1、圆锥曲线的备考总结与说明一近三年来全国题的回顾二圆锥曲线中的范围问题1.判别式构造不等式解参数范围例 1.已知点 其中 是曲线 上的两点,12(,)(,)AxyD12)x24(0)yx两点在 轴上的射影分别为点 ,且 . , BC|()当点 的坐标为 时,求直线 的斜率;B(,0)AD()记 的面积为 ,梯形 的面积为 ,求 的取值范围. OAD1S2S12例 2.如图, 椭圆2:0xyCab的离心率是3,点,E在椭圆上, 设点 1,AB分别是椭圆的右顶点和上顶点, 过 点 1AB引椭圆 C的两条弦 1E、 F.(1)求椭圆 C的方程;(2)若直线 1A与 B的斜率是互为相反数.直线 EF的斜
2、率是否为定值?若是求出该定值, 若不是,说明理由;设 1A、 1B的面积分别为 1S和2S,求 12的取值范围.2.利用圆锥曲线的有界性例 1.已知椭圆 与直线 相交于 、 两不同点,且直线 与圆 相2:1xCy:lykxmEFl2:3Oxy切于点 ( 为坐标原点).WO(1)证明: ;EF(2)设 ,求实数 的取值范围. 3.利用变量间的相互关系构建不等式例 1.已知双曲线 上有一点 A,它关于原点的对21(0,)xyab称点为 B,点 F 为双曲线的右焦点,且 ,设FB,求双曲线离心率 e 的范围。,26AADB C xyOA1FB1ExyOFWE xyOFABxyO例 2. 已知双曲线
3、C 的方程为 离心率 5,2e顶点到21(0,)yxab渐近线的距离为 25.(1)求双曲线 C 的方程;(2)如图,P 是双曲线 C 上一点,A,B 两点在双曲线 C 的两条渐近线上,且分别位于第一,二象限.若 1,23APB求 AOB 面积的取值范围.4挖掘题目中存在的隐含条件例 1.已知双曲线 )0,(2bayx的左、右焦点分别为)0,(,(21cF.若双曲线上存在点 P使 caF12sin,则该双曲线的离心率的取值范围是( )A. B. C. D. (,)(1,2(,)(,例 2.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左右焦点分别为 ,且两条曲线在第一象限内的交12,F点为 P, 是
4、以 为底边的等腰三角形,若 ,椭圆与双曲线的离心率分别为 ,12F1P10P12,e则 的取值范围是( )2eA B C D ,)34(,32(0,)324(,)3【点评】圆锥曲线常包含一些基本性质,如椭圆中 ,1acPFac焦点三角形 面积的最大值为 ,双曲线中(以右支上的点 P 为例)12PFbc,有些不等关系隐含较深,如:三角形两边之和大于第三边等一些平面几何性质。1,cac三圆锥曲线中的最值问题1.几何方法例 1.已知抛物线 的焦点为 ,经过 轴正半轴上一点 N 作直线 与抛物2yxFyl线交于 两点,且 =2(O 为坐标原点) ,点 关于直线 的对称,ABBur FOA点为 C,则四
5、边形 面积的最小值为( ) (A)3 (B) (C)2 (D) 3332APBxyOF2PxyOF1F2PxyOF1fx =2ABxyOFCN2.代数方法例 1.(2015 浙江)已知椭圆 上两个不同的点 ,21xyA关于直线 对称B1ym(1)求实数 的取值范围;(2)求 面积的最大值( 为坐标原点) AOO【点评】运算的合理性 1_点差法思想,解题过程中设置了很多变量,但并不是都要算出来,而是利用它们之间的整体关系进行消元,即“设而不求” 。运算的合理性 2 _直线方程两种设置方式的选择运算的合理性 3_解题中结合题设条件选用适当的面积表达式一般地,计算圆锥曲线内接三角形面积时(如图)有下
6、列减少运算量的技巧.(1) (2) (3)|2ABSCDy1|ABSCDx1|2CBSADx(4) (5) (6)1|2CASBDx1|2ABSEDx1|2Sxvyu例 2.已知点 为抛物线 的焦点.(0,)F2py(1)求抛物线 C 的方程;(2)点 是抛物线上三点且 ,求 面积的最大值.,AB0FABCAB四定点定值问题解决圆锥曲线定值定点问题方法一般有两种:(1)从特殊入手,求出定点、定值,再证明定点、定值与变量无关;(2)直接计算、推理,并在计算、推理的过程中消去变量,从而得到定点、定值,应注意到代数运算是此类问题的特点,设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.1.整
