1、第四章 常微分方程41 基本概念和一阶微分方程甲 内容要点一基本概念1常微分方程含有自变量、未知函数和未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程，若未知函数是一元函数则称为常微分方程，而未知函数是多元函数则称为偏微分方程，我们只讨论常微分方程，故简称为微分方程，有时还简称为方程。2微分方程的阶微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶3微分方程的解、通解和特解满足微分方程的函数称为微分方程的解；通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解；通解有时也称为一般解但不一定是全部解；不含有任意常数或任意常数确定后的解称为特解。4微分方程的初始条件要求自变量取某定值时，对应函数与各阶导数取
2、指定的值，这种条件称为初始条件，满足初始条件的解称为满足该初始条件的特解。5积分曲线和积分曲线族微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条积分曲线；而通解在几何上是一族曲线就称为该方程的积分曲线族。6线性微分方程如果未知函数和它的各阶导数都是一次项，而且它们的系数只是自变量的函数或常数，则称这种微分方程为线性微分方程。不含未知函数和它的导数的项称为自由项，自由项为零的线性方程称为线性齐次方程；自由项不为零的方程为线性非齐次方程。二变量可分离方程及其推广1变量可分离的方程（1）方程形式： 0yQxPdy通解 CQ（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再
3、加）（2）方程形式： 021 dyNxMdyx通解 CNdM1221 ,122变量可分离方程的推广形式（1）齐次方程 xyfd令 ，uxy则 ufdxcxuf |ln（2） 0,babyxfdy令 ，ca则 ufxcxdbfa（3） 2211ybfxy当 情形，先求出 的解021a02211cybxa,令 ，xuyv则 属于齐次方程情形uvbafvbafd2121当 情形，021令 12ba则 21cyxfdy令 ，bau1则 2111cufadxyx属于变量可分离方程情形。三一阶线性方程及其推广1一阶线性齐次方程0yxPd它也是变量可分离方程，通解公式 ， （ 为任意常数）dxPCeyc2一
4、阶线性非齐次方程xQyPdx用常数变易法可求出通解公式令 dxeC代入方程求出则得 CdxeQeyPdxP3贝努利方程1,0yxQPdxy令 1z把原方程化为 xQzxPxz再按照一阶线性非齐次方程求解。4方程： xyPQdxy1可化为 y以 为自变量， 为未知函数x再按照一阶线性非齐次方程求解。四全微分方程及其推广（数学一）1全微分方程，满足0,dyxQyPyPxQ通解： ，Cu,其中 满足yxdyxyPxd,求 的常用方法。,第一种：凑全微分法yxduyxQdyP, 把常见的一些二元函数的全微分公式要倒背如流，就很有帮助。（1） ；2（2） ；yxdyx（3） ；（4） ；xydxyln（
5、5） ；22l1（6） ；22lnyxdyx（7） ；2（8） ；yxdyx2（9） ；xarctn2（10） ；xydyrt2（11） ；yxln12（12） ；xdyl2（13） ；221yx（14） ；22xdy（15） ；22arctn11yx（16） ；22rtxdy第二种：特殊路径积分法（因为积分与路径无关）yx dyxQPuyx,00 ,yxd00第三种：不定积分法由 得yPxu,yCdx,对 求导，得 ，yxPyuxQ,求出 积分后求出C2全微分方程的推广（约当因子法）设 不是全微分方程。0,dyxQyP不满足 但是存在 yxR,使得 为全微分方程，0,dyxQdP也即满足 y
6、x则 称为约当因子，yR,按全微分方程解法仍可求出 yxduyxQRdxyPxR, 通解 。Cyxu,这种情形，求约当因子是关键。乙 典型例题5432 考研论坛（）友情提供下载一变量可分离方程及其推广例 1求下列微分方程的通解。（1） 022dyxdxy（2） eex例 2求下列微分方程的通解。（1） （2）xyeddxyxy2（3） （4）ln214d解：（1）令 ，则 ，原方程化为uxyxudy，edu1CClnl1xexyl（注： ）0,xy（2） ；2dxyy 221xyx令 ，则ux12ux01d1Cxu1lnCux，ue1 xye（3） ，令 ，则xydluduln1lnCu Cx
7、l1l， ，x1xeCxey1（4）令 ，则 ，uyd42124dxuyxx 1arctn2arctn例 3求微分方程 的通解。2ydx例 4求微分方程 2y例 5求微分方程 的通解。2321ydxy例 6求微分方程 的通解。22yxdy例 7求微分方程21yxd例 8求微分方程 的通解5xyd二一阶线性方程及其推广例求下列微分方程的通解（1） （2）251xydx xydxsin（3） （4）4 0taid解：（1）直接用常数变易法对应的齐次线性方程为 ，通解12xyd21xC令非齐次线性方程 的通解为252xy代入方程得 2C， 21xCx231故所求方程的通解为 227223 13 xC
8、y（2）直接用通解公式（先化标准形式 ）xydxsin，xPxQsin通解 Ceeydxd22ixxx cossin1sin122（3）此题不是一阶线性方程，但把 看作未知函数， 看作自变量，y所得微分方程 即yd43yd是一阶线性方程 ，P13QCydyexdy 4131（4）此题把 看作未知函数， 看作自变量所得微分方程为， ，yxdycostyPcotyQcos CCdeeyyd 2cotcot in1si42 特殊的高阶微分方程（数学四不要）甲 内容要点一可降阶的高阶微分方程方程类型 解法及解的表达式xfyn通解 nnnnn CxxCdxfy 121次yxf,令 ，则 ，原方程p一阶方程，设其解为 ，xf,1,xgp即 ，则原方程的通解为 。1Cgy 2Cdyyf,令 ，把 看作 的函数，则py ypx把 ， 的表达式代入原方程，得 一阶方程，y yfpd,1设其解为 即 ，则原方程的通解为,1Cygp1,ygx。21,C二线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。二阶齐次线性方程 （1）0yxqpy二阶非齐次线性方程 （2）f1若 ， 为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合xy2
