1、1第一章 函数极限与连续高等数学可以说是变量数学，它的研究对象、研究方法与初等数学相比都有相当大的差异。它主要研究对象是函数，它的主要内容是微积分学，它的主要手段是以极限为工具，并在实数范围内研究函数的变化率及其规律性，从而产生微积分的基本概念及性质。本章主要介绍函数的概念及其基本性质；数列与函数的极限及其基本性质；连续函数的概念及其基本性质，为进一步学好函数的微积分打下一个良好的基础。第一节 函数的概念一、几个基本概念1 常量与变量在日常生活或生产实践中，观察某一个事件的结果往往是用一个量的形式来表现的，在观察的某一个过程中始终保持不变的量称之为常量，经常变化的量称之为变量。通常用小写字母
2、a、b、c 等表示常量，用小写字母 x、y 、z、 表示变量。例如：圆周率 是永远不变的量，它是一个常量；某商品的价格在一定的时间段内是不变的，所以，在这段时间内它也是常量；又如一天中的气温，工厂在生产过程中的产量都是不断变化的量，这些量都是变量。注意：1 常量和变量是相对的，它们依赖于所研究的过程和所研究的对象。在不同的过程中常量和变量是可以转化的。如商品的价格，某段时间是常量，另一段时间就有可能是变量了；2 从几何意义上来表示，常量对应数轴上的定点，变量对应数轴上的动点。2 集合、区间集合是表示具有同一种属性的全体。例如：某班的全体学生组成一个集合；长虹集团 05 年度的所有产品组成一个集
3、合；所有正有理数仍组成一个集合等等。有关集合的运算、集合的表示等方面的基本知识，中学数学已有介绍，这里就不一一赘述了下面向读者介绍高等数学中常用的数集及其简明表示符号：2开区间： = ；ba , |bx闭区间： ；|a左半开区间（或右半闭区间） ； | ,(bxa右半开区间（或左半闭区间） ；|)b上述四个区间的长度都是有限长的，因此把它们统称为有限区间。无穷区间有：； ； ；R) , ( |) , (axa | ,ax； 。bx|bb|,如无特别声明，可用如下符号表示一些常用数集：R 实数集；Q 有理数集； Z 整数集；N 自然数集。有时为了讨论数轴上某点附近的性质，为此引入邻域的概念。定义
4、 1 设 是一个实数， 是正数（通常是指很小的数） ，数轴上到点 的距离a a小于 的点的全体，称为点 的 邻域，记为 。即： ,aU= ,U | , xa数集 称为点 的去心 邻域。记为|0 x ,a二、函数的概念定义 2 设 x, y 是两个变量， 是 上的非空数集，对任意的 ，通过某DRDx一个确定对应关系（或对应法则） ，在实数集 上有唯一的一个 与之对应，则f y称 是从 到 上的一个函数（也称为定义在 D 上的函数） ，记为：fDR： ，fRyx简记为： xfy通常把 称为自变量， 称为因变量（或 x 的函数） ， 的取值范围称为函数的yx定义域（就是本定义中的 ） 。一般情况下，
5、用 Df 表示函数的定义域。当取时，按照对应法则 有 与之相对应，并称其为函数在点 x0 处的0xf0f3函数值；当 在区域 上取遍时，所对应的函数值的全体称为函数的值域，记为 Rf xD。即 ),( ff DxfyR对于函数概念，以下几点是值得注意的：1 以上函数定义基本上是按照初等数学中所描述的方式给出的，它指的是单值函数；2 函数的实质是对应关系（或对应法则） ，只要两个变量之间能找到一种对应，我们就说它们之间确定了一个函数；3 确定函数有两个要素，这就是：定义域与对应关系；4 函数之间可以定义加、减、乘、除等运算，但是运算必须在所有函数都有意义的公共范围内进行。有关函数的相等、函数的定
6、义域、值域；函数的四则运算等概念在中学数学课本中已有介绍，这里就不再复述了。下面我们来看几个具体的例子：例 1 由关系式 能确定两个变量 x 与 y 之间的一种对应关系，可12yx以说是一个函数关系，但它不是我们所指的函数。比如 x = 0 时，相应的 y 可以等于1，也可以等于-1。其实它们是 这样两段函数，这类221 ,函数我们称为多值函数。例 2 函数 0 , xxy的定义区域为 R，值区域为 ，它称为绝对值函数，其图像如图 1-1。通常) ,0这类函数称为分段函数。所谓分段函数是指：函数在定义域的不同范围内的函数表达式不同，它实质上是一个函数，不能理解为两个或多个函数。例 3 函数0
7、,1 ,sgnxxy4称为符号函数，这也是分段函数，记为 ，它的定义区域 Df = ，值xsgn ,域 Rf = ，它的图形如图 1-2 所示。对任何实数 都有下列关系式：1 ,0 x成立，所以它起着一个符号的作用。|sgnx例 4 狄立克莱函数（ )Dirchlet为 无 理 数 时为 有 理 数 时 ,01xy它的定义区域是 Df = ，值域是 Rf = 。1 ,0三、函数的表示法1 解析法（公式法）：把两个变量之间的关系直接用数学式子表示出来，必要的时候还可以注明函数的定义域、值域，这种表示函数的方法称之为解析法。这在高等数学中是最常见的函数表示法，它便于我们进行的理论研究。如：例 1，
