1、I目录1前言12方程0FX根的存在性定理及其应用221方程根的存在性定理1及其应用222方程根的存在性定理2及其应用323方程根的存在性定理3及其应用53方程0FX根的唯一性定理及其应用631方程根的唯一性定理632应用举例64方程根的个数讨论841方程根的个数842应用举例115复合方程根的判别136结论19参考文献20致谢21II关于方程0FX的根的研究数学系本1103班指导老师摘要求方程0FX的根在中学所学代数中占有重要地位，所以从四个方面研究0FX的根，分别为利用高等数学中的介值定理、罗尔定理和费马原理证明根的存在性；闭区间上函数的连续性定理，单调性证明根的唯一性；利用导数来研究方程根
2、的个数；复合方程的根应该遵循的原则。关键词方程；根；介值定理；罗尔定理；费马原理RESEARCHONEQUAYIONROOTDEPARTMENTOFMATHEMATICS,THE1003CLASSINSTRUCTORABSTRACTRESULTINGEQUAYIONROOTOCCUPIESANIMPORTANTPOSITIONINTHEHIGHSCHOOLLEARNINGALGEBRA,SOFROMFOURASPECTSTOSTUDYROOTEQUAYIONSUCHAS,USINGTHEINTERMEDIATEVALUETHEOREM,ROOLETHEOREMOFHIGHERMATHEMATI
3、CSANDFERMATSTHEOREMPROVINGTHEEXISTENCEOFTHEROOTTHECONTINUITYOFFUNCTIONONCLOSEDINTERVALTHEOREM,MONOTONICITYTOPROVETHEUNIQUENESSOFTHEROOTTHENUMBEROFDERIVATIVETOSTUDYEQUAYIONROOTOFSHOULDFOLLOWTHEPRINCIPLEOFTHEROOTSOFCOMPLEXEQUATIONSKEYWORDSEQUAYIONTHEROOTINTERMEDIATEVALUETHEOREMROLLESTHEOREMFERMATSTHEO
4、REMTHEFUNCTIONEXTREMEVALUEDERIVATIVE11前言求方程0FX的根是代数中的一个基本的问题，特别是在中学所学代数中，解方程占有重要地位。有学者在这方面已经作了一定的研究,如余剑鸣在对方程0FX根的题型分析中给出有关方程根的三类题型方程根的存在性证明,方程根的唯一性证明及方程根的个数讨论,姚兵在关于方程的根的一些讨论一文中也是综合了上述观点；江志杰在例说复合方程根的判别原则中通过例子谈了复合方程根的判别原则。但总的来说,讨论得还不够系统也不够透彻，本课题在原有研究的基础上进行了更多方面的研究，更加系统地对方程0FX根的解法进行阐述。本文分为四章，分别为方程0FX根的
5、存在性定理、证明及其应用，唯一性定理、证明及其应用，方程根的个数讨论及复合方程根的判别原则。其中我们利用微积分学的知识讨论方程的根或函数的零点。首先根据连续函数的零点定理、罗尔定理等证明根的存在性；再利用函数的单调性、极值、最值等确定方程的根的个数；而罗尔定理常被用于反证法证明根的唯一性。对于复合方程根的判别，我们利用其五个原则来解答。掌握方程0FX的根的存在性、唯一性、个数及复合方程根的判别,能够熟练地求解方程的根、判断方程根的个数,更好地运用数形结合思想、函数与方程思想与方法等解决方程根的问题。22方程0FX根的存在性定理及其应用21方程根的存在性定理1及其应用定理11零点定理如果0FX在
6、闭区间,AB上连续,且0FAFB，则至少存在一点,ABC（），使得C0F，即方程0FX在,AB（）内至少有一个根。这个定理的几何解释如图211所示若点A（A,FA）与B（,BBF）分别在X轴的两端，则连接A、B的连接曲线YFX与X轴至少有一个交点。图211证明利用构造法的思想,将XF的零点范围逐步缩小。先将,AB二等分为,2,2,BBABAA，如果02BAF,则定理获证。如果02BAF，则FA和FB中必然有一个与2BAF异号,记这个小区间为11,AB,它满足201111ABABBFAF且区间的长度。又将11,AB二等分，考虑中点的函数值,要么为零，要么不为零。如果中点的函数值为零，则定理获证。
