1、概率论与数理统计,概率论的起源,赌博,德.梅勒是一位军人、语言学家、古典学者，同时也是一个有能力、有经验的赌徒，他经常玩骰子和纸牌。虽然他不是一个全职的数学家，但他经常从数学的角度提出和思考赌博中出现的一些有深度的问题，“点问题” 就是其中之一。,故事背景：,一次，德.梅勒和他的一个朋友每人出30个金币，两人各自选取一个点数，谁选择的点数首先被掷出3次，谁就赢得全部的赌注。在游戏进行了一会儿后，德.梅勒选择的点数“5”出现了2次，而他的朋友选择的点数“3”只出现了一次。这时候，德.梅勒由于国王召见必须离开，游戏不得不停止。他们该如何分配赌桌上的60个金币的赌注呢？,德.梅勒的朋友认为，既然掷出
2、他选择的点数的机会是德.梅勒的一半，那么他该拿到德.梅勒所得的一半，即他拿20个金币，德.梅勒拿40个金币。,然而德.梅勒争执到：再掷一次骰子，对他来说最糟糕的事是他将失去他的优势，游戏是平局，每人都得到相等的30个金币；但如果掷出的是“5”，他就赢了，并可拿走全部的60个金币。在下一次掷骰子之前，他实际上已经拥有了30个金币，他还有50%的机会赢得另外30个金币，所以，他应分得45个金币。,他们对这一问题的看法和计算方法不一致，为此而争论不休。后来德.梅勒把这个问题告诉了帕斯卡，帕斯卡对此也很感兴趣，但也难住了帕斯卡。,帕斯卡又写信告诉了费马。于是在这两位伟大的法国数学家之间开始了具有划时代
3、意义的通信。总共用了三年的时间，解决了这一问题，在概率论的历史上，一般的传统观点则把这一事件看作为数学概率论的起始标志。,他们两人再多赌两局即可分出胜负，这两局有4种可能的结果：5,5、5,3、3,5、3,3。前3种情况都是甲最后获胜，只有最后一种情况才是乙取胜，所以赌注应按3：1的比例分配，即甲得45个金币，乙得15个。,三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯把这一问题置于更复杂的情形下，试图总结出更一般的规律，结果写成了论掷骰子游戏中的计算一书，这就是最早的概率论著作 。,概率论诞生了！,本课程与其他数学基础课的关系,微积分线性代数,序 言,一.确定性数学初等数学、高
4、等数学(微积分)、线性代数等二.随机数学-以概率论为代表 1.赌博 人口统计 出生率 性别等 2.非确定性现象: 抛硬币 掷骰子 发大水等 3.研究和揭示随机现象的统计规律性的科学 -概率论,三.理论联系实际最活跃的学科,1.应用性: 概率统计的理论一直在广泛地应用于工农业、军事、科技等领域 2.渗透性: 与基础学科、工程学科结合可产生新的学科和研究方向。例如：信息论、系统论、控制论、排队论、可靠性理论、可靠度分析、平差分析、统计物理、水文统计、 数量经济等,四.概率论的内容构成,基础部分-概率论: 古典概率 随机变量及其分布 分布函数 数字特征等应用部分-数理统计: 统计量构造 参数估计 假
5、设检验 回归分析等深入部分-随机过程: 马尔可夫过程 平稳过程 随机分析等,第一章 随机事件和概率,随机试验样本空间、随机事件频率和概率古典概型几何概型概率的公理化结构条件概率事件的独立性贝努里概型,1.1 随机试验一、随机试验(简称“试验”)的例子,随机试验可表为EE1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面; H，TE2: 抛两枚硬币，考虑可能出现的结果； (H,H), (H, T), (T, H), (T, T)E3: 掷一颗骰子，考虑可能出现的点数i; 1,2 ,3,4,5,6 E4: 掷两颗骰子，考虑可能出现的结果； (1,1),(1,2),(1,6),(6,1),(
