1、高考抛物线专题做题技巧与方法总结知识点梳理:1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 ( 0p):标准方程 pxy2xy2pyx2pyx2图形 O O焦点 )0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF准线 xxyy范围 Ry,0Ry,00,x0,Rx对称轴 x轴 y轴顶点 (0,0)离心率 1e2.抛物线的焦半径、焦点弦 )0(2pxy的焦半径 PF2x; )0(py的焦半径 PF2y; 过焦点的所有弦中最短的弦,也被称做通径.其长度为 2p. AB 为抛物线 pxy2的焦点弦,则 BAx 42, BAy2p, |=xBA3. py2的参数方程为 ptyx2( 为参数) , pyx2
2、的参数方程为 2ptyx(t为参数).重难点突破重点:掌握抛物线的定义和标准方程,会运用定义和会求抛物线的标准方程,能通过方程研究抛物线的几何性质难点: 与焦点有关的计算与论证重难点:围绕焦半径、焦点弦,运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质1.要有用定义的意识问题 1:抛物线 y=4 2x上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是( )A. 67 B. 165 C. 87 D. 0点拨:抛物线的标准方程为 yx42,准线方程为 16y,由定义知,点 M 到准线的距离为 1,所以点 M 的纵坐标是 1652.求标准方程要注意焦点位置和开口方向问题 2:顶点在原点、焦点在坐标轴上且经
3、过点(3,2)的抛物线的条数有 点拨:抛物线的类型一共有 4 种,经过第一象限的抛物线有 2 种,故满足条件的抛物线有 2 条3.研究几何性质,要具备数形结合思想, “两条腿走路”问题 3:证明:以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切点拨:设 AB为抛物线的焦点弦,F 为抛物线的焦点,点 、BA分别是点、在准线上的射影,弦 AB的中点为 M,则 F,点M 到准线的距离为 21)(21, 以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线相切3、典型例题讲解:考点 1 抛物线的定义题型 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换例 1 已知点 P 在抛物线 y2 = 4x 上,那么
4、点 P 到点 Q(2,1)的距离与点 P到抛物线焦点距离之和的最小值为 解题思路:将点 P 到焦点的距离转化为点 P 到准线的距离解析过点 P 作准线的垂线 l交准线于点 R,由抛物线的定义知,RQF,当 P 点为抛物线与垂线 l的交点时, PRQ取得最小值,最小值为点 Q 到准线的距离 ,因准线方程为 x=-1,故最小值为 3总结:灵活利用抛物线的定义,就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换,一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关练习:1.已知抛物线 2(0)ypx的焦点为 F,点 12()()Pxyy,3()Px,在抛物线上,且 |1P、 |2、 |3成等差数列, 则有
5、( )A 321 B 321yC x D. 解析C 由抛物线定义, 213()()(),2ppxx即: 231x 2. 已知点 ),43(AF 是抛物线 y8的焦点,M 是抛物线上的动点,当M最小时,M 点坐标是 ( )A. )0,( B. )62,3( C. )4,2( D. 62,3解析 设 M 到准线的距离为 K,则 MKAF| ,当 A最小时,M 点坐标是 )4,2(,选 C考点 2 抛物线的标准方程题型:求抛物线的标准方程例 2 求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程:(1)过点(-3,2) (2)焦点在直线 240xy上解题思路:以方程的观点看待问题,并注意开口