7、如果中点的函数值不为零,那么必然可以选出一个小区间,使得FX在这个区间的端点值异BBAAOCBFAFXY3号,记这个小区间为,22BA，它满足1122,ABABAB，2222BABA且220FBFA。采用这样的方法一直进行下去,或者到有限步时,某个区间的中点的函数值为零,这样定理的结论成立。或者所有区间的中点的函数值不为零，那么我们就会得到一个无穷的区间序列,NNAB，它满足1122,ABABAB；2NNNBABA；0NNFBFA。由单调有界定理，可知,LIMLIMBABANNNN，如果0F，则定理可证。如果0F，因为FX在点连续，故由连续函数的局部保号性存在一个0，使得FX在,BA上与F同号
8、。根据构造的区间的性质，有，存在正整数N，当NN时，,BABANN。根据区间的性质，0NNAFBF，与定理矛盾。综上所述，只有0F，且,BA。定理获证。注上面所采用的证明方法是对大学数学非常有用的二分法，这个思想可以应用于各个领域，实际上NNBA,是函数零点的近似值。例1证明方程521XX在区间1,2内存在实根。证设函数521FXXX，FX在区间1,2内连续，且120F，2270F。由定理1可知，必存在1,2，使5210F，即1,2是方程521XX的一个实根。22方程根的存在性定理2及其应用定理21（罗尔ROLLE中值定理）若函数F满足如下条件IF在闭区间,AB上连续；4IIF在开区间,AB内
9、可导；IIAFBF，则在,AB内至少存在一点C，使得C0F。罗尔定理的几何意义可以理解为在每一点都存在导数的连续曲线上，如果这段曲线的两个端点的纵坐标相等，那么至少存在一条水平切线。（如图221）图221证因为F在,AB上连续，所以有最大值和最小值，分别用M和M表示，现分两种情况来讨论（1）若MM，则F在,AB上必为常数，从而结论显然成立；（2）若MM，则因AFBF，使得最大值M与最小值M至少有一个在,AB内某点C处取得，从而C是F的极值点。由条件II，F在点C处可导，固由费马定理推知0FC。例2设函数FX在A,B内有二阶导数,且123FXFXFX,其中123AXXXB。证明方程0FX在13,
10、XX内至少有一个实根。ABABCOYX5证由题可知，函数FX在12,XX，23,XX上连续，在12,XX,23,XX内可导，且123FXFXFX。由罗尔定理,我们可得，至少存在点112,XX,223,XX,使得120FF。又因为FX在12,上连续,在12,内可导,由罗尔定理可得，至少存在一点1213,XX,使得0F,即方程0FX在13,XX内至少有一个实根。23方程根的存在性定理3及其应用定理31（函数极值存在的必要条件）若函数FX在,AB内可导，且有极值CCA,BF，则C0F。这个定理的几何意义为如果函数FX在极值点0XX可导，则在该点的切线就平行于X轴。例3设FX在0,上连续,在0,可导，
11、并且满足00F,LIM0XFX，则存在0,，使得0F。解如果0FX,那么在0,上处处有0FX,故不妨设FX在0,不恒等于零。于是存在一点10X,使得10FX。我们又不妨设10FX，因为LIM0XFX,故存在正数N,当XN时,恒有1FXFX。因为FX在有界区间0,N连续,故存在0,NF，使得0MAXXNFFX。可以看出F是FX在0,上的最大值,所以是FX的极值,则由费马定理知0F。63方程0FX根的唯一性定理及其应用31方程根的唯一性定理定理2设函数FX在闭区间A,B上连续，且AF与BF异号（即AB0FF），而FX在开区间A,B内单调，则在开区间A,B内存在唯一的点使0F。函数FX在闭区间A,B
12、上连续且单调增，A0F，B0F则在开区间A,B内存在唯一的点使0F这个定理的几何解释如图31图3132应用举例例4设FX在0,1上连续，且1FX，证明方程02TDT1XXF在0,1内存在唯一的实根。证明令02TDT1XFXXF，因为01F，1011TDT0FF。则BOAYX7由根的存在定理可知方程至少有一个根。又因为20FXFX，即函数02TDT1XFXXF单调递增，则方程02TDT1XXF在0,1内只有一个根。例5证明方程3320XX在区间0,1内，不可以有两个不相同的实数根。证设3320XX在0,1内有两个不相同的实根1X，2X（设12XX）。设332FXXX，则120FXFX）（）。显然