6、6,2),(6,6),二、随机试验的特征,E5: 记录电话交换台一分钟内接到的呼叫次数； 0,1,2,3,.,1.可在相同条件下重复进行; 2.试验结果不止一个,但能确定所有的可能结果; 3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。,1.2 样本空间、随机事件一、样本空间,1、样本空间：随机试验的一切可能的结果所组成的集合称为样本空间，记为=； 2、样本点: 样本空间的元素称为样本点，样本点即基本事件，记为.,E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面; =H，T E2: 抛两枚硬币，考虑可能出现的结果； = (H,H), (H, T), (T, H), (T, T) E3:
7、 掷一颗骰子，考虑可能出现的点数i; = 1,2 ,3,4,5,6 E4: 掷两颗骰子，考虑可能出现的结果； = (1,1),(1,2),(1,6),(6,1),(6,2),(6,6) E5: 记录电话交换台一分钟内接到的呼叫次数； = 0,1,2,3,二、随机事件,1.定义 一般将随机试验E的样本空间的子集称为E的“随机事件”, 简称“事件”. 2.基本事件:单个样本点组成的集合不可能再分解的事件, 即试验的结果，常记为“”. 3.事件A发生：在一次试验中，如果出现A中所包含的某个样本点。 4.两个特殊事件: 必然事件、不可能事件. 任何事件均是某些样本点组成的集合. 例 对于试验与E2,E
8、5,以下A 、 B即为两个随机事件: A“至少出一个正面” (H,H), (H, T), (T, H)； B“至少m次少于n次”m, m+1, , n1。,三、事件之间的关系,1.包含关系:“ A发生必导致B发生”记为AB AB AB且BA.2.和事件: “ A, B至少有一个发生”, 记为AB3.积事件: “ A, B同时发生”,记为 ABAB4.差事件、对立事件(余事件)：AB称为A与B的差事件,5.互不相容性：AB A、B互为对立事件 AB , 且AB ,1.包含关系“ A发生必导致B发生”记为AB AB AB且BA., 事件之间的关系,2.和事件： “事件A与B至少有一个发生”，记作A
9、B,2n个事件A1, A2, An至少有一个发生，记作,3.积事件 :A与B同时发生，记作 ABAB,3n个事件A1, A2, An同时发生，记作 A1A2An,4.差事件：AB称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不发生,思考：何时A-B=?何时A-B=A？,5.互斥的事件：AB ,6. 互逆的事件 （对立事件） AB , 且AB ,对立事件与互斥事件的区别,B,A、B 对立,A、B 互斥,互 斥,对 立,四、事件与集合对应关系类比,概率论 集合论 样本空间 事件 子集 事件A发生 A 事件A不发生 A 必然事件 不可能事件 事件A发生导致事件B发生 AB,概率论 集合论事件A与B至少有一个
10、发生 AB事件A与B同时发生 AB(或AB)事件A发生而B不发生 AB事件A与B互不相容 AB,例 设A,B,C为三事件，用A,B,C的运算关系表示下列各事件： （1） A发生,B与C不发生； （2） A,B,C至少有一个发生； （3） A,B,C都发生； （4） A,B,C都不发生； （5） A,B,C中不多于一个发生； （6） A,B,C中至少有两个发生,五、事件的运算,1、交换律：ABBA，ABBA2、结合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC)3、分配律：(AB)C(AC)(BC)， (AB)C(AC)(BC)4、对偶(De Morgan)律：,1.3 频率与概率一、频率,1.