8、例 2等。2 表格法：就是把自变量和因变量的对应值用表格形式列出。这种表示法有较强的实用价值，比如三角函数表、常用对数表等等。3 图示法：用某坐标系下的一条曲线反映自变量与因变量的对应关系的方法。比如，气象台自动温度计记录了某地区的一昼夜气温的变化情况，这条曲线在直角坐标系下反映出来的就是一个函数关系。这种方法，几何直观性强，函数的基本性态一目了然，看图就基本上都知道了，但它不利于理论研究。xy图 1-1 图 1-2xy1-105四、函数的初等性质微积分学的主要研究对象是函数，既然要对函数进行研究，自然要对函数有哪些基本几何性质有一定的了解，下面我们将逐一进行介绍。定义 3（函数的单调性） 设
9、 f ( x )在区间 I 上有定义，若对任意的 ，Iyx ,当 时，有 （或 ） ，则称 f ( x )在区间 I 上为单调增yx)(yfxfyf加函数（或单调减少函数） ；若对任意的 ，当 时，有 （或 ） ，则I ,x)(fxf)(yff称f ( x )在区间 I 上为严格单调增加函数（或严格单调减少函数） 。单调增加函数（或单调减少函数） 、严格单调增加函数（或严格单调减少函数）统称为单调函数（也称函数具有单调性） 。在几何上，单调增加（减少）函数的图形是沿 x 轴的正向渐升的（或渐降的） 。如下图所示。例 5 函数 在区间 上严格单调递减，而在区间 上却严2xy0 , ,0格单调递增
10、，这在考虑函数的单调性时，是要特别注意的问题。函数的单调性是函数在一个有定义区间内的特征性质，在不同的区间上可能有不同的单调性。即便在各个不同的区间内单调性相同，但在整个定义域内仍有可能不单调。比如，函数 的定义域为xy1，函数如图 1-5 ,0 ,xy图 1-3x1 x2)(f)(2xf xy图 1-4x1 x2)(1xf )(f图 1-5xy6所示，它不是单调函数，但它在 0 ,或 上分别单调递减。) ,0(定义 4（函数的有界性）设函数 在区间 上有定义，若存在 M 0，使得)(xfI对任意 ，恒有 ，则称函数 在区间 上有界，否则称为无界。IxMxf)()(fI如果存在 M 0，使得对
11、任意 ，恒有 （或者 ） ，那Ixxf)(xf)(么称函数 在区间 上有上界（或下界） 。其几何特征如图 1-6)(xfI显然， 在区间 上有界等价于它在区间 上既有上界又有下界。I例如，三角函数 是有界函数。因为对任意的 都有xycos ,sin,Rx，因此它们在整个数轴上有界。1co ,sinx函数 在 内无上界，但有下界（0 为一个下界） ；而在y) ,(内无下界，但有上界（0 为一个上界） 。它在定义域内是无界的。但是它在) ,(任何不包含原点的闭区间上是有界的。定义 5 (函数的奇偶性）设函数 的定义域 关于原点对称，即对)(xfD有 。(如图 1-7),Dx(1) 若对 有 则称
12、为偶函数；,x),(xff)(f(2) 若对 有 则称 为奇函数。x有界 有上界 有下界图 1-67从几何特征来说，偶函数的图形关于 y 轴对称，奇函数的图形关于原点对称。例如： 等等都是偶函数；而 等xyxy cos , ,42 xyxsin ,3等都是奇函数。对于定义域相同的函数来说，有如下结论：偶（奇）函数的和仍为偶（奇）函数；两个偶（奇）函数的积为偶函数；一偶一奇两个函数的积为奇函数。但是，不是任何函数都有奇偶性的，如：y = x+1 既不是奇函数也不是偶函数。定义 6 （函数的周期性）设函数 的定义域为 ，若存在常数 ，使)(xfD0T得对 ，有 ，并且有 成立，则称 为周期函DT)
13、(fT)(xf数,并称 T 是函数 的一个周期。)(xf值得注意的是：一个函数如果是周期函数的话,它就有无穷多个周期。我们通常所说的周期，是指它的最小的正周期。周期函数一定存在一个周期，它的几何特征是：以一个周期为跨度，把曲线划断，各段曲线再移到一起，它们完全重合。可是，周期函数不一定存在最小正周期。比如：y = 2 就是一个以任意正实数为一个周期的周期函数，由于不存在最小正实数，所以 y = 2 不存在周期。五、初等函数(一) 基本的初等函数所谓基本初等函数就是指如下函数：常量函数： ；cy幂函数： ；)0(x指数函数： ；1 ax-xf (x)f (-x)x-xf (x)f (-x)图 1