7、体消元法ABxyOACBxyOD ACBxyODACB xyODfx =0.2ACBxyODACBxyODEB(x,y)yxOCA (u,v)ACBxyOFf =0.例 1.已知右焦点为 的椭圆 与直线 相F2:1(3)xyMa37y交于 、 两点,且 .PQ(1)求椭圆 的方程;(2) 为坐标原点, , , 是椭圆 上不同的三点,并且 为OABCEO的重心,试探究 的面积是否为定值,若是,求出这个定值;ABC若不是,说明理由.2.恒等式法例 1.已知椭圆方程为 ,过点 分别作斜率为 的直线 与椭圆交于 与 ,设213xy(,)P12,k12,l,ABCD分别是线段 , 的中点.,MNABCD
8、(1)若 为线段 的中点,求直线 的方程;PAB1l(2)若 ,求证:直线 恒过定点,并求出该定点坐标.12kMN例 2. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 , ,过点 的动直2xy1F22线与双曲线相交于 两点,(I)若动点 满足 (其中 为坐标原点) ,求点11FABO的轨迹方程;M(II)在 轴上是否存在定点 ,使 为常数?若存在,求出点 的xCC坐标;若不存在,请说明理由3 特殊到一般从特殊点(直线,斜率)入手,求出定点、定值、定线,再证明定点、定值、定线与变量无关;例 1(2015 年四川)如图,椭圆 的离心率是 ,过点2:1xyEab2的动直线 与椭圆相交于 两点。当直线 平行于 轴
9、时,直线(0,)Pl,ABlx被椭圆 截得的线段长为 。lE2(1)求椭圆 的方程;(2)在平面直角坐标系 中,是否存在与点 不同的定点 ,使得 恒成立?若存在,求xoyPQAPBQ PAxyO FBCBCxyOPADAF2BxyOF1PAxyOB出点 的坐标;若不存在,请说明理由.Q五.定线问题例 2.设椭圆2:1(0)xyCab过点 (2,1)M,且焦点为1(,0)F()求椭圆 的方程;()当过点 (4,1)P的动直线 l与椭圆 C相交与两不同点 ,AB时,在线段 AB上取点 Q,满足 ABQP,证明:点 总在某定直线上问题的再探究:定理 如图,设点 (圆锥曲线外)关于圆锥曲线 : 的极线
10、为 ,过点 任作一割线交PC21xyablP于 ,交 于 ,则 ;反之,若有成立,则称点 调和分割线段 ,或称点C,ABlQAB,QAB与 关于曲线 调和共轭,或称点 (或点 )关于圆锥曲线PPQ的调和共轭点为点 (或点 ).点 关于圆锥曲线 的调C和共轭点是一条直线,这条直线就是点 的极线.推论 如图,设点 关于圆锥曲线 的调和共轭点为点 ,则有 ;反之,若有成P21PQAB立,则点 与 关于 调和共轭.QC事实上,由有 1ABPABP1()2P.21方法 2:由条件可有 ,点 调和分割线段 ,说明点 关于圆锥曲线 调和共轭,ABQ,PAB,PQC根据定理 2,点 的轨迹就是点 对应的极线,
11、即 ,化简得 . 故点 总在412xy20xyQ定直线 上.0xy例 3.(2013 安徽) 设椭圆 的焦点在 轴上.22:1xyEaxPQOAxyBPQABl(1)若椭圆 的焦距为 1,求椭圆 的方程;EE(2)设 分别是椭圆的左、右焦点, 为椭圆 上的第一象限内12,FP的点,直线 交 轴与点 ,并且 ,证明:当 变化时,PyQ1Fa点 在某定直线上。六.定点定值定线问题中一些常见的结论结论 1. 为原点,设 是抛物线 上不同两点,则O,AB2(0ypx)的充要条件是直线 恒过定点A,)结论 2.圆锥曲线的焦点弦两个焦半径倒数之和为常数 ( 为相应焦点和准线间的距离, 为离心率)2epe问
