1、第一章：1、极限（夹逼准则）2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导） 注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则（背）3、求导公式 也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用-第一节）2、洛必达法则 3、泰勒公式 拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）5、曲率公式 曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法 （注意加 C ）定积分： 1、定义 2、反常积分第六章： 定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难1、方
2、向余弦 2、向量积 3、空 间直线（两直 线的夹角、线面夹角、求直 线方程） 3、空间平面 4、空间旋转面（柱面）第一章 函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有 f(x)K1则函数 f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)K2，则有上界， K2 称为上界。函数 f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数 列的极限定理(极限的唯一性)数列xn 不能同时收敛于两个不同的极限。 定理( 收敛数列的有界性)如果数列xn 收敛，那么数列 xn一定有界。 如果数列xn 无界，那么数列 xn一定发散；但如果数列 xn有界，却不能断定数列xn一定收敛，例如数列
3、1，-1，1，-1，(-1)n+1该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理( 收敛数列与其子数列的 关系)如果数列xn收敛于 a，那么它的任一子数列也收敛于 a.如果数列xn有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列xn 是发散的，如数列 1，-1，1，-1，(-1)n+1中子数列x2k-1收敛于 1，xnk收敛于-1， xn却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能 是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中 00(或 A0(或 f(x)0)，反之也成立。 函数 f(x)当 xx0 时极限存在的充分必 要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即 f(x0-0)
4、=f(x0+0)，若不相等则 limf(x)不存在。 一般的说，如果 lim(x)f(x)=c，则直线 y=c 是函数 y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(xx0)f(x)=，则直线 x=x0 是函数 y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是 无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果 F1(x)F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么 ab. 5、极限存在准则两个重要极限 lim(x0)(sinx/x)=1；lim(x)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列 xn、yn
5、、zn满足下列条件：ynxnzn 且 limyn=a，limzn=a，那么 limxn=a，对于函数该准则也成立。 单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性设函数 y=f(x)在点 x0 的某一邻域内有定义，如果函数 f(x)当 xx0 时的极限存在，且等 于它在点 x0 处的函数值 f(x0)，即 lim(xx0)f(x)=f(x0)，那么就称函数 f(x)在点 x0 处连续。 不连续情形：1、在 点 x=x0 没有定义；2、虽在 x=x0 有定义但 lim(xx0)f(x)不存在；3、虽在 x=x0 有定义且 lim(xx0)f(x)存在，但 lim(xx0)f(x)f(x0)时则称函数在
6、 x0 处不连续或间断。 如果 x0 是函数 f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称 x0 为函数 f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点( 无穷间断点 和震荡间断点)。 定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为 0)是个在该点连续的函数。 定理如果函数 f(x)在区间 Ix 上单调增加或减少且连续，那么它的反函数 x=f(y)在对应的区间Iy=y|y=f(x)，xIx 上单调增加或减少且连续。反三角函数在他们的 定义域内都是连续的。 定理(最大值最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有
7、最大值和最小值。如果函数在开区间内连续或函数在闭区 间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值。 定理(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界，即 mf(x)M.定理(零点定理)设函数 f(x)在闭区间a，b上连续，且 f(a)与 f(b)异号(即 f(a)f(b)函数在该点处连续；函数 f(x)在点 x0 处连续在该点可导。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而不是充分条件。 3、原函数可导则反函数也可导，且反函数的导数是原函数导数的倒数。 4、函数 f(x)在点 x0 处可微= 函数在该点处可导；函数 f(x)在点 x0 处可微的充分必要条件是函数在该点处
8、可导。 第三章 中值定理与导数的应用 1、定理(罗尔定理) 如果函数 f(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即 f(a)=f(b)，那么在 开区间(a，b)内至少有一点 (a0，那么函数 f(x)在a，b上单调增加；(2)如 果在(a ，b) 内 f(x)0 时，函 数 f(x)在 x0 处取得极小值；驻点有可能是极值点，不是驻点也有可能是极值点。 7、函数的凹凸性及其判定设 f(x)在区间 Ix 上连续，如 果对任意两点 x1，x2 恒有 f(x1+x2)/2f(x1)+f(x1)/2，那么称 f(x)在区间 Ix 上图形是凸的。 定理设函数 f(
