1、1高等数学（下）知识点主要公式总结第八章 空间解析几何与向量代数1、 二次曲面1） 椭圆锥面：222zbyax2） 椭球面： 旋转椭球面：1222c 1222czayx3） 单叶双曲面： 双叶双曲面：222zbyax 222b4） 椭圆抛物面： 双曲抛物面（马鞍面）：z22 zyax225） 椭圆柱面： 双曲柱面：122byax 122b6） 抛物柱面： yx（二） 平面及其方程1、 点法式方程： 0)()()( 00 zCyBA法向量： ，过点,Cn,0zx2、 一般式方程： Dyx截距式方程： 1czba3、 两平面的夹角： ， ，),(11CBAn ),(22CBAn22121cos ；
2、 21 0212BA21/ 2121CBA4、 点 到平面 的距离：),(00zyxP 0DCzyx22CBADd（三） 空间直线及其方程21、 一般式方程： 02211DzCyBxA2、 对称式（点向式）方程： pznm0方向向量： ，过点),(pns),(00yx3、 两直线的夹角： ， ，11 22s22121cos pnmpn； 21L021221/L2121pnm4、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角， 222sinpnmCBA； /L0LpCnBmA第九章 多元函数微分法及其应用1、 连续： ),(),(lim0),(),(0 yxfyfyx2、 偏导数：；xffyx
3、fx ), (), li),( 0000 yxfxfyxfy ),(),(lim),( 00003、 方向导数： 其中 为 的方向角。coscsyfxfl,l4、 梯度： ，则 。),(fz jyxfiyxfyxgradf),(),(),( 0005、 全微分：设 ，则,yxfdz（一） 性质1、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：3偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件 必要条件定义1 22342、 微分法1） 复合函数求导：链式法则 若 ，则 (,)(,)(,)zfuvxyvxy，zxzuv（二） 应用1） 求函数 的极值 解方程组 求出所有驻点，对于每一个驻点
4、 ，令),(yxfz0yxf ),(0yx， ， ，),(0fAx ),(0fBxy ),(xCy 若 ， ，函数有极小值， 若 ， ，函数有极大值；2CA02BAA 若 ，函数没有极值； 若 ，不定。02BA2、 几何应用1） 曲线的切线与法平面曲线 ，则 上一点 （对应参数为 ）处的)()(:tzytx),(0zyxM0t切线方程为： )()()(000tztytx法平面方程为： 0)()(00 ztzyyx2） 曲面的切平面与法线4曲面 ，则 上一点 处的切平面方程为：0),(:zyxF),(0zyxM0)(,(),(, 000 zFzyxFzx法线方程为： ),(),(),( 000
5、yxzyx 第十章 重积分（一） 二重积分 ：几何意义：曲顶柱体的体积1、 定义： nkkkDfyxf10),(limd),( 2、 计算：1） 直角坐标， bxayx)()(,2121()(,)d,dbxaDfxyfy， dycD)()(,2121()(,),dycf fx2） 极坐标， )()(,(21 21()(,)dcos,in)dDfxyf（二） 三重积分1、 定义： nkkkvfvzyxf10),(limd),( 2、 计算：1） 直角坐标-“先一后二”Dyxzzfvzyxf ),(21d),d),(-“先二后一”Zba yxfzf ),(),(2） 柱面坐标，zyxsinco(,
6、)d(cos,in,)dfxyzvfzz3） 球面坐标5cosinrzyx 2(,)d(sinco,sin,cos)indfxzvfrrrr（三） 应用曲面 的面积：DyxfS),(,:zADd)(122第十一章 曲线积分与曲面积分（一） 对弧长的曲线积分1、 定义： 01(,)dlim(,)niiLfxysfs2、 计算：设 在曲线弧 上有定义且连续， 的参数方程为 ，其中 在),(yxf L)(),ttyx )(,t上具有一阶连续导数，且 ，则,0)()(22tt2()d,()d ,()Lfxysf t （二） 对坐标的曲线积分1、 定义：设 L 为 面内从 A 到 B 的一条有向光滑弧，
7、函数 ， 在 L 上有界，定义xoy ),(yxP),(yxQ， .nkkkL xPyxP10),(limd),( nkkkLyQ10,limd),(向量形式： LLyrF,d,2、 计算：设 在有向光滑弧 上有定义且连续, 的参数方程为),(),(yxQPL，其中 在 上具有一阶连续导数，且 ，则:),(tyx )(,t,0)()(22ttd(,)d,()(),d LxyPttQtt 3、 两类曲线积分之间的关系：6设平面有向曲线弧为 ， 上点 处的切向量的方向角为： ，)( tyxL为L),(yx,， ，)(cos22tt)(cos22tt则 .ddLLPxQyPQs（三） 格林公式1、
8、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, ),(,yxQP则有 LD yQxPyxQdd2、 为一个单连通区域，函数 在 上具有连续一阶偏导数，G),(),(G则 曲线积分 在 内与路径无关yPxdLxy（四） 对面积的曲面积分1、 定义：设 为光滑曲面，函数 是定义在 上的一个有界函数，),(zyxf定义 iiini SfSzyxf ),(lmd),(102、 计算：“一单二投三代入”， ，则),(:zxyD, yxzyxzyzfSyxfyx d),(),(1),(,d, 22（五） 对坐标的曲面积分1、 定义：设 为有向光滑曲面，函数 是定