12、题探究已知椭圆 , 为其左焦点,过点 的直线交椭圆于 A,B 两点,2143xyF1F是否存在常数 ,使 恒成立,并由此求 的最小值.|ABurr|AB结论 3:圆锥曲线相互垂直的焦点弦长倒数之和为常数 .2ep如图: 为过焦点 的弦,则,CDF1CD|结论 4:过圆锥曲线上任意点 A 作两焦点 的焦点弦 即12,F,ABC,则,AFBurur1e说明:由于抛物线的开放性,焦点只有一个,故准线相应替换了焦点,过抛物线准线上一点 M 作直线 交抛物线于 , 两点,已知 1MF,l2则 120问题探究.如图,已知 ()F, ,直线 :1lx, P为平面上的动点,过点 P作 l的垂线,垂足为点 Q,
13、且 FQ()求动点 P的轨迹 C的方程;()过点 的直线交轨迹 于 AB, 两点,交直线 l于点 M(1)已知 1MA, 2,求 的值;12(2)求 B的最小值PQOF1xyF2ABCOF1 xyF2BMFOAxyABCOF xyDOyx1lF结论 5.(1)过椭圆 长轴上任意一点21(0)xyab的一条弦 端点与对应点 的连线所成角被椭圆(,0)NtABQ2,)t(长轴平分. (2)过双曲线 实轴上任意一点 的21(0,)xyab(,0)Nt一条弦 端点与对应点 连线所成角被实轴所在直线平分。ABQ2,t(3)过抛物线 对称轴上任意一点 的一条弦 AB 端点与对应点 的连线2(0)ypx(,
14、0)t Q,0)t(所成角被 x 轴平分。证明:椭圆 关于 x 轴对称,故在 C 上有 关于 x 轴的对称点 ,C:21()ab ,AB1,AB若 均重合,则一定有 ,若 不重合,由于点 与点 关于椭圆1AB与 1, 与 QBA1与 N调和共轭,故 为内接四边形 对边的交点,故 必在 上, 关于 x 轴对称,NQ1 Q与故有 . 结论 6:(1)设点 在直线 上,过点0(,)Pxy(0xmy|)a作椭圆 的两条切线 切点为 ,定P21ab,PAB,点 则 三点共线。2(,0)aMm,AB(2)设点 在直线 上,过点 作双曲线0,Pxy(,0)bxmyaP的两条切线 切点为 ,定点 则 三点共线
15、。21(,)xab,PAB,2(,0)aMm,AB(3)设点 在直线 上,过点 P 作抛物线 的两条切线0,Pxy(0,)xy2()ypx切点为 ,定点 则 三点共线.,AB,)Mm例.(2008 江西理 21)如右图所示,设点 在直线 上,过点 P 作双曲线0(,)Px(,01)x的两条切线 PA、PB,切点为 A、B ,定点 . 21xy 1,)Mm(1)过点 A 作直线 的垂线,垂足为 N,试求 的重心 G 所在的曲线方程;0xyA(2)求证:A、M、B 三点共线. 七.探索性问题ABQON xyABMOP(m,y0)xy例.(2015 全国新课标 2)已知椭圆 直线 不过原点 且不平行
16、于坐标轴, 与22:9(0)CxymlOl有两个交点 ,线段 的中点为 ()证明:直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值;C,ABMMl()若 过点 ,延长线段 与 交于点 ,四边形 能否为平行四边形?若能,求此l()3mOPAB时 的斜率,若不能,说明理由八圆锥曲线基本量的运算(2012 年全国新课标 20 题)设抛物线 的焦点为 ,准线为 , 为 上一点,已知以 为圆心, 为半径的2:(0)CxpyFlACFA圆 交 于 两点。Fl,BD()若 , 的面积为 ,求 的值及圆 的方程;9AB42p()若 三点在同一直线 上,直线 与 平行,且 与 只有一个公共点,求坐标原点到 ,,AmnnCm距离的比值。n九备考建议1.重视利用圆锥曲线的定义和图形的平面几何特征解题;2.定点、定值、定线问题,最值、范围、探索性问题;3.圆锥曲线中的基本量的运算,弦长公式,中点坐标公式,判别式,中点弦问题,对称问题等等;4.在最值或范围问题的计算中注意应用函数思想方法,更加注重参变量的范围对最值问题产生的重大影响。5.总结简化运算的常用途径与思路;