11、定义 事件A在n次重复试验中出现nA次，则比值nA/n称为事件A在n次重复试验中出现的频率，记为fn(A). 即 fn(A) nA/n.,2.频率的性质(1) 非负性： fn(A) 0；(2) 规范性： fn()1；(3) 可加性：若AB ，则 fn(AB) fn(A) fn(B).实践证明：当试验次数n增大时， fn(A) 逐渐 趋向一个定值。,二. 概率,历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。 实验者 n nH fn(H)De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069K. Pearson 12000 601
12、9 0.5016K. Pearson 24000 12012 0.5005,1.定义 若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件 A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：(1)非负性：对任一事件A，有P(A) 0；(2) 规范性： P()1；(3) 可列可加性：设A1，A2，, 是一列两两互不相容的事件，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. (1.1)则称P(A)为事件A的概率。,2.概率的性质(1) 不可能事件概率零：P()0； (1.2)(2) 有限可加性：设A1，A2，An , 是n个两两互不相容的事件，即Ai
13、Aj ，(ij), i , j1, 2, , n ,则有 P( A1 A2 An) P(A1) P(A2)+ P(An); (1.3)(3) 单调不减性：若事件BA，则P(B)P(A) , 且 P(BA)P(B)P(A)； (1.4),若 则,因 互不相容,故由有限可加性有,再由概率非负性得,事件解释为区域,概率解释为区域面积,事件与概率的图示,(4) 互补性：P(A)1 P(A)，且P(A) 1 ; (1.5)(5) 加法公式：对任意两事件A、B，有 P(AB)P(A)P(B)P(AB) (1.6)公式(1.6)可推广到任意n个事件A1，A2，An的情形；(6) 可分性：对任意两事件A、B，
14、有 P(A)P(AB)P(AB ) . (1.7),对于三事件 有,由定义,乘法公式：设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法,复习：排列与组合的基本概念,加法公式：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。,有重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k 次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，,n,n,n,n,共有nk种排列方式.,无重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k 次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，,共有Ank=n(n-1)(n-k+1
15、)种排列方式.,n,n-1,n-2,n-k+1,组合：从含有n个元素的集合中随机抽取k 个，共有,种取法.,1.4 古典概型一、古典概型的特征,1.有限性：样本空间1, 2 , , n ;2.等可能性：P(i)1/n, (i1, 2, , n). 古典概型也称为等可能概型。,二、古典概型的计算公式,P(A),设事件A中包含k个样本点(基本事件),例1、掷一颗骰子，求出6点的概率。 1/6例2、做试验E：“将一枚硬币连抛2次” ,观测出正、反面的情形。 (1) 写出E的样本空间； = (H,H), (H, T), (T, H), (T, T) (2) 设A1“恰有一次出正面” ，求P(A1)；
16、A1 = (H, T), (T, H) P(A1)= 2/4 (3) 设A2“至少出一次正面” ，求P(A2). A2 = (H,H), (H, T), (T, H) P(A2)=3/4,例3、袋中有6只乒乓球，其中4白2红，现从中取二次，每次取一只(分别考虑有放回和无放回取球的情形)。求(1) 全是白球的概率；(2) 两球色相同的概率；(3) 至少一只白球的概率。,三、古典概型的几类基本问题,1、抽球问题 设袋中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，问这n个球中恰有k个白球的概率是多少?,2、取数问题 设有17七位数字，从中任取三个不同的数字组成一个三位数，求这三位数是偶数的概率。,3
