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期，但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的无穷算数中，牛顿在其自然哲学的数学原理一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。但迟至 18 世纪下半叶，达朗贝尔等人才认识到，把微积分建立在极限概念的基础之上，微积分才是完善的，柯西最先给出了极限的描述性定义，之后，魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义（- 和 -N 定义）。从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则，使极限理论成为了微积分的工具和基础。1二极限知识点总结1. 极限定义函数极限：设函数 f(x)在点的
2、 x0某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数 （无论它多么小），总存在正数 ，使得当 x 满足不等式 |x-|00时，对应的函数值 都满足不等式： |)(|Axf那么常数 A 就叫做函数 f(x) 当 xx 0时的极限，记作fxlim0。2单侧极限： .左极限：Axfx)(li或 )()左f. 右极限：fx或 右xf定理：AffAxfx )()(lim0)(00000 xffxffx 函数 )(f当 0时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相3等 即)()(lim000xfxff。2. 极限概念函数极限可以分成 0, xxx以 0的极限为例，f(x) 在点 x0以 A
3、 为极限的定义是：对于任意给定的正数 （无论它多么小），总存在正数 ，使得当 x 满足不等式 时，对应的函数值 f(x)都满足不等式：|f(x)-A|，那么常数 A 就叫做函数 f(x)当 xx。时的极限。函数极限具有唯一性、局部有限性、局部保号性23. 存在准则有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。准则.如果数列 nx， y及 nz满足以下条件：（1）从某项起，即 N0，当 0时，有 nnzxy；（2）aynxlim；aznxli，那么数列 n的极限存在，且xn准则如果（1）当 ),(0rUx（或 M|）时， )()(xhfxg（
4、2）Agxli)(0，Axhxo)(li(，那么lim)(0fx存在，且等于 。夹逼定理：（1）当 ,0rU时 ，有 成立（2） ,那么， 0xf极限存在，且等于 A【准则，准则合称夹逼定理】4准则： 单调有界数列必有极限准则 ：设函数 )(xf在点 0的某个左(右)邻域内单调并且有界，则)(xf在 0的左(右)极限 xf必定存在3单调有界准则：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。柯西准则：数列收敛的充分必要条件是任给 ,存在 ,使得当 ,o)(NNn时，有 成立。2Nm|mnx极限运算相关法则、定理及推论（1）.设 、 为同一极限过程下的无穷小0（无穷小）（2）.穷小之积为无穷小0（
5、无穷小）推论：. 常数与无穷小之积为无穷小. 有限个无穷小之积为无穷小（3）.有界函数与无穷小之积为无穷小0u（4）.函数极限运算法则定理：设 )(limxf， Bxg)(li则 Afliligf(x)li Bxgff )(li)(lili 若 0B，则Axfgf)(lim)(li5推论 1.如果 )(limxf存在，而 c 为常数那么 )(lim)(lixfcxf推论 2. Af)( Nn则 nnfxfli)(li定理（复合函数求极限法则）设函数 )(yxgf是由函数 )(uxg与函数 )(yuf复合而成， )(xgf在点 0x的某去心邻域内有定义，若0li0x，Axli0且存在 0，当),
6、(0U时，有 0)(gux，则ffum00)(。两个重要极限：.1sinl0x.exx)(li即若 )0()(limxff，则 efxf)(1(li常用等价无穷小：当 0x时， )1ln(arctrtntasnxxn1， xe1， 2xcos-， bx）（ a）（ ,0laxa计算极限方法总结（1）直接带入求极限例 1.)138(21limxx6【解】 6138138211121limlilixxxx（2）约零因子求极限例 2.求极限 14lix【说明】x1 表明 x 与 1 无限接近，但 1x。所以 x-1 这一零因子可以约去。【解】4)()1( 21x21 limli xx（3）分子分母同
7、除求极限（公式法）例 3.求极限 132lix【说明】 型且分子分母都以多项式给出的极限，可通过分子分母同除来求。【解】31132xlimlixx【注】（1）一般分子分母同除 x 的最高次方7（2）mnbaxbamnnx 01li(4)分子(分母)有理化求极限例 4.求极限)13(22lixx【说明】分子分母有理化求极限，是通过有理化去除无理式【解】0132 13)()( 2222limli xxxx xx例 5.求极限 30sintanlixx【解】 41sinta21 sinta1i1sit30 3030limllixxxxxx xx【注】本题除使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零
8、因子是解题的关键。(5)应用两个重要极限求极限【说明】两个重要极限是1sinlm0x和exx)(l例 6.求极限xx1-li8【说明】用第二个重要极限时主要搞清楚步骤：先凑出 1，在凑 x，最后凑指数部分。【解】 22121x121-limlilime xxxxxx (6)用等价无穷小两代换求极限【说明】(1）常见的等价无穷小有:当 x0 时，x=sinx=tanx=arcsinx=arctanx=ln(1+x）=e x-1，1-cosx=2x1, abx）（ ， ）（ 1,0ln1ax，nxn1。（2）等价无穷小量代换，只能代换极限式中的因式；（3）此方法在各种求极限的方法中应作为首选。例
9、7.求极限 xxcos-1)ln(im09【解】21cos1)ln(imi00 xxx例 8.求极限 xx30tan)l(i【解】 613231cossitansi 0203030 lilll xxxx xxx(7)用洛必达法则求极限例 9.求极限 220 )sin1l(coslnimxx【说明】 和 型的极限，可通过洛必达法则来求。【解】3sin12cosin2sin1cosi)sil(l 20 2022ml xx xx xx【注】有许多变动上限的积分表示的极限，常用洛必达法则求解。例 10.设函数 )(fx连续，且 0f()，求极限 dtxfx)(0lim【解】由于dufdufxdtfu)
10、()()(0，于是1021)0()(0 )()(0)()(0)(0)()(0limlimlililim0 fxfudtx xfdufxtxfufdtxdufxtttfdxxx xx(8)用对数恒等式求 )(lixgf极限例 11.求极限xx20)1ln(【解】21ln21ln2020 )1ln(2im00ilimi eexxxxxx 【注】对于 1形势的未定式 )(lixgf，也可用公式)(lim)(li xgfxgef因为 ）（）（）（ 1)(lim)1ln()limln)(li)(li xfgxfgxfgxg eef例 12.求极限13cos20xx11【解 1】原式=61sinco212)sin(co3llncos2ln1imii00203cos2ln0 xxxxexxxx【解 2】原式= 613cos31cosln3cos2ln202003cos2ln0lii xxxexxxxx4四参考文献1极限理论 https:/ 2017.11.242函数极限 https:/ 2017.11.243同济大数学系 高等数学 第七版 上册北京 高等教育出版社 1987 年4来自 QQ 空间 由大学生笔记墙整理