13、FX在12,XX上连续，在12,XX内可导，且236FXXX，利用罗尔定理可得存在一点12,XX，使得2360F。当12,XX时，2360，故矛盾。因此3320XX在区间0,1内不能有两个不相同的实数根。84方程根的个数讨论方程与解方程是中学数学的重要内容,中学数学的各类考试都比较注重对方程思想的考查，而判定方程的根的个数是考查方程思想的一个重要方面。那么，如何判定方程根的个数呢41方程根的个数我们都很清楚，一次方程00AXBA与二次方程2B00AXXCA的根的个数和系数之间的关系。对于次数大于二次的高次方程，它的根的个数的讨论，我们并没有现成的公式。但我们知道，方程的根也就是对应函数图象与X
14、轴的交点的横坐标，而利用导数则可以研究函数所具有的一些性质，那么我们就来利用导数来探讨高次方程根的个数。下面以三次方程为例设32BFXXAXXC，则232FXXAXB，导函数为二次函数。1若24120AB，即23AB时，0FX，函数FX在定义域上是单调递增的，与X轴有且只有一个交点，对应方程FX有一个实根，如图411图4112若24120AB,即23AB时,0FX有两个不相等的实根,设为1X,，2X且12XX。当1XX或2XX时，0FX；当12XXX时,0FX。OYX9故FX在1,X、2,X为增函数，在12,XX为减函数。且1XX时，函数取得极大值1FX，2XX时，函数取得极小值2FX。当10
15、FX或20FX时，函数FX图象与X轴有且只有一个交点，故方程FX仅有一个实根，如图4121（2）图412当10FX或20FX时，函数FX的图象与X轴有两个不相同的交点，方程FX有两个根，如图4131X2X1XO2XYYXX10（1）（2）图413当210FXFX时，函数FX图象与X轴有三个不相同的交点，方程FX有三个实根，如图414；1X2XOY1X2XOYXXY11图414同理我们可以得出方程0FX根的个数的解题方法1求出FX的驻点及FX不存在的点，用这些驻点及导数不存在的点将FX的定义域划分为若干单调增减区间。2求出FX在每个单调区间上的极值或最值。3分析极值或最值与X轴的位置关系，必要时
16、辅以极限协同分析。4结合零点定理和函数的单调性可求出函数FX的根的个数及各根所在区间。42应用举例例6讨论曲线4LNYXK与44LNYXX的交点个数。解由题设,讨论曲线4LNYXK与44LNYXX的交点个数，等价于考虑函数4LN44LNFXXXXK的零点的个数，即0FX的根的个数。因为34LN1XXFXX，所以得驻点1X（唯一驻点）。又因为，当01X时，0FX；当1X时，0FX。所以，1X是FX的极小值点，同时也就是最小值点，且14KF。当4K0，即4K时，FX无零点，即两曲线无交点；1X2XOXY12当4K0，即4K时，FX有唯一的零点，即两曲线有唯一的交点1,4；当4K0，即4K时，由于4
17、3000LIMLIMLN44LNLIMLNLN4KXXXFXXXXKXX；44444LNLIMLIMLN44LNLIMLN1LNXXXXXKFXXXXKXX且FX在0,1内单调，在1,内单调增加，所以FX有两个零点，即两曲线有两个交点。135复合方程根的判别形如“关于X的方程CFGX（为实常数）”，我们不妨称之为复合方程。其由外方程UCF和内方程UGX复合而成，这类方程的根的判别问题涉及到四大常用数学思想（函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想、分类讨论思想）,同时考查函数作图、运算求解、抽象概括、逻辑推理等方面的能力。那么对于复合方程，我们该如何求它的根呢求解过程应该遵循哪些原则呢原则
18、一直接求解原则当复合方程CFGX中内外函数模型是一定的，常数C也是一定的，可以先求解外方程CFU，然后由U的值解内方程UGX。例7已知210LOG0XXFXXX，则函数1GXFFX有几个零点解先求得10FU的根为12U和212U，再求出2FX和12FX的根，分别为3、14和12、2，故函数1GXFFX有四个零点。原则二由外及内原则当复合方程CFGX（常数C不确定），常可转化为先求外函数曲线CFU与动直线YC的交点，然后由交点坐标中U的取值再求内函数曲线YGX和直线YU的交点。例8若函数YFX在0XX处取得极大值或极小值,则称0X为函数YFX的极值点。已知,AB是实数，1和1是函数32FXXAX
