1、1数列专题复习（0929）一、证明等差等比数列1 等差数列的证明方法：（1）定义法： (常数) （2）等差中项法：1nad12()nnaa2等比数列的证明方法：（1）定义法： (常数 ) （2）等比中项法：1nq 21()nnA例 1.设a n为等差数列，S n为数列a n的前 n 项和，已知 S77，S 1575，Tn为数列 的前 n 项和，求 Tn解：设等差数列a n的公差为 d，则Sn=na1 n（n1）dS 77，S 1575， 即2,7510527da,5131da解得 a12，d1 a 1 （n1）d2 （n1） n ，数列 是等差数列，其首项为2，公差为 ，1SnnSn 2T n
2、 n2 n49例 2设数列a n的首项 a1=1，前 n 项和 Sn满足关系式：3tSn（2t+3）S n1 =3t（t0， n=2，3，4，）求证：数列a n是等比数列；解：（1）由 a1=S1=1，S 2=1+a2，得 a2= tt32,12又 3tSn（2t+3）S n1 =3t 3tSn1 （2t+3）S n2 =3t 得 3tan（2t+3）a n1 =0 ， （n=2 ，3，）tan1所以a n是一个首项为 1，公比为 的等比数列.t3练习：已知 a1=2，点(a n,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上，其中=1，2，3，（1） 证明数列lg(1+a n)是等比数列；
3、（2） 设 Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求 Tn及数列a n的通项；答案 .(2) , ;231n二通项的求法（1）利用等差等比的通项公式(2)累加法： 1()naf例 3已知数列 满足 ， ，求 。21nan21na解：由条件知： )(1 nan分别令 ，代入上式得 个等式累加之，即)(,3,21n)()( 3412 aaa所以1)1() n nn1，21nn2（3）构造等差或等比 或1apq1()nnapf例 4已知数列 满足n *1,(.nN求数列 的通项公式；解： *12(),nnaN是以 为首项，2 为公比的等比数列。n1.n即 *().a例 5已知数列 中， ,
4、 ，求 .n1a11()2nnana解：在 两边乘以 得：1()2n 1(2)令 ，则 ,解之得： ,所以 .ba1nbnb12nb2练习:已知数列 满足 ，且 。an ）（ 2n1a2n81a4（1）求 ； （2）求数列 的通项公式。321， 解： （1） 3a15a，（2） n1nnnn 2)(22a1an 2)1(an（4）利用 1(2)nS例 6若 和 分别表示数列 和 的前 项和，对任意正整数nTnanb， .求数列 的通项公式；2()a34nSn解： 2 分 2(1) 231adSnn 2435TSnnn当 1,358nTb时当 4 分2, 6262.1Tnbnn时练习：1. 已知
5、正项数列a n，其前 n 项和 Sn 满足 10Sn=an2+5an+6 且 a1,a3,a15 成等比数列，求数列a n的通项 an 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解: 10S n=an2+5an+6， 10a 1=a12+5a1+6，解之得 a1=2 或 a1=3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 又 10Sn1 =an1 2+5an1 +6(n2)， 由得 10an=(an2a n1 2)+6(ana n1 )，即(a n+an1 )(ana n1 5)=0 a n+an1 0 ， a na n1 =5 (n2) 头htp:/w.xjkygcom126
6、t:/.j 当 a1=3 时，a 3=13，a 15=73 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j a1， a3，a 15 不成等比数列a 13;当 a1=2 时， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， a 1=2， a n=5n3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2设数列 的前 项的和n，142nS,A（）求首项 与通项 ；1an（）设 ， ，证明：2nTS1,3A132niT解：（I）2114a，解得： 1a133nnnSa1242nna所以数列 2是公比为 4 的等比数列所以： 1nna得： 4 （其中 n 为正整数）（II） 1 1122
7、423333nnnnnS 112nnnnT 所以： 11122i n（5）累积法 转化为 ，逐商相乘.nnaf)( )(nf例 7已知数列 满足 ， ，求 。n31nna1解：由条件知 ，分别令 ，代入上式得 个等式累乘之，即1an )(,2)1(n32411na n1432an又 ，a练习：1.已知 ， ，求 。31nna21)1(n解： 3475263181nn。1()()322na a2已知数列a n，满足 a1=1， (n2)，1321 )(n则a n的通项 _n3解：由已知，得 ，用此式减去已知式，得nn anaa 1321 )(当 时， ，即 ，又 ，2nn12，将以上 n 个式子
8、相乘，得aaan13421, 2!na)(（6）倒数变形： ,两边取倒数后换元转化为 。1nnpq qpnn1例 8：已知数列a n满足： ，求数列a n的通项公式。,13an解：取倒数： 113nnna是等差数列，na13)(1n 3)(21na练习：已知数列a n满足：a 1 ，且 an2n1N （ ， ） 求数列a n的通项公式；解：将条件变为：1 ，因此1 为一个等比数列，其首项为nan3a（ ） na1 ，公比 ，从而 1 ，据此得 an （n1）a3n 3三数列求和1、等差数列求和公式： daSnn 2)(2)(112、等比数列求和公式： )1()(11 qaqnnn3、错位相减法
9、求和 an 、 b n 分别是等差数列和等比数列. 12nnSabab例 9 求和： 32)(7531nxxS解：由题可知，设 132)2(7531nn xxS（设制错位）nnxx42得 （错位相减）nnn xxx)12(2)( 143 再利用等比数列的求和公式得： 。nnS21)( 21)()2(xxnnS练习： 求数列 前 n 项的和.,64,32解：由题可知， 的通项是等差数列2n的通项与等比数列 的通项之积n n21设 nnS223 得1461132)( nn 12n 1nS4、倒序相加法求和这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序） ，再把它与原
10、数列相加，就可以得到 n 个 .)(1a5、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例 10 求数列的前 n 项和： ，231,7,412naa解：设 )()()()11S将其每一项拆开再重新组合得（分组）)23741()(2 naann4当 a1 时， （分组求和）2)13(nSn)(当 时， )(1ann 2)13(1nan6、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）
11、（1） 为等差数列，na11nnaadA（2） n例 11 求数列 的前 n 项和.,1,321,n解：设 ，则 na1321nSn )1()23()12( n 例 12 在数列a n中， ，又 ，求数列b n的前 n 项的和.121nan 12nnab解： n 数列b n的前 n 项和：)1(82bn )1()43()1()(8Sn )1(88n练习：1已知数列 的前 项和为 ，且满足 。求数列 的通项公式；nanS2nSana解：（1）数列 的前 项和为 ，且满足 1则 （ ）121nnSa2n相减得： （ ） nna11n2又当 n=1 时， ， ， 212 是以 为首项，公比 的等比数列na1q（ ）n*N2已知数列 ：n ， 10210321求证数列 为等差数列，并求它的公差a设 ，求 。Nnbn112nb解：由条件，212 nna ；21na 121 nn故 为等差数列，公差nd 21442121nnb又知 n 214b12 1144322n nn