6、方向的讨论.解析 (1)设所求的抛物线的方程为 2yp或 2()p,过点(-3,2) 29)3(24p或 293p或抛物线方程为 23yx或 2y,前者的准线方程是 1,后者的准线方程为 98(2)令 0x得 2y,令 0y得 4x,抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时 ,42p, 8p,此时抛物线方程 216yx;焦点为(0,-2)时 4,此时抛物线方程 8.所求抛物线方程为 2yx或 2y,对应的准线方程分别是,x.总结:对开口方向要特别小心,考虑问题要全面练习:3.若抛物线 2ypx的焦点与双曲线213xy的右焦点重合,则 p的值 解析 4134. 对于顶点在原点
7、的抛物线,给出下列条件:焦点在 y 轴上;焦点在 x 轴上;抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6;抛物线的通径的长为 5;由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1).能使这抛物线方程为 y2=10x 的条件是_.(要求填写合适条件的序号)解析 用排除法,由抛物线方程 y2=10x 可排除 ,从而满足条件.5. 若抛物线的顶点在原点,开口向上,F 为焦点,M 为准线与 Y 轴的交点,A为抛物线上一点,且 3|,17| AFM,求此抛物线的方程解析 设点 A是点 在准线上的射影,则 |,由勾股定理知 2|MA,点 A 的横坐标为 )23,(p,代入方程 pyx2得 或 4,抛物
8、线的方程yx42或 82考点 3 抛物线的几何性质题型:有关焦半径和焦点弦的计算与论证例 3 设 A、 B 为抛物线 pxy2上的点,且 90AOB(O 为原点),则直线 AB必过的定点坐标为_.解题思路:由特殊入手,先探求定点位置解析设直线 OA 方程为 kxy,由 px2解出 A 点坐标为 )2,(kppxyk21解出 B 点坐标为 ),2(p,直线 AB 方程为21)(k,令 0y得 x,直线 AB 必过的定点 )0,2(p总结:(1)由于是填空题,可取两特殊直线 AB, 求交点即可;(2)B 点坐标可由 A 点坐标用 k换 k 而得。练习:6. 若直线 10axy经过抛物线 24yx的
9、焦点,则实数 a 解析-17.过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于两点 A、B,若 A、B 在抛物线准线上的射影为 1,BA,则 1 ( )A. 45 B. 60 C. 9 D. 120解析C基础巩固训练:1.过抛物线 xy42的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标之和等于 )(Ra,则这样的直线( ) A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.1 条或 2 条 D.不存在解析C 4)1(52| aapxABB ,而通径的长为42.在平面直角坐标系 Oy中,若抛物线 24xy上的点 P到该抛物线焦点的距离为 5,则点 P 的纵坐标为 ( )A. 3 B. 4 C. 5 D.
10、6解析 B 利用抛物线的定义,点 P 到准线 1y的距离为 5,故点 P 的纵坐标为 43.两个正数 a、b 的等差中项是 92,一个等比中项是 2,且 ,ba则抛物线2()yx的焦点坐标为( ) A 10,4 B 10,4 C 1(,0) D 1(,0)4解析 D. ,5aba4. 如果 1P, 2, 8是抛物线 24yx上的点,它们的横坐标依次为 1x,2x, , 8, F 是抛物线的焦点,若 )(,1Nn 成等差数列且4591x,则 |5P=( ) A5 B6 C 7 D9 解析B 根据抛物线的定义,可知 12iiipPFx( ,2,n) , )(,21Nnx成等差数列且4591, x,
11、 |5FP=65、抛物线 2y的 焦 点 为 准线为 l, l 与 x 轴相交于点 E,过 F 且倾斜角等于 60的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A,ABl,垂足为 B,则四边形 ABEF 的面积等于( )A 3 B 34 C 36 D 38解析 C. 过 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 H,设 ),(nm,则1,1mOFHmABF, 32,)1(2nm四边形 ABEF 的面积= 32)(266、设 O是坐标原点, 是抛物线 4yx的焦点, A是抛物线上的一点, FA与x轴正向的夹角为 60,则 A为 解析 21. 过 A 作 Dx轴于 D,令 Fm,则 2即 m2,解得 2)