19、BX的两个极值点。1求A和B的值；2设函数GX的导函数2GXFX，求GX的极值点；3设HXFFXC，其中2,2C，求函数YHX的零点个数。14解（1）由32FXXAXBX，得232FXXAXB。1和1是函数32FXXAXBX的两个极值点，1320FAB，1320FAB，解得0,3AB。（2）由（1）得，33FXXX，3223212GXFXXXXX，解得1231,2XXX。当2X时，0GX；当21X时，0GX，2X是GX的极值点。当21X或1X时，0GX，1X不是GX的极值点。GX的极值点是2。（3）令FXT，则2,2YHXFFXC。先讨论关于X的方程FXD根的情况2,2D当2D时，由（2）可知
20、，2FX的两个不同的根为12和，注意到FX是奇函数，2FX的两个不同的根为12和。当2D时，1220FDFDD，1220FDFDD，21,1,2，都不是FXD的根。由（1）知311FXXX。当2,X时，0FX，于是FX是单调增函数，从而22FXF。此时FXD在2,无实根。当1,2X时，0FX。于是FX是单调增函数。又10FD，20FD，YFXD的图像不间断，15FXD在1,2内有唯一实根。同理，FXD在2,1内有唯一实根。当1,1X时，0FX，于是FX是单调减函数又10FD，10FD，YFXD的图像不间断，FXD在1,1内有唯一实根。因此，当2D时，FXD有两个不同的根12,XX，且满足121
21、,2XX当2D时，FXD有三个不同的根123,XXX，满足2,3,4,5IXI。现考虑函数YHX的零点I当2C时，FTC有两个根12,TT，满足1212TT。而1FXT有三个不同的根，2FXT有两个不同的根，故YHX有5个零点。II当2C时，FTC有三个不同的根345,TTT，满足2,3,4,5ITI。而3,4,5IFXTI有三个不同的根，故YHX有9个零点。综上所述，当2C时，函数YHX有5个零点当2C时，函数YHX有5个零点。原则三由内及外原则当复合方程CFGX的根的个数确定时，且内函数UGX确定，可先解内函数曲线YGX和直线YU的交点情况，再来求外方程CFU的根的情况，或转化为求外函数Y
22、FU与直线YC的位置关系。例9设定义域为全体实数的函数LG1121XXFXX，那么关于X的方程20FXBFXC,有7个不同解实数的充分必要条件是（）。A00BC且B00BC且16C20BC且D20BC且解析选C。由函数图象变换的知识，作出内函数UFX的图象（如图51）。我们观察发现，当2U时，内方程UFX有5个不同的根；当0U时，内方程UFX有2个不同的根，故可推断20UU和是外方程20UBUC的两个根，由韦达定理可知20,20BC。且当U取其它值时，均不符合题意，故选C。图51原则四内外兼顾原则当复合方程CFGX的根的个数一定，并且内外方程的根均不确定时，在考虑内函数YGX和直线YU的交点情
23、况时，还同时需要兼顾外方程CFU的根的取值范围，这样才能解决问题。例10已知函数SIN0,0FXX的周期是，图象的某一个对称中心,04，将函数FX的图象上所有的点的横坐标，伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后将得到的图象向右平移2个单位长度后，得到函数GX的图象。1求函数FX与GX的解析式。01242YUYX172存在0,64X，使得00,GFXX，00GFXX按照某种顺序成等差数列吗如果存在，请确定0X的个数；不存在，请说明理由；3求实数A和正整数N，使得FXFXAGX在0,N内恰好有2013个零点。解1、（2）解略，易得COS2FXX、SINGXX；3由COS22SINFXXX得22SIN
24、SIN1FXXAX,其是由一元二次函数221FUUAU和正弦函数SINUX复合而成,但因区间0,N不确定,使得内方程SINUX根的个数也不确定。外函数221FUUAU的280A，它必有两个不同的零点12UU、，并且有12102UU，我们不妨设120UU,故分析讨论如下四点1当11,0U，20,1U时，FX在0,和,2内都有2个零点，从而FX在0,N内的零点个数为偶数，不符合题意；2当11,0U，21U时，FX在,2内，有2个零点，从而FX在0,N内的零点个数为偶数，不符合题意；3当11U，20,1U时，FX在0,内，有2个零点，从而FX在0,N内的零点个数为偶数，不符合题意；4当1211,2U
