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第6章 FEM一般原理和表达格式,6.1 引言
本章将通过弹性力学变分原理建立弹性力学问题有限单元法的表达格式。最小势能原理的未知场变量是位移。以结点位移为基本未知量、并基于最小势能原理建立的有限单元称为位移元，它是有限单元法中最常用的单元。本章以平面问题3结点三角形单元为例，给出有限元求解方程的一般原理和详细步骤。并进而引出广义坐标有限单元法的一般格式。有了有限元法的一般表达格式，原则上说可以推得对任一种单元的表达格式。
对于除3结点三角形而外的单元，如何通过广义坐标导出单元的插值函数也进行讨论，这对于今后研究和建立各类形式的单元是非常有用的。,,6.2 常应变三角形（平面应力问题）
由于三角形单元对复杂边界有较强的适应能力，可以用其逼近任何形状，因此很容易将一个平面结构离散成有限个三角形单元。故在二维问题的分析中，三角形单元是最为流行的单元。,6.2.1 单元划分
将ABCD划分（离散）为8个三角形（单元），编号①—⑧。节点编号1—9。建立坐标系后，不难定出各节点的坐标（xi, yi）。,右图为一边长为a、厚度为t的正方形薄板。其中AB边固定，BC、CD边自由，AD边作用均布压力q。以对这一问题为例，说明平面应力问题有限元分析的步骤。,,第6章 FEM一般原理和表达格式,6.2.2 单元分析
任取一个一般性的单元，如图所示。三个节点的编号为i, j, k。节点位移为( ui, vi )、( uj, vj ) 、( uk, vk ) ，单元节点位移为：,1 单元位移模式和插值函数
假定单元内一点（x,y）位移u, v 是x, y的一次函数:,,第6章 FEM一般原理和表达格式,6.2 常应变三角形,a1∼ a6称为广义坐标。
在节点处应有:,可解出：,,第6章 FEM一般原理和表达格式,6.2 常应变三角形,,第6章 FEM一般原理和表达格式,6.2 常应变三角形,其中:,,第6章 FEM一般原理和表达格式,6.2 常应变三角形,当 i, j, k的位置为逆时针排列时，2Δ恒正，且等于三角形单元面积的两倍。将这些结果代入,有：,类似可得到,,,第6章 FEM一般原理和表达格式,6.2 常应变三角形,可以合并成,Ni、Nj、Nk称为单元的插值函数或形函数，为x，y的一次函数。,,,第6章 FEM一般原理和表达格式,6.2 常应变三角形,形函数具有以下性质：
(i)在节点上形函数的值为：,也就是说在i节点上Ni=1，在j,k节点上Ni=0。当x=xi,y=yi时，即在节点i应有u=ui，由上面得到的单元一点位移与节点位移关系式：,,,第6章 FEM一般原理和表达格式,6.2 常应变三角形,也必然要求： Ni=1， Nj= Nk=0。同样利用别的节点的位移协调可以其他两个形函数也具有同样的性质。,(ii)在任一点，单元的三个形函数之和应等于1，即（反映单元的刚性位移）：,,,第6章 FEM一般原理和表达格式,6.2 常应变三角形,若形函数不满足此要求，则不能反映单元的刚体位移，用以求解必然得不到正确的结果。,,,第6章 FEM一般原理和表达格式,6.2 常应变三角形,(iii)对于现在的单元，插值函数是线性的，在单元内部及单元的边界上位移也是线性的，可由节点上的位移值唯一地确定。由于相邻单元公共节点的位移是相等的，因此也就保证了相邻单元在公共边界上位移的连续性。,2 单元的应变、应力
利用：,不难求得,,第6章 FEM一般原理和表达格式,6.2 常应变三角形,其中,S称为应力矩阵。
在在假定单元内u、v是一次函数的前提下，单元内的应变和应力将是常数，故这种单元又常应变三角元。,,第6章 FEM一般原理和表达格式,6.2 常应变三角形,6.2.3 利用最小位能原理建立有限元方程,对于每个单元，其最小位能原理的总位能泛函为：,f是作用在单元体内的体积力（密度）；T是作用在单元边界上的面积力（密度）。,,第6章 FEM一般原理和表达格式,6.2 常应变三角形,,第6章 FEM一般原理和表达格式,6.2 常应变三角形,对于离散模型，系统位能是各单元位能的和，即有：,对单元使用最小位能原理，即：,可以得到单元的有限元方程：,其中：,,第6章 FEM一般原理和表达格式,6.2 常应变三角形,称为单元刚度矩阵。对于3节点三角形单元，应变矩阵B为常量阵，因此有：,单元刚度矩阵每一个元素Keij的意义为：当第j个节点位移为1而其他节点位移为0时，在第i个节点上需施加的力的大小。单元的刚性越大，则使节点产生单元位移所需施加的节点力就越大。因此单元刚度矩阵反映了单元刚性的大小。,,第6章 FEM一般原理和表达格式,6.2 常应变三角形,称为体力f 和面力T的单元等效节点载荷列阵。,称为单元等效节点载荷列阵。,单元刚度矩阵具有如下特性：
