1、1线 性 规 划 常 见 题 型 及 解 法一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题例 1、设变量 x、 y 满足约束条件 ，则 的最大值为 。 12yxyxz3解析：如图 1，画出可行域，得在直线 2x-y=2 与直线 x-y=-1 的交点 A(3,4)处，目标函数 z 最大值为 18点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域 ,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。习 题 1、 若 x、 y 满 足 约 束 条 件 ， 则 z=x+2y 的 取 值 范 围 是 （ ）2xyA、 2,6 B、 2,5 C、 3,6 D、 （
2、 3,5解 ： 如 图 ， 作 出 可 行 域 ， 作 直 线 l： x+2y 0， 将l 向 右 上 方 平 移 ， 过 点 A（ 2,0） 时 ， 有 最 小 值2， 过 点 B（ 2,2） 时 ， 有 最 大 值 6， 故 选 A二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题例 2、已知 则 的最小值是 .1,0,2xy2xy解析：如图 2，只要画出满足约束条件的可行域，而表示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知2xyA（1，2）是满足条件的最优解。 的最小值是为 5。2xy图 2xyO 22x=2y =2x + y =2BA2点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标
3、关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。习 题 2、 已 知 x、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 ， 则 z=x2+y2的 最 大 值2043xy和 最 小 值 分 别 是 （ ）A、 13， 1 B、 13， 2 C、 13， D、 ，455解 ： 如 图 ， 作 出 可 行 域 ,x2+y2是 点 （ x， y） 到 原 点 的 距 离 的平 方 ， 故 最 大 值 为 点 A（ 2,3） 到 原 点 的 距 离 的 平 方 ， 即|AO|2=13， 最 小 值 为 原 点 到 直 线 2x y 2=0 的 距 离 的 平 方 ，即 为 ， 选 C45练习 2、已知 x，y 满
4、足 ，则 的最大值为_，最小值为032,15yxxy_2，0三、设计线性规划，探求平面区域的面积问题例 3、在平面直角坐标系中，不等式组 表示的20xy平面区域的面积是（）(A) (B)4 (C) (D)2 42解析：如图，作出可行域，易知不等式组 表示的平面区域是一个三角20xy形。容易求三角形的三个顶点坐标为（，），B(2,0),C(-2,0). 于是三角形的面积为： 从而选。11|42.2SBCAO点评：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。2x + y - 2= 0 = 5x 2y + 4 = 03x y 3 = 0Oyx
5、A3习 题 3、 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 为 2603xy（ ）A、 4 B、 1 C、 5 D、 无 穷 大解 ： 如 图 ， 作 出 可 行 域 ， ABC 的 面 积 即 为 所 求 ， 由 梯 形OMBC 的 面 积 减 去 梯 形 OMAC 的 面 积 即 可 ， 选 B四、已知平面区域，逆向考查约束条件。例 4、已知双曲线 的两条渐近线与直线 围成一个三24xy3x角形区域,表示该区域的不等式组是（）(A) (B) (C) (D) 03xy03xy03yx03yx解析：双曲线 的两条渐近线方程为 ，与直线24y围成一个三角形区域（如图 4 所示）时有
6、 。x 03x点评：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。习题 4、如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是 （ ）A B C D2360yx2360yx2360yx2360yxC五、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。 2x + y 6= 0 = 5xy 3 = 0OyxABCM y =24例 5、在约束条件 下，当 时，目标函数024xys35s的最大值的变化范围是（）32zxA. B. C. D. 6,157,156,87,解析：画出可行域如图 3 所示,当 时, 目标函数4s在 处取得最大值, 即32zxy(42)Bs;当 时, 目标函数
7、 在点 处ma)78532zxy(0,4)E取得最大值,即 ,故 ,从而选 D;max0z8z点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数 Z关于S的函数关系是求解的关键。六 、 求 约 束 条 件 中 参 数 的 取 值 范 围例 6、 已 知 |2x y m| 3 表 示 的 平 面 区 域 包 含 点 （ 0,0） 和 （ 1,1） ， 则m 的 取 值 范 围 是 （ ）A、 （ -3,6） B、 （ 0,6） C、 （ 0,3） D、 （ -3,3）解 ： |2x y m| 3 等 价 于 230xym由 右 图 可 知 ,故 0 m 3， 选 C习题 6、不
8、等式 表示的平面区域包含点 和点 则 的取值范|2|yx )0,(),1(m围是 （ ）A B C D3m6063m3A七、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。CO2x y = 0y2x y + 3 = 05例 7、已知变量 ， 满足约束条件 。若目标xy142xy函数 （其中 ）仅在点 处取得最大值，则za0a(3,)的取值范围为 。解析：如图 5作出可行域，由 其表zxyaxz示为斜率为 ，纵截距为的平行直线系, 要使目标函数a（其中 ）仅在点 处取得最大值。则直线zxy0(3,1)过点且在直线 （不含界线）之间。即 则4xy 1.a的取值范围为 。(1,)点评：本题通过作出可行
9、域，在挖掘 的几何意义的条件下，借助用数形结合利用az与各直线间的斜率变化关系，建立满足题设条件的 的不等式组即可求解。求解本题需要较强的基本功，同时对几何动态问题的能力要求较高。习 题 7、 已 知 x、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 ， 使503xyz=x+ay(a0)取 得 最 小 值 的 最 优 解 有 无 数 个 ， 则 a 的 值 为 （ ）A、 3 B、 3 C、 1 D、 1解 ： 如 图 ， 作 出 可 行 域 ， 作 直 线 l： x+ay 0， 要 使 目 标 函 数 z=x+ay(a0)取得 最 小 值 的 最 优 解 有 无 数 个 ， 则 将 l 向 右 上
10、方 平 移 后 与 直 线 x+y 5 重 合 ，故 a=1， 选 D八、研究线性规划中的整点最优解问题例 8、某公司招收男职员 x名，女职员 y名， x和 y须满足约束条件 则 的最大值是(A)80 (B) 85 .12,9325xy10z(C) 90 (D)95解析：如图，作出可行域，由 ，它表示为斜率为 ，纵截1010zzxyx1距为 的平行直线系,要使 最得最大值。当直线 通过10z 0xy取得最大值。因为 ，故点不是最优整数解。于是考虑可行域内点9()2A,xyNx + y = 5x y + 5 = 0Oyxx=36附近整点（，），（，），经检验直线经过点时， max90.Z点评：在
11、解决简单线性规划中的最优整数解时，可在去掉限制条件求得的最优解的基础上，调整优解法，通过分类讨论获得最优整数解。九 、 求 可 行 域 中 整 点 个 数例 9、 满 足 |x| |y| 2 的 点 （ x， y） 中 整 点 （ 横 纵 坐 标 都 是 整 数 ） 有 （ ）A、 9 个 B、 10 个 C、 13 个 D、 14 个解 ： |x| |y| 2 等 价 于(0,)2,()xyxy作 出 可 行 域 如 右 图 ， 是 正 方 形 内 部 （ 包 括 边 界 ） ， 容 易 得 到 整点 个 数 为 13 个 ， 选 C习题 9、不等式 表示的平面区域内的整点个数为 （ ）3yxA 13 个 B 10 个 C 14 个 D 17 个AxyO