12、3,(1)32(O综合提高训练7.在抛物线 24yx上求一点,使该点到直线 45yx的距离为最短,求该点的坐标解析解法 1:设抛物线上的点 ),(2xP,点 P到直线的距离 17|54|2d174|2,当且仅当 21x时取等号,故所求的点为 ),( 21解法 2:当平行于直线 45yx且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求,设该直线方程为 b,代入抛物线方程得 042bx,由 016b得 21,x,故所求的点为 ),( 18. 已知抛物线 :ayC( 为非零常数)的焦点为 F,点 P为抛物线 c上一个动点,过点 P且与抛物线 c相切的直线记为 l(1)求 F的坐标;(2)当点 在何处时,点
13、 F到直线 l的距离最小?解:(1)抛物线方程为 yax12 故焦点 F的坐标为 )4,0( (2)设 200 ),(xyxP则 2 0axkay ) 的 切 线 的 斜 率点 处 抛 物 线 ( 二 次 函 数在直线 l的方程是 )(2 00xaxy 220ax即 . 4141)(41 2020 axxd)0,( 的 坐 标 是此 时时 上 式 取 “ ”当 且 仅 当 P .LF,P的 距 离 最 小到 切 线处 时 , 焦 点在当9. 设抛物线 2ypx( 0)的焦点为 F,经过点 F 的直线交抛物线于A、 B 两点点 C 在抛物线的准线上,且 BCX 轴证明直线 AC 经过原点 O证明
14、:因为抛物线 2( )的焦点为 ,02p,所以经过点 F 的直线AB 的方程可设为2pxmy,代人抛物线方程得20若记 1,A, ,Bxy,则 21,y是该方程的两个根,所以2yp因为 BCX 轴,且点 C 在准线 px上,所以点 C 的坐标为 2,py,故直线 CO 的斜率为 21.yk即 k也是直线 OA 的斜率,所以直线 AC 经过原点 O10.椭圆 12byax上有一点 M(-4, 59)在抛物线 pxy2(p0)的准线 l上,抛物线的焦点也是椭圆焦点.(1)求椭圆方程;(2)若点 N 在抛物线上,过 N 作准线 l 的垂线,垂足为 Q 距离,求|MN|+|NQ|的最小值.解:(1)
15、12byax上的点 M 在抛物线pxy2(p0)的准线 l 上,抛物线的焦点也是椭圆焦点.c=-4,p=8M(-4, 59)在椭圆上 1286ba c由解得:a=5、b=3椭圆为 1925yx由 p=8 得抛物线为 x62设椭圆焦点为 F(4,0) ,由椭圆定义得|NQ|=|NF|MN|+|NQ|MN|+|NF|=|MF|= 541)09()4(22,即为所求的最小值.参考例题:1、已知抛物线 C 的一个焦点为 F( 21,0) ,对应于这个焦点的准线方程为x=- 2.(1)写出抛物线 C 的方程;(2)过 F 点的直线与曲线 C 交于 A、B 两点,O 点为坐标原点,求AOB重心 G 的轨迹
16、方程;(3)点 P 是抛物线 C 上的动点,过点 P 作圆(x-3) 2+y2=2 的切线,切点分别是 M,N.当 P 点在何处时,|MN| 的值最小?求出|MN| 的最小值.解:(1)抛物线方程为:y 2=2x. (4 分)(2)当直线不垂直于 x 轴时,设方程为 y=k(x- 21),代入 y2=2x,得:k 2x2-(k2+2)x+ 042.设 A(x 1,y 1) ,B (x2,y 2),则 x1+x2= k,y 1+y2=k(x1+x2-1)= k.设AOB 的重心为 G(x ,y)则 kyyx3201,消去 k 得 y2= 93x为所求, (6 分)当直线垂直于 x 轴时, A(
17、21,1) ,B ( 21,-1) , (8 分) AOB 的重心 G( 31,0)也满足上述方程.综合得,所求的轨迹方程为 y2= 93x, (9 分)(3)设已知圆的圆心为 Q(3,0) ,半径 r= 2,根据圆的性质有:|MN|=2 22 |1| PQPQPM. (11 分)当|PQ| 2 最小时,|MN| 取最小值,设 P 点坐标为( x0,y 0),则 y 20=2x0.|PQ|2=(x 0-3) 2+ y = x 2-4x0+9=(x0-2)2+5,当 x0=2,y 0=2 时,| PQ|2 取最小值 5,故当 P 点坐标为(2,2)时,|MN| 取最小值 302. 抛物线专题练习一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)1如果抛物线 y 2=ax 的准线是直线 x=-1,那么它的焦点坐标为 ( A )A (1, 0) B (2, 0) C (3, 0) D (1, 0)2圆心在抛物线 y 2=2x 上,且与 x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程