25、U或121,12UU时，FX在0,2内有3个零点，而刚好20133671，通过正弦函数的周期性可得67121342N，故A的值为1或1。原则五利用特性原则求解复合方程CFGX的根的问题时，有时还需要利用内外函数的一些特征（比如函数的单调性、对称性、奇偶性、周期性、最值等），这对复合函数的根的个数、位置等的确定起着非常重要的作用。例11函数20FXAXBXCA的图象，关于直线2BXA对称。可推测，18对任意的,ABCMNP（非零实数），关于X的方程20MFXNFXP的解集不可能的是（）。A1,2,3,4B1,4,16,64C1,2D1,4解析选B。因为X的方程由外方程20MUMUP和内方程UFX
26、复合得来的。假设0U是外方程20MUMUP的根，并且直线0YU与抛物线YFX有交点时（我们设交点的横坐标为12,XX），则12BXXA。假如关于X的方程20MFXNFXP有四个解时，肯定是两组关于共同的直线2BXA，对称的对称点的横坐标，显然1,4,16,64不符合上述条件,故选B。196结论经过分析，我们总结出面对不同的问题，选择合适的方法来求解方程0FX的根。灵活运用微积分学的基本理论与方法,从不同的层面较顺利地解决有关零点实根的存在性问题；利用闭区间上函数的连续性定理，单调性证明根的唯一性利用导数来讨论方程根的个数；复合方程根的判别问题实质上也是复合函数的零点判别问题，其中最本质的知识基
27、础在于“方程0FX的根函数YFX的零点曲线YFX与X轴交点横坐标或分解为两函数曲线的交点横坐标”，其解决关键的首要任务在于明确内、外函数模型，最核心的方法基础在于数形结合，遵循函数图象的直观性和等价性原则，所作的内、外函数图象尽可能是基本初等函数图象或由其经过图象变换得到的，并以此作为“数学实验的标本”，将抽象化的问题和形象化的模型有机结合起来，通过对直观模型的观察操作、探索思考，可使问题化抽象为具体，化繁杂为简单。希望通过掌握方程0FX的根的求解思路和方法，更好地运用数形结合思想、函数与方程思想与方法等解决方程根的问题。20参考文献1易林解决函数零点问题的几种方法J成都航空职业技术学院学报,
28、2004,6144041,442余剑鸣对方程0FX的题型分析J景德镇高专学报,2006,21495,1103姚兵关于方程的根的一些讨论J数学教学与研究,201317304江志杰例说复合方程根的判别原则J中学数学教学,2013441435孔祥杰如何判断方程根的个数J高中数学教与学,2006912146徐所扣,孟素红导数和方程根的个数J高中数学教学,20071243447华东师范大学数学系数学分析（第三版）M北京高等教育出版社,20018李艳丽例说方程根存在的证明J张家口职业技术学院学报,2007,20118209朱士信,唐烁,宁荣健高等数学习题全解指南M北京中国电力出版社,200821致谢首先，
29、感谢我的论文指导老师殷凤老师的认真指导和细心修改，作为一个本科生的毕业论文，由于经验的匮乏，知识结构的局限，难免有许多考虑不周到的地方，如果没有殷老师的督促指导，想要完成本篇论文是难以想象的。殷老师在论文的整个撰写过程中从论文选题到参考资料，从中期检查到论文初稿的修改和确定都给了我耐心细致的指导。每次我向她请教都严谨而真诚，让我十分感激与佩服，殷老师对待学术的严谨与执着，对待同学的平易近人，所有这些都给我留下了很深的印象，这将积极的影响我今后的学习和工作。在此谨向殷老师致以诚挚的谢意。其次，我要感谢忻州师院数学系的各位任课老师，他们平时的细心教诲，让我对专业的数学知识有了系统的了解，他们认真严谨的教学和诲人不倦的品德，才让我具备了现在的学习素质和知识结构，最终完成论文的撰写。最后，要感谢我的舍友，感谢她们的理解与支持，不论在生活中还是在学习中都给了我很大的建议，在论文写作过程中她们提出了许多论文中的一些不足之处，并给予了我很好的建议，使我能较高效率较高质量地完成论文。感谢所有帮助和关心过我的同学和朋友们，是他们给了我前进的信心和永恒的动力。
