1、,第一章小结,设一次试验中事件A发生的概率为p(0p1),则n重贝努里试验中，事件A刚好发生k次的概率,7 重点题型古典概率： 条件概率乘法公式： 全概率公式贝叶斯公式 重复独立概型,典型例题,例1：设A= 甲来听课 ，B= 乙来听课 ，则： 甲、乙至少有一人来 甲、乙都来 甲、乙都不来 甲、乙至少有一人不来,例2：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：,例3 （摸求问题）设合中有3个白球，2个红球，现从合中任抽2个球，求取到一红一白的概率。解:设A-取到一红一白,答:取到一红一白的概率为3/5,一般地，设合中有N个球
2、，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是,相关公式,P(AB)P(A)P(B)P(AB),例 在110这10个自然数中任取一数，求（1）取到的数能被2或3整除的概率，（2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率，（3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。,解:设A取到的数能被2整除; 取到的数能被3整除,故,例4 某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲乙或乙丙报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率.,解: 设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报,例5 盒中有3个红
3、球，2个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从合中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。,解：设Ai为第i次取球时取到白球，则,例6：某厂生产的产品能直接出厂的概率为70%，余下 的30%的产品要调试后再定，已知调试后有80% 的产品可以出厂，20%的产品要报废。求该厂产 品的报废率。 解： 设 A=生产的产品要报废 B=生产的产品要调试 已知P(B)=0.3，P(A|B)=0.2，,利用乘法公式,全概率用法：找事件组A1，A2，An (n可为）满足：,则对任何事件BS，在A1，A2，An上分解,* 全概率公式可由以下框图
4、表示：设 P(Bj)=pj, P(A|Bj)=qj, j=1,2,n易知：,S,P1,P2,Pn,.,B2,q2,q1,qn,例7 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率.,解：记 Ai=球取自i号箱, i=1,2,3; B =取得红球,即 B= A1B+A2B+A3B， 且 A1B、A2B、A3B两两互斥,B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，,P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B),运用加法公式得,1,2,3,9.车间有甲、乙、丙3台机床生产同一
5、种产品，且知它们的次品率依次是0.2，0.3，0.1，而生产的产品数量比为：甲：乙：丙=2：3：5，现从产品中任取一个，（1）求它是次品的概率？（2）若发现取出的产品是次品，求次品是来自机床乙的概率？10.三个箱子中，第一箱装有4个黑球1个白球，第二箱装有3个黑球3个白球，第三箱装有3个黑球5个白球。现先任取一箱，再从该箱中任取一球。问（1）取出球是白球的概率？（2）若取出的球为白球，则该球属于第二箱的概率？11.若已知事件A与B相互独立，证明事件A与事件与相互独立,例 8 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞 机被一人击中而击落的概率为0.2,
6、被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.,设B=飞机被击落 Ai=飞机被i人击中, i=1,2,3,由全概率公式 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3),则 B=A1B+A2B+A3B,求解如下:,例9：有4个独立元件构成的系统(如图)，设每个元件能正常运行的概率为p，求系统正常运行的概率。,注意：这里系统的概念与电路 中的系统概念不同,第二章小结之一维随机变量,第三章二维随机变量,基本题型1、实际问题求分布率。2、实际问题求分布函数。3、已知概率密度，求系数、分布函数，随机变量落在某个区
7、间的概率。4、实际问题利用均匀分布计算事件概率。5、正态分布化标准正态分布求值。6、已知概率密度，求随机变量函数的分布7.已知联合分布，求边缘分布并验证独立性。,2. 设连续型随机变量的概率密度为,则,习题1. 盒内有5个零件，其中2件次品，从中任取3件，用 表示取出的次品数，则 的概率分布为 。,例1. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是p，求所需射击发数X 的概率函数.,解: 显然，X 可能取的值是1,2, ，,P(X=1)=P(A1)=p,为计算 P(X =k )， k = 1,2, ，,Ak = 第k发命中，k =1, 2, ，,设,于是,例3 向0,1区间随
