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第5章 有限元分析,5.1 引言
每一种自然现象的背后都有相应的物理规律(万物皆规律)，对现象的描述可以借助相关的定理或定律表现为各种代数的、微分的、或积分的方程，这些方程通常称为数学模型（控制方程）。对于很多的实际工程问题，推导并得到这些方程并不十分困难，却很难从这些方程中获得解析的数学解。
对于这类实际工程问题的解决方案通常如下框图所示：,,工程中的问题(力学、物理等),各种方程及相应的定解条件(边界条件及初始条件),线性的、边界规则的问题,数值分析法,精确解,近似解,非线性的、边界不规则的问题,解析法,,,,,,,,,5.1 引言,第5章 有限元分析,第5章 有限元分析,5.1 引言
对于稍微复杂的振动系统，想借助相关的定理或定律得到其代数的、微分的、或积分的方程几乎不可能，即想得到其控制方程很难。
有限元分析(FEA)是利用数学近似的方法对真实物理系统(几何和载荷工况)进行模拟。还利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。从而通过计算机得到其庞大的控制方程。,,第5章 有限元分析,5.1 引言
有限元方法(FEM)是计算机问世以后迅速发展起来的一种分析方法。对于复杂系统，人们多采用数值方法给出近似的满足工程精度要求的解答，有限元方法就是一种应用十分广泛的数值分析方法，也是工程科学的重要工具，其重要性仅次于数学。,,第5章 有限元分析,几何体 载荷 物理系统,,5.2 物理系统举例,5.3 有限元模型和离散方程建立,有限元方法是处理连续介质问题的一种普遍方法，离散化是有限元方法的基础。有限元模型是真实系统离散化、理想化的数学抽象。,,第5章 有限元分析,1 建模方法
众所周知，一个连续体有无限多个自由度(属于无限维空间)，有限元方法则是将它转化成一个有限自由度(属于有限维空间)，建立有限元方程，求其近似解。由于利用了分片插值技术，连续体(区域)的形状可以不受任何限制。而这一难题正是以前其他分析方法所难以克服的。建立有限元方程大体有三类方法：
(1) 直接方法
(2) 变分方法
(3) 加权残值法,,第5章 有限元分析,5.3 有限元模型和离散方程建立,2 自由度、节点和单元
自由度:用于描述一个物理场的响应特性。
自由度数（DOFs）：描述系统位形需要的独立坐标数。（机械系统）,场变量：可以是标量，也可以是矢量。(最后处理的实际上都是标量),,第5章 有限元分析,5.3 有限元模型和离散方程建立,有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。,,第5章 有限元分析,2 自由度、节点和单元,5.3 有限元模型和离散方程建立,每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。
作为一个整体，单元形成了整体结构的数学模型。,信息是通过单元之间的公共节点传递的。即通过公共节点的协调条件来完成从单元到整体的转换。,,第5章 有限元分析,2 自由度、节点和单元,5.3 有限元模型和离散方程建立,,第5章 有限元分析,2 自由度、节点和单元,5.3 有限元模型和离散方程建立,节点自由度是随连接该节点所在单元类型变化的。,,第5章 有限元分析,2 自由度、节点和单元,5.3 有限元模型和离散方程建立,※单元形函数是一种数学函数，规定了从节点DOF值到单元内所有点处DOF值的计算方法。因此，单元形函数提供了一种描述单元内部结果的“形状”。（假设模态）
※单元形函数描述的是给定单元的一种假定的特性。
※单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响求解精度。
※FEA仅仅求解节点处的DOF值。,,第5章 有限元分析,3 形函数,5.3 有限元模型和离散方程建立,二次曲线的线性近似 (不理想结果),二次近似 (接近于真实的二次近似拟合) (最理想结果),,,第5章 有限元分析,5.3 有限元模型和离散方程建立,3 形函数,形函数的选取需遵循以下原则:
DOF值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解，但单元内的平均值与实际情况要吻合得很好。
如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOF，就不能很好地得到导出数据，因为这些导出数据是通过单元形函数推导出来的。
当选择了某种单元类型时，也就十分确定地选择并接受该种单元类型所假定的单元形函数。,,第5章 有限元分析,5.3 有限元模型和离散方程建立,3 形函数,形函数的选取需遵循原则:
在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下，必须确保分析时有足够数量的单元和节点来精确描述所要求解的问题。,,,,,第5章 有限元分析,5.3 有限元模型和离散方程建立,3 形函数,要用有限元方法的理论来解决实际问题离不开计算机(硬件)和程序(软件)，大体要完成以下四方面的工作：
数据储存
应用有限元方法求解实际问题时，在计算过程中要存贮大量数据(原始、中间和最终结果)。对于一个中等规模以上的算题，数据量相当可观。例如，一个不到500个节点的板壳结构(中等规模)的算题，要占用大约18MB的外存空间，在处理规模稍大的算题时一定要有足够的外存空间。
数据管理
为了充分利用存贮空间，编制程序时要注意到存贮空间的利用率。,,第5章 有限元分析,5.4 有限元程序, 数值计算
计算成本主要取决于数值运算的时间，尽量选用先进的计算方法，提高求解效率。迭代步长。
前处理及后处理
为了减少人工准备原始数据的工作量，程序要有尽可能完善的“自动生成“功能。即由程序产生一部分原始数据。尽管如此，对于中等规模以上的算题来说，准备原始数据仍然是一件繁重的工作。数据是否没有差错，往往决定着一次计算的成败。
分析计算结果也是一件繁重的工作，一个好的程序应有较完善的后处理功能。例如，将计算结果绘制成图形或曲线。,,第5章 有限元分析,5.4 有限元程序,单元分析,形成总体方程,解方程,输出结果,,,,,第5章 有限元分析,5.5 有限单元方法处理问题的基本步骤,1 将给定的区域离散化为单元的集合
(i)用预先选定的单元类型来创建有限元网格；
(ii)给单元及节点编号；
(iii)创建几何特性(例如：坐标系，横截面的面积等)。
2 对有限元网格中现存的各种典型单元进行单元分析
(i)对各典型单元创建与其微分方程等价的变分形式；
(ii)推导或选择单元插值函数,计算相关的单元矩阵。,,第5章 有限元分析,5.5 有限单元方法处理问题的基本步骤,3将单元方程合并为总体方程组
(i)给出局部自由度与总体自由度之间的关系(基本变量在单元之间的连续性或单元之间的连接性)；
(ii)给出局部坐标系中的力分量与总体坐标系中的力分量之间的关系；
(iii)依据叠加性质及以上两步对单元方程进行合并。,,第5章 有限元分析,5.5 有限单元方法处理问题的基本步骤,4施加边界条件
5求解总体方程
6输出结果,,第5章 有限元分析,5.5 有限单元方法处理问题的基本步骤,
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