17、、分配问题 把n个不同的球随机地分配到m (mn)个不同的盒子中去，问每盒中至多有一球的概率是多少？ (设盒子的容量不限)。,4、配对问题 从五双不同的鞋子中任意地取出四只，问其中至少有两只成双的概率是多少?,例4、设有n 个人，每个人都等可能地被分配到N个房间中的任意一间去住(nN)，求下列事件的概率：(1)指定的n个房间每个房间各有一人;(2)恰好有n个房间，每个房间各有一人。(3)某指定的房中恰好有m(m n)个人;(4)一间房中恰好有m个人.,参加某次聚会共 个人, 求没有两人生日相同的概率,分析,个人生日各不相同,则,天,间房,至少有两人生日相同,结果有点出乎人们意料,此问题：有n
18、个人去住365间房，恰好有n个房间，每个房间各有一人的概率,1.5 几何概型一、几何概型的特征,1.基本事件数无限：， 充满区域 ；2.等可能性：随机点落在某区域g的概率与区域g的测度(长度、面积、体积等)成正比，而与其位置及形状无关。,二、几何概型的计算公式,其中Ag表示“在区域中随机地取一点落在区域g中”这一事件。,例、(会面问题)两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时可离去，试求两人会面的概率。,这是一个几何概型，所求概率是,1.6 概率的公理化结构,公理1 事件域公理 样本空间的部分子集所组成的集合F若满足以下 三个条件: (F.1) F； (F.2) 若AF ，
19、则 A =A F； (F.3) 若有一列AiF, i1,2, , 则可列和 .,则称其为上的域(或代数)，也称其为上的事件域。 二元体( ，F )称为可测空间。,由公理1可推得如下性质：(1) F;(2) 若A、BF，则AB F，AB F，AB F;(3) 若有一列AiF, i1, 2, , 则 .,公理2 概率公理 设(，F)为可测空间，在事件域F上定义一个实值函数P(A)，AF，满足：(1)非负性： P(A)0，对任意AF;(2)规范性： P( )1;(3)可列可加性：若有一列AiF, i1, 2, , AiAj, 使得 则称P(A)，AF为域F上的概率测度，简称“ “概率”。满足公理1和
20、公理2的三元体 (, F，P)称为概率空间。,1.7 条件概率及概率计算公式一、条件概率,设A、B是中的两个事件，即A、B F，则 (1.7.1) 称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。 条件概率P(B|A)也是概率。它的计算除了按上式计算之外，也可在缩减的样本空间A里直接计算。,例1、一只盒子中混有100只新 、 红 白旧乒乓球，各有红、白两色，分 新 40 30类如右：若取得的是一只红球， 旧 20 10试求该红球是新球的概率。,设A-从盒中随机取到一只红球. B-从盒中随机取到一只新球.,二、乘法公式,设A、BF，则 P(AB)P(A)P(B|A). (1.7.2)式(1.7.2)
21、就称为事件A、B的概率乘法公式。,式(1.7.2)还可推广到三个事件的情形： P(ABC)P(AB) P(C|AB)=P(A)P(B|A)P(C|AB). (1.7.3) 一般的，有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1). (1.7.4),例2、袋中有r只红球, t只白球.每次从袋中任取一只球,观察其颜色后放回,并放入a只与所取出的那只球同色的球.若在袋中连续取球三次,试求第一、二次取到红球且第三次取到白球的概率。,如何将一个复杂概率计算问题分解为简单计算问题之和,？,样本空间的划分：,设 为样本空间，若事件 满足：,两两不相容，即,想法,将 的计算分
22、解到,上计算然后求和,通常要求,于是,设 为样本空间 的一个划分，即,对任何事件 有,全概率公式,三、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式,定理1、设A1，, An是的一个划分，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件BF，有 (1.7.5)式(1.7.5)就称为全概率公式。,由全概率公式有,例3,记 取到次品,取到的产品是 车间生产的,某工厂的一、二、三车间都生产同一产品,产量分别占总产量的 三个车间的次品率分别为 现从汇总起来的产品中任取一个，问它是次品的概率有多大？（该厂这种产品的次品率）,定理2、设A1，, An是的一个划分，且P(Ai) 0，(i1，n)，则对任何事件BF，有 (1
23、.7.6)式(1.7.6)就称为贝叶斯公式或逆概率公式。,由全概率公式有,例3,记 取到次品,取到的产品是 车间生产的,由 Bayes 公式有,可见该次品是第二车间生产的可能性较大,Bayes 推断,某工厂的一、二、三车间都生产同一产品,产量分别占总产量的 三个车间的次品率分别为 现从汇总起来的产品中任取一个，经检查是次品，问它是哪个车间生产的可能性较大？,例4 甲箱中有5个正品，3个次品；乙箱中有4个正品，3个次品，从甲箱任取3个产品放入乙箱，然后再从乙箱中任取一个产品。（1）求从乙箱中取出的这个产品是正品的概率；（2）如果从乙箱中取出的是正品，推测它从甲箱中取出的各种情况，而造成的可能性的