8、机抛一质点，以X表示质点坐标.假定质点落在0,1区间内任一子区间内的概率与区间长成正比，求X的分布函数解： F(x)=PXx,当x1时,F(x)=1,当0x1时,特别,F(1)=P0x1=k=1,例5 长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率,15,45,解：设A乘客候车时间超过10分钟X乘客于某时X分钟到达，则XU(0,60),5.设连续型随机变量 的概率密度为,求（1）系数 （2） 的分布函数 (3),6.设连续型随机变量 的分布函数为,求（1）系数A；（2）PP ，P,7.某种型号的电灯泡使用
9、时间（单位：小时） 为一随机变量 ，其概率密度为,求3个这种型号的电灯泡使用了1000小时后至少有2个仍可继续使用的概率,例 2：设随机变量X在区间（0，10）上服从均匀分布，现对X进行4次独立观察，试求至少有3次观察值大于5的概率。,例 设XU(-1,1),求Y=X2的分布函数与概率密度。,当y0时,当0y1时,当y1时,8. 已知离散型随机变量 的分布律为,求：（1） 的分布律； （2） 的分布律。 (3),-3 -1 0 1 3 5,9. 将一枚硬币掷3次，以 表示前2次中出现H的次数，以 表示3次中出现H的次数，求 的联合分布律以及 的边缘分布律。,它们是：（1，-1）,(2,-1)
10、, (2,0) ,(2,2) , (3,1) , (3,2) ,并判断,12. 随机变量 的分布密度 求（1） 与 的边缘分布密度； （2）问 与 是否独立。,13.二维随机变量 在单位圆上服从均匀分布，证明：随机变量 ， 不相互独立。,11.设 的联合分布密度为试求：（1）常数；（2）,第四章习题课内容,1、 掷10颗骰子，假定每颗骰子出现1至6点都是等可能的，则10颗骰子的点数和的数学期望为 ，方差为 。,2、盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个，,表示取到的白球个数，,表示取到的黑球个数，,，,，,，,3、已知随机变量,的概率密度为,（,则,，,4.设连续型随机变量 的概率密度为,且,
11、则,，,5. 设两随机变量,与,的方差分别为25与16，,与,相互独立,（1）,则,，,（2）相关系数为0.4，则,，,8.设二维连续型随机变量 的联合概率密度为,试确定常数,，并计算,9.设随机变量,的联合分布律为,-1 0 1-1 1/8 1/8 1/80 1/8 0 1/81 1/8 1/8 1/8,试证,与,既不相关也不独立,例2 从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3.(1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律.(2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率.,解:(1)由题意,XB(6,1/3),于是,X的分布律为:
12、,例 设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2.求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。,解:由题意,例 .电子元件的寿命X(年）服从参数为3的指数分布(1)求该电子元件寿命超过2年的概率。(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年的概率为多少？,解,例 一种电子元件的使用寿命（小时）服从正态分布(100,152),某仪器上装有3个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时内无一元件损坏的概率.,解:设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数,故,则 YB(3,p),其中,第五章 大数定律与中心极限定理,1。切贝谢夫(
13、Chebyshev)不等式,2.三个大数定律及应用,3.李雅普诺夫Liapunov定理和Laplace中心极限定理,一般独立同分布中心极限定理的应用,1、求和分布 的问题当n充分大时，,利用中心极限定理的结论，把求 落在某个区间的概率利用标准正态分布函数值计算,二项分布以正态分布为极限的结论,例一个螺丝钉重量是一个随机变量，期望值是1两，标准差是0.1两。求一盒（100个）同型号螺丝钉的重量超过10.2斤的概率。,例 对敌人的防御地段进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量，其期望值为2，方差为1.69。求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率。,例4用拉普拉斯积分极限定理计算：设电站供电网有10 000盏电灯,夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7,而假定开、关时间彼此独立,估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概率。,例每颗炮弹命中飞机的概率为0.01，求500发炮弹中命中5发的概率。,例3 某公司有100名员工参加一种资格证书考试 .按往年经验，该考试通过率为0.8,求100名员工中至少有75人考试通过的概率.,