14、-78对数函数： ；)10( logaxya三角函数： ；xyxycs ,se ,cot ,tn ,cs,sin 反三角函数： 。arxyxy otararar上述函数的基本性质和几何特征中学数学已有比较透彻的讨论，这里就不再一一复述了。（二）复合函数在日常生活或生产实践中，表现事物之间的关系往往是错综复杂的，因此在数学中表示自然规律，生产规律的函数结构也是复杂的。通常情况下，我们遇到的函数往往不是基本初等函数，而是由这些基本初等函数所构造的较为复杂的函数。也就是说需要把两个或两个以上的函数组合成另一个新的函数。如由 ，当 时，通过变量 就建立了变量 与变量21 ,xuy1 ux之间的对应关系
15、，即 ， ；这时称 是 的复合函数。y yx定义 7 设函数 的定义域为 ，函数 的定义域是 ，当)(ffD)(D时， ，有函数 的值在RDf , ff xxx )(x的范围内，这样通过变量 就得到 与 之间的对应关系，称为复合函数。记为f uy)(xfyfD其中，y 是因变量， 是中间变量， 是自变量。按定义的要求可知，构建复合函数的前提条件就是：内层函数的值域与外层函数的定义域的交不空。也就是说，内层函数必须有函数值落在外层函数的定义域内。否则就会成为无意义的函数。比如： ，复合起来 在实函数范围内就无2sin ,xuy 2sinxy意义了。例 6 设 ，求 。xf)()(f解 =f xf
16、12)(29它的定义域是 。 ,2 ,1 ,例 7 是由以下简单函数)lnsi(2xy复合而成的。xvuln,i ,有时在实际应用中既要知道由简单函数构造成复合函数，同时也要会从复合函数中分解为简单函数。（三）反函数 函数反映的是因变量随着自变量的变化而变化的规律，用另一种语言来说的话，就是：有两个变量，一个是主动变量（自变量 x） ，另一个是被动变量（因变量 y） ，主动变量一旦取定了，被动变量也相继唯一确定。但是变量之间的制约是相互的，在我们研究的不同领域里，经常需要更换这两个变量的主次关系，当这种主次关系对换后，仍然成为函数关系，这就是我们所要介绍的反函数。定义 8 设函数 的定义域是
17、，值域是 ，若对 ，有唯一)(xfyfDfRfy的一个 ，使得 = 。这就定义了 上的一个函数，此函数称为fDxf的反函数。记为 ， 。这时 称为直接函数。)(fy)(1yfxf)(xfy由反函数的定义不难发现， 存在反函数当且仅当 f 是 到 的一一fDfR对应关系，并且反函数的定义域是直接函数的值域，反函数的值域是直接函数的定义域。当我们把反函数与直接函数的图像描在同一坐标系下（直角坐标系） ，我们会发现，两图完全重合。在数学上，我们总习惯用 x 表示自变量，用 y 表示因变量，为了满足习惯记法的需要，最后我们会把反函数 记为 。)(1f)(1xf既然这样，在几何上，直接函数与其反函数有何
18、关系呢？其实它们的图像关于直线 y = x 对称。通常把反函数记为 , 称为互为反函数。它们在同)(1xfy)(1xf与一直角坐标系下是关于直线 对称的。例如：图 1-82yxxy10) ,0 ,)(2xfy1(如图 1-8)（四）初等函数 前面已经说过，在实际问题中我们遇到的不仅是基本初等函数，而且往往是较为复杂的函数，也就是指初等函数。定义 9 由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算得到的,并能用一个解析式表示的函数称为初等函数。如： )2sin(l)1(log3032 xxy在高等数学中讨论的函数主要是初等函数。第二节 数列的极限从极限产生的历史背景来看，极限是从解决微分学与积
19、分学的实际问题中产生的。在人们的日常生活中，经常用到这样的描述：用市场变化趋势来研究产品需求量的状况；用学校发展的趋势来分析学校未来的前途等等，这种趋势用在数学上就是极限，极限是变量变化的终极状态。极限是微积分学中一个基本概念，微分学与积分学的许多概念都是由极限引入的，并且最终由极限知识来解决。因此它在微积分学中占有非常重要的地位。一、极限概念的引入我国春秋战国时期的庄子 天下篇中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭” ，这就是极限的最朴素思想。在这个过程中可以试想一下，一根棒子，每天取其一半，尽管永远取不完，可到了一定的时候，还能看得见吗？看不见意味着什么？不就是没了吗？终极的时候，就彻底地没有了。它的终极状态就是零。那么我们如何去理解这个终极状态和零呢？公元三世纪，中国数学家刘徽的割圆术，就是用圆内接正多边形的周长逼近圆的周长的极限思想来近似计算圆周率 的。他说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可再割，则与圆合体而无所失矣！”直到 17 世纪 60 年代18 世纪初，牛顿（Newton 1642-1727）和莱布尼兹（Leibniz）两人分别从力学问题和几何学问题入手，在前人工作的基础上，利用还不严密的极限方法各自独立地建立了微积分学，最后由柯西（Cauchy 1789-1857）和