24、大小。,例5 在无线电通讯中，由于随机因素的影响，当发出短号“” 时, 收到“” 、“不清” 和长号“” 的概率分别是0.7、0.2和0.1，当发出长号“” 时，收到“” 、“不清” 和 “” “的概率分别是0.85、0.1和0.05。若在整个发报过程中信号“” 及“” 出现的概率分别是0.6和0.4，当收到信号“不清” 时，试推测原发信号。,1.8 事件的独立性一、两事件独立,例1 一个口袋中有6个白球，4个黑球；从这个口袋中任取一个球，看过颜色后放回去，再从口袋中任取一个球，令A表示“第一次取得白球”，B表示“第二次取得白球”，求P（B）和P（ B|A）的概率。,定义1、设A、B是两事件，
25、若 P(B)P(B|A) (1.8.1)则称事件A与B相互独立。 又P(AB)P(A)P(B|A).式(1.8.1)等价于： P(AB)P(A)P(B) (1.8.2),问,独立与 不相容有什么关系,？,分析,独立,不相容,故当 , 时,不能同时成立,独立,不相容,问,若 独立，问 是否独立,？,分析,若 则,故 独立,从而 独立 独立,二、多个事件的独立,定理、以下四件事等价：(1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立；(3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。,定义2、若三个事件A、B、C满足：(1)P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC
26、)=P(B)P(C),则称事件A、B、C两两相互独立；若在此基础上还满足：(2) P(ABC)P(A)P(B)P(C), (1.8.3)则称事件A、B、C相互独立。,思考几个问题,相互独立,？,否!,条件概率与事件独立性通常是根据实际意义来确定的,注意：,注:两两独立未必相互独立!例:从分别标有1,2,3,4四个数字的4张卡片中随机抽取一张,以事件A表示“取到1或2号卡片”;事件B表示“取到1或3号卡片”;事件C表示“取到1或4号卡片”.则事件A,B,C两两独立但不相互独立.,三、事件独立性的应用,1、加法公式的简化：若事件A1，A2，An相互独立, 则 2、在可靠性理论上的应用,例2 三人独
27、立去破译一密码，他们能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问能将此密码译出的概率为多少？,设一支步枪击中目标的概率为 试求支枪齐射能击中目标的概率.,例,记 第 支枪击中目标,易知 相互独立,可见即使 p 很小，但只要试验不断进行下去，小概率事件几乎必然要发生,所求概率为,例3 称一个元件能正常工作的概率p为这个元件的可靠性。称由元件组成的一个系统能正常工作的概率为这个系统的可靠性。设由3个元件按照下面两种联接方式构成系统，若构成每个系统的元件的可靠性均为r(0r1)，且各元件能否正常工作是相互独立的，求每个系统的可靠性。,则,于是整个系统的可靠性为,记 整个并联系统正常工作,第 个部件正
28、常工作,记 整个串联系统正常工作,1.9贝努里概型一、贝努里(Bernoulli)概型,1.只有两个可能结果的试验称为贝努里试验，常记为E。E也叫做“ 成功失败试验”,“ 成功” 的概率常用pP(A)表示，其中A“ 成功”。2.把E重复独立地进行n次，所得的试验称为n重贝努里试验，记为En。3.把E重复独立地进行可列多次，所得的试验称为可列重贝努里试验，记为E。,二、贝努里概型中几个重要事件的概率,以上三种贝努里试验统称为贝努里概型。,例4 在相同的条件下对目标进行三次独立的射击，每次射击击中目标的概率为p(0p1),不中的概率为q=1-p，试求三次恰好命中两次的概率。,1.En中成功k次的概
29、率是2.E中首次成功发生在第k次试验的概率是3.E中第r次成功发生在第k次试验的概率是=前面k-1中成功了r-1次且最后一次也成功,第二章 离散型随机变量及其分布,随机变量的概念一维离散型随机变量的分布律二维离散型随机变量离散型随机变量函数的分布律,2.1 随机变量的概念,实例1 做试验抛一枚匀质硬币，其样本空间H,T 可规定随机变量 XX() 随机变量实际上是定义在样本空间上的一个实函数。,实例2 设一口袋中有依次标有-1,2,2,2,3,3数字的六个球，取得的球上标有的数字X是随着试验结果的不同而变化的。当试验结果确定后，X的值也就相应的确定。,A1 =取得一球上是标有数字-1A2=取得一