9、x)在闭区间 a，b上连续，在开区间(a，b)内具有一阶和二阶导数，那么(1)若在(a， b)内 f(x)0，则 f(x)在闭区间a，b 上的图形 是凹的；(2)若在(a，b)内 f(x)可积。 定理设 f(x)在区间a，b上有界，且只有有限个间断点，则 f(x)在区间a，b上可积。 3、定积分的若干重要性质性质如果在区 间a，b上 f(x)0则abf(x)dx0.推论如果在区间a， b上 f(x)g(x)则abf(x)dxabg(x)dx.推 论|abf(x)dx|ab|f(x)|dx.性质设 M 及 m 分别是函数 f(x)在区间a，b上的最大值和最小值，则 m(b- a)abf(x)dx
10、M(b-a)，该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。 性质(定积分中值 定理)如果函数 f(x)在区间a，b上连续，则在积分区间a，b上至少存在一个点 ，使下式成立：abf(x)dx=f()(b-a)。 4、关于广义积分设函数 f(x)在区间a ，b上除点 c(a可偏导。 5、多元函数可微的充分条件定理(充分条件)如果函数 z=f(x，y)的偏导数存在且在点 (x，y)连续，则函数在该点可微分。 6.多元函数极值存在的必要、充分条件定理(必要条件)设函数 z=f(x，y)在点(x0，y0)具 有偏导数，且在点(x0，y0) 处有极值，则它在该点的偏导数必为零
11、。 定理(充分条件) 设函数 z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域 内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又 fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0，令 fxx(x0，y0)=0=A，fxy(x0，y0)=B，fyy(x0，y0)=C，则 f(x，y)在点(x0， y0)处是否取得极值的条件如下： (1)AC-B20 时具有极值，且当 A0 时有极小值；(2)AC-B20 时没有极值；(3)AC- B2=0 时可能有也可能没有。 7、多元函数极值存在的解法(1)解方程组 fx(x，y)=0 ，fy(x，y)=0 求的一切实数解，即可求得 一切驻点。 (2)对于每一个驻点 (x0，y0)
12、 ，求出二阶偏导数的值 A、B、C.(3)定出 AC-B2 的符号，按充分条件进行判定 f(x0，y0)是否是极大值、极小值。 注意：在考虑函数的极值问题时，除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点也应 当考虑在内。 第八章 二重积分 1、二重积分的一些应用曲顶柱体的体积曲面的面积 (A=1+f2x(x，y)+f2y(x ，y)d) 平面薄片的质量平面薄片的重心坐标(x=1/Axd，y=1 /Ayd；其中 A=d为闭区域 D 的面积。 平面薄片的转动惯量 (Ix=y2(x，y)d，Iy=x2(x，y)d ；其中 (x，y)为在点(x，y)处的密度。 平面薄片对质点的引力 (F
13、xFyFz) 2、二重积分存在的条件当 f(x，y)在闭区域 D 上连续时，极限存在，故函数 f(x，y)在 D 上的二重积分必定存在。 3、二重积分的一些重要性质性质如果在 D 上， f(x，y)(x，y)，则有不等式f(x，y)dxdy(x，y)dxdy，特殊地由于 -|f(x，y)|f(x，y)|f(x，y)|又有不等式|f(x，y)dxdy|f(x，y)|dxdy.性质设 M，m 分别是 f(x，y)在闭区域 D 上的最大值和最小值， 是 D 的面积，则有mf(x，y)dM。 性质(二重积分的中值定理)设函数 f(x，y)在闭区域 D 上连续， 是 D 的面积，则在 D 上至少存在一点
14、(，) 使得下式成立：f(x，y)d=f(，)*4、二重积分中标量 在直角与极坐标系中的转换把二重积分从直角坐标系换为极坐标系，只要把被积函数中的 x，y 分别换成 ycos、rsin ，并把直角坐标系中的面积元素 dxd 来源:考试大- 考研站导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分： 222 11cos1sin udxtguxux ， ， ， axactgxxctgln1)(logs)(es)(2 221)(1)(arcosinxarctgxxCaxaxdshcxadCxctgxctgddx)ln(lnsseesineco2222CaxadxaxadxCrctgtxxdctgCrcsin
15、l21n1slsenilcs22Caxaxdax axaxdaIndInnn rcsinl22)(1cossi2 22222020一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式：诱导公式：函数角 A sin cos tg ctg- -sin cos -tg -ctg90- cos sin ctg tg90+ cos -sin -ctg -tg180- sin -cos -tg -ctg180+ -sin -cos tg ctg270- -cos -sin ctg tg270+ -cos sin -ctg -tg360- -sin cos -tg -ctg360+ sin cos tg ctg和差角
16、公式： 和差化积公式： 2sini2cosco2sin2sincoictgtctg1)(1sincos)cos(ini xarthcxsechstxeshxxx1ln2)(l:2:2）双 曲 正 切双 曲 余 弦双 曲 正 弦 .59047182.)1(limsin0exx倍角公式：半角公式： cos1insico12cos1insico12 scsssin tgtg 正弦定理： 余弦定理： RCBbAa2sinisin Cab22反三角函数性质： rctgxarctgxxxarcosrci 高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式： )()()2()1()(0)()( !)1()! nkn
17、nnnnkk uvuknvuvuCv 中值定理与导数应用： 拉 格 朗 日 中 值 定 理 。时 ， 柯 西 中 值 定 理 就 是当柯 西 中 值 定 理 ：拉 格 朗 日 中 值 定 理 ：xFfabfab)(F)()( )曲率：23313cos4cosiniintgt22 2221sicosin1cossinitgtt.1;0.)1(limMsM:.,13202aKayds MsKtgydxs 的 圆 ：半 径 为直 线 ：点 的 曲 率 ： 弧 长 。：化 量 ；点 ， 切 线 斜 率 的 倾 角 变点 到从平 均 曲 率 ： 其 中弧 微 分 公 式 ： 定积分的近似计算： ba nnnba nnba n yyyyxff yyxf )(4)(2)(3)( 21)()( 13124011010 抛 物 线 法 ：梯 形 法 ：矩 形 法 ：定积分应用相关公式： babadtfxfykrmFApsW)(1),221均 方 根 ：函 数 的 平 均 值 ： 为 引 力 系 数引 力 ：水 压 力 ：功 ：