(1) 对称性（作用与反作用）；
(2) 奇异性（无约束） ，即不存在逆矩阵（节点力线性相关）。
(3) 主元恒为正（力与位移同向）,,第6章 FEM一般原理和表达格式,6.2 常应变三角形,单元的单位体积重量为r，如图所示。则有：,根据：,(1) 均质等厚单元的自重,有：,,下面给出常见的两种载荷的等效结果：,第6章 FEM一般原理和表达格式,6.2 常应变三角形,自重的等效节点载荷是：,其中每个节点的等效载荷是：,,第6章 FEM一般原理和表达格式,6.2 常应变三角形,沿x方向作用在ij边，分布集度为q,如图所示。则边上的面力为：,(2) x方向均布压力,利用前面类似体积力的单元节点载荷等效过程，可很容易得单元等效节点载荷为：,,第6章 FEM一般原理和表达格式,6.2 常应变三角形,上面例子中单元①和②的边上作用着均布的外载荷，可以把它们的合力平分到两节点，如图所示。,,,其中：,,第6章 FEM一般原理和表达格式,6.2 常应变三角形,将单元节点位移u用结构节点位移a表示：,G为位置转换矩阵（定位矩阵）。,前面已经提到，离散结构总的位能等于各单元位能之和：,,第6章 FEM一般原理和表达格式,6.2 常应变三角形,使用最小位能原理，整个离散系统的总位能对结构节点位移的变分为0，可以得到系统的有限元求解方程：,将上面的坐标变换，即从单元节点位移（局部）转换到整体节点位移，代入上面总位能表达式，有：,,第6章 FEM一般原理和表达格式,6.2 常应变三角形,其中：,称为结构整体刚度矩阵。,称为结构节点载荷列阵。,,第6章 FEM一般原理和表达格式,6.2 常应变三角形,6.2.4 解方程获得位移及应力
解上述方程可得到各非约束自由度的位移，再由,可求得各单元的应力。,,最小位能原理是具有附加条件的变分原理，它要求场函数要满足几何方程和位移边界条件，为了实现位移约束条件：,这些自由度对应的行和列可以不必组装。,第6章 FEM一般原理和表达格式,6.2 常应变三角形,第2节给出了三角形单元的广义坐标有限元法的具体的实施步骤。
但在用有限元法进行分析问题时，所遇到的单元种类繁多，如二维单元有三角形单元、矩形单元，三维单元有四面体、五面体或平行六面体等，即使同样形状的单元还可有不同的节点数目。
如何选择合适的单元进行计算？主要要考虑以下因素：求解问题的类型、计算精度要求及计算量等。
下面给出广义坐标有限元法的一般步骤。,,第6章 FEM一般原理和表达格式,6.3 广义坐标有限元法的一般步骤,1 以广义坐标b为待定参数，给出单元内位移u:,,第6章 FEM一般原理和表达格式,6.3 广义坐标有限元法的一般步骤,单元的位移模式一般采用以广义坐标为待定参数的有限项多项式作为近似函数，若选取有限项多项式插值函数应考虑以下几点：
(1) 广义坐标的个数应与节点自由度数相等；
(2) 常数项（刚体位移）和一次项（常应变）必须完备；,2 用节点位移ae表示广义坐标b:,,第6章 FEM一般原理和表达格式,6.3 广义坐标有限元法的一般步骤,(3) 多项式的选取应由低阶到高阶，尽量选取完全多项式以提高单元的精度。
一般来说，对于单元每边具有２个端节点的应保证一次完全多项式；每边有３个节点应取二次完全多项式。,3 用单元节点位移ae表示单元位移函数u，得到插值函数N,4 以单元节点位移ae表示单元应变和应力：,,第6章 FEM一般原理和表达格式,6.3 广义坐标有限元法的一般步骤,5 用最小位能原理建立离散体系的平衡方程,6 引入边界条件,7 解系统方程得单元节点位移及进一步得应变和应力,,第6章 FEM一般原理和表达格式,6.3 广义坐标有限元法的一般步骤,一管道系统，具体结构和参数见系统结构图，采用单元：Pipe16。计算其前5阶固有频率和振型。,,第6章 FEM一般原理和表达格式,6.4 作业,
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