30、球上是标有数字2A3=取得一球上是标有数字3X=取得一球上是标有数字A1 =X=-1, A2 =X=2, A3 =X=3,实例 3 对一目标进行连续独立的射击，直到命中为止，这样所需的次数Y是随着试验结果的不同而变化的。当试验结果确定后，Y 的值也就相应的确定。,定义 设随机试验E的样本空间是，XX(), 是定义 在上的一个单值实函数。若对任意实数x，样本点的 集合| X()xXx是一随机事件，则X()称为随机 变量(Random Variable) ，简记为X. 随机变量一般用英 文大写字母X、Y、Z 等表示 ，也可用希腊字母、 等表示。随机变量的分类： 随机变量,2.2 一维离散型随机变量
31、的分布律一、分布律,1. 定义 若随机变量X取值x1, x2, , xn, 且取这些值的概率依次为p1, p2, , pn, , 则称X为离散型随机变量，而称PX=xk=pk, (k=1, 2, ) 为X的分布律或概率分布。可表为 X PX=xk=pk, (k=1, 2, )，或 X x1 x2 xn P p1 p2 pn ,2. 分布律的性质(1) pk 0, k1, 2, ;(2) 例1 设袋中有5只球，其中有2只白3只黑。现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率。解 k可取值0，1，2,例2 一个袋中有5个乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取三个。以x表示取出的三
32、个球中的最大的号码，试求x的概率分布。,二、几个常用的离散型分布,1. 退化分布(单点分布) XPXa1，其中a为常数。2. (01)分布(两点分布) XPXkpk(1p)1k, (0p1) k0，13. 几何分布 XPXk (1p)k1 p, (0p1) k1, 2, 例3 某射手的射击命中率为3/4，现对一目标连续射击，直到第一次命中为止，令x表示第一次命中为止所使用的次数，试求的x的概率分布。,4. 二项分布X B(n, p) XPXk pk(1p)nk, (0p1) k0, 1, 2, , 例4 在相同的条件下对目标进行三次独立的射击，每次射击击中目标的概率为p(0p1),不中的概率为
33、q=1-p，试求三次射击中命次数X的概率分布。,易知,特别当 时 就是(0-1)两点分布，即,的分布律刚好是牛顿二项展开式的通项,二项分布的图形,5. 负二项分布 XPXk pr(1p)kr, kr, r+1, , ( r1, 0p1 )负二项分布又叫巴斯卡(Pascal)分布，可记为NB(r, p).6. 超几何分布X,定义,设 的取值为 取值概率为,或,泊松分布的性质:,人物介绍泊松,7. 泊松(Poisson)分布P(),泊松分布的图形,三、常用分布律之间的关系,1. (01)分布和二项分布的关系(01)分布是二项分布B(n, p)中n1时的特款；2. 几何分布和负二项分布的关系几何分布
34、是负二项分布NB(r, p)中r1时的特款；3. 超几何分布和二项分布的关系定理1 设在超几何分布中，n是一个取定的正整数，而则 k0, 1, 2, , n,4. 二项分布和泊松分布的关系定理2 设随机变量XnB(n, pn), (n0, 1, 2, ), 且为常数，则 k 0, 1, 2, ,该定理也称为泊松定理。 该定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是泊松分布，即其中np. 一般的，当n10 ， p0.1时就可用泊松分布近似代替二项分布。,例5 某人射击的命中率为0.02，他独立射击400次，试求其命中次数不少于2的概率。解 设X表示400次
35、独立射击中命中的次数，则XB(400, 0.02)，故 PX21 PX0P X1 10.98400(400)(0.02)(0.98399)0.997165.另解(用泊松分布) 由于近似等于np(400)(0.02)8, 故近似地有 PX21 PX0P X1 1(18)e80.996981.这里用泊松分布近似计算的相对误差仅为0.0185%.,2.3 二维离散型随机变量一、联合分布律,若二维随机变量(X, Y)只能取至多可列个值(xi, yj), (i, j1, 2, )，则称(X, Y)为二维离散型随机变量。若二维离散型随机变量(X, Y) 取 (xi, yj)的概率为pij,则称 PXxi, Y yj, pij ，(i, j1, 2, )，为二维离散型随机变量(X, Y)的分布律，或随机变量X与Y的联合分布律.可记为 (X, Y) PXxi, Y yj, pij ，(i, j1, 2, )，联合分布律的性质 (1) pij 0 , i, j1, 2, ； (2),X Y y1 y2 yj x1 p11 p12 . P1j . x2 p21 p22 . P2j . Xi pi1 pi2 . Pij .,.,.,.,.,.,.,.,.,二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下：,设 从 四个数中等可能取值,又设从 中等可能取值.求 的联合分布律及边缘分布律.,