9、义在 上的有界函数，定义 ),(),(),( zyxRzQzyxP同理，01(,)dlim,niiixyRxyzRS；01(,)li(,)(niiiyzPP 01(,)dlim(,)(niiizxQxyzRS2、 性质：1） ，则2171 2ddddPyzQxRyPyzQxRy 计算：“一投二代三定号”， ， 在 上具有一阶连续偏导数， 在 上连续，则),(:yxzxyD, ),(zxyD),(zyxR, 为上侧取“ + ” ， 为下侧取“ - ”.d,dxyRR 3、 两类曲面积分之间的关系： SRQPzQyP dcoscos 其中 为有向曲面 在点 处的法向量的方向角。,),(zyx（六）
10、 高斯公式1、 高斯公式：设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面 所围成, 的方向取外侧, 函数 在 上有连续的一阶偏导数 , ,PQR则有 yxRzQyPzyxzRyQxP dd d或 Scoscos 2、 通量与散度通量：向量场 通过曲面 指定侧的通量为：),(RQPA yxRzQyPdd散度： zyxdiv（七） 斯托克斯公式1、 斯托克斯公式：设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线 , 的侧与 的正向符合右手法则 , 在包含 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数 , 则有),(),(),(zyxRQzyxP zRyQxPyxQxP dd dd为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作: zRyxPRQP
11、zyxxz dd2、 环流量与旋度环流量：向量场 沿着有向闭曲线 的环流量为),(A zRyQxPdd8旋度： yPxQRzPyRArot , , 第十二章 无穷级数（一） 常数项级数1、 定义：1）无穷级数： nn uu3211部分和： ，nknS321正项级数： ，1nu0n交错级数： ，1)(nn2）级数收敛：若 存在，则称级数 收敛，否则称级数 发散Snlim1nu1nu3）条件收敛： 收敛，而 发散；1nu1nu绝对收敛： 收敛。1n2、 性质：1） 改变有限项不影响级数的收敛性；2） 级数 ， 收敛，则 收敛；1nanb1)(nnba3） 级数 收敛，则任意加括号后仍然收敛；1n4
12、） 必要条件：级数 收敛 .（注意：不是充分条件！）1nu0limnu3、 审敛法正项级数： ，1nu0n1） 定义： 存在；Slim2） 收敛 有界；1nun93） 比较审敛法： ， 为正项级数，且1nunv ),321( nvun若 收敛，则 收敛；若 发散，则 发散.1n1n1n1n4） 比较法的推论： ， 为正项级数，若存在正整数 ，当 时， ，而 收敛，则1nunvmnkvu1n收敛；若存在正整数 ，当 时， ，而 发散，则 发散. 1numnkvu1n1n5） 比较法的极限形式： ， 为正项级数，若 ，而 收敛，则 收敛；若1nu1nv )0( lilln 1nv1nu或 ，而 发
13、散，则 发散.0limnvunvli1n1nu6） 比值法： 为正项级数，设 ，则当 时，级数 收敛；则当 时，级数 发散；当1nulnliml1nu1l1nu时，级数 可能收敛也可能发散 .l1n7） 根值法： 为正项级数，设 ，则当 时，级数 收敛；则当 时，级数 发散；当1nulunli11nu1l1nu时，级数 可能收敛也可能发散.l1n8） 极限审敛法： 为正项级数，若 或 ，则级数 发散；若存在 ，使得nu0limnnunnuli 1nup，则级数 收敛.)0( limlunpn 1n交错级数：莱布尼茨审敛法：交错级数： ， 满足： ，且 ，则级数 收敛。1)(nu0n ),321
14、( 1nun 0limnu1)(nu任意项级数：绝对收敛，则 收敛。1nu1n常见典型级数：几何级数： ； p -级数：1 0qan为 1p 1为np（二） 函数项级数1、 定义：函数项级数 ，收敛域，收敛半径，和函数；1)(nxu2、 幂级数： 0a103、 收敛半径的求法： ，则收敛半径 na1lim0 , ,1R4、 泰勒级数nnxfxf)(!)(00)(0)(!1li)(li 1)( nnnxfxR展开步骤：（直接展开法）1） 求出 ；,321 ),(fn2） 求出 ；00)(x3） 写出 ；nnf)(!00)(4） 验证 是否成立。0)(!1lim)(li 1)( nnnxfxR间接展开法：（利用已知函数的展开式）1） ；),( ,!0enx2） ；),( ,!)12()si02xnnn3） ；),( ,)!(co0xn4） ；1 , ,10n5） ) ,( ,)(0xxnn6） 1 , ,1l0nn7） ) ,( ,)(1022xxn8） )1 ,( ,!(1 xnmnm5、 傅里叶级数1） 定义：正交系： 函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间 上积分 nxxxcos,i,2cos,i,cosin, ,为零。
