1、概率论与数理统计讲课系统,制作：河海大学数理系数学系列基础课程CAI课题组二000年七月南京,概率论与数理统计,讲授: 夏乐天,河海大学数学系列基础课程CAI,本课程与其他数学基础课的关系,微积分 （高等数学）线性代数,序 言,一.确定性数学初等数学、高等数学(微积分)、线性代数等,二.随机数学-以概率论为代表 1.赌博 人口统计 出生率 性别等 2.非确定性现象: 抛硬币 掷骰子 发大水等 3.研究和揭示随机现象的统计规律性的科学 -概率论,三.理论联系实际最活跃的学科,1.应用性: 概率统计的理论一直在广泛地应用于工农业、军事、科技等领域 2.渗透性: 与基础学科、工程学科结合可产生新的学
2、科和研究方向。,例如：信息论、系统论、控制论、排队论、可靠性理论、可靠度分析、平差分析、统计物理、水文统计、 数量经济等,四.概率论的内容构成,基础部分-概率论: 古典概率 随机变量及其分布 分布函数 数字特征等应用部分-数理统计: 统计量构造 参数估计 假设检验 回归分析等深入部分-随机过程: 马尔可夫过程 平稳过程 随机分析等,本课程的内容在数学上属于概率论范畴，它由如下三个部分所组成,本课程只介绍基础部分和应用部分。,概 率 论,第一章 随机事件与概率第二章 离散型随机变量及其分布第三章 连续型随机变量及其分布第四章 随机变量的数字特征第五章 大数定律和中心极限定理,第一章 随机事件和概
3、率,随机试验样本空间、随机事件频率和概率古典概型几何概型概率的公理化结构条件概率事件的独立性贝努里概型,1.1 随机试验一、随机试验(简称“试验”)的例子,随机试验可表为E E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面; E2: 抛两枚硬币，考虑可能出现的结果； E3: 掷一颗骰子，考虑可能出现的点数i; E4: 掷两颗骰子，考虑可能出现的结果及点数之和；,二、随机试验的特征,E5: 记录电话交换台一分钟内接到的呼叫次数；E6: 对一目标进行射击，直到命中为止，考虑其结果;E7: 在一批灯泡中任取一只，测其寿命。,1.可在相同条件下重复进行; 2.试验结果不止一个,但能确定所有
4、的可能结果; 3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。,1.2 样本空间、随机事件一、样本空间,1、样本空间：所有试验结果组成的集合称为样本空间，记为=； 2、样本点: 样本空间的元素称为样本点，样本点即试验结果，记为. 例如 对应E1的样本空间为=H，T； 对应E2的样本空间为 =(H,H), (H, T), (T, H), (T, T)； 对应E5的样本空间为=0, 1, 2, ；,二、随机事件,1.定义 试验中可能出现或可能不出现的事情叫“随机事件”, 简称“事件”. 2.基本事件: 不可能再分解的事件, 即试验的结果，常记为“”. 3.两个特殊事件: 必然事件、不可能事件. 任何事
5、件均是某些样本点组成的集合. 例 对于试验E2与E5 ，以下A 、 B即为两个随机事件: A“至少出一个正面” (H,H), (H, T), (T, H)； B“至少m次少于n次”m, m+1, , n1。,三、事件之间的关系,1.包含关系:“ A发生必导致B发生”记为AB AB AB且BA.2.和事件: AB3.积事件: ABAB4.差事件、对立事件(余事件)：AB称为A与B的差事件,5.互不相容性：AB A、B互为对立事件 AB , 且AB ,四、事件与集合对应关系类比,概率论 集合论 样本空间 事件 子集 事件A发生 A 事件A不发生 A 必然事件 不可能事件 事件A发生导致事件B发生
6、AB,概率论 集合论事件A与B至少有一个发生 AB事件A与B同时发生 AB(或AB)事件A发生而B不发生 AB事件A与B互不相容 AB,五、事件的运算,1、交换律：ABBA，ABBA2、结合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC)3、分配律：(AB)C(AC)(BC)， (AB)C(AC)(BC)4、对偶(De Morgan)律：,1.3 频率与概率一、频率,1.定义 事件A在n次重复试验中出现nA次，则比值nA/n称为事件A在n次重复试验中出现的频率，记为fn(A). 即 fn(A) nA/n.,2.频率的性质(1) 非负性： fn(A) 0；(2) 规范性： fn()1；(3) 可
7、加性：若AB ，则 fn(AB) fn(A) fn(B).实践证明：当试验次数n增大时， fn(A) 逐渐 趋向一个定值。,二. 概率,历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。 实验者 n nH fn(H)De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069K. Pearson 12000 6019 0.5016K. Pearson 24000 12012 0.5005,0.50,1.定义 若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件 A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：(1)非负性：对任一事件A，有P(
8、A) 0；(2) 规范性： P()1；(3) 可列可加性：设A1，A2, , 是一列两两互不相容的事件，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+ . (1.1)则称P(A)为事件A的概率。,2.概率的性质(1) 不可能事件概率零：P()0； (1.2)(2) 有限可加性：设A1，A2, ,An , 是n个两两互不相容的事件，即AiAj ，(ij), i , j1, 2, , n ,则有 P( A1 A2 An) P(A1) P(A2)+ P(An); (1.3)(3) 单调不减性：若事件BA，则P(B)P(A) , 且 P(BA)P(
9、B)P(A)； (1.4),(6) 可分性：对任意两事件A、B，有 P(A)P(AB)P(AB ) . (1.7),(4) 互补性：P(A)1 P(A)，且P(A) 1 ; (1.5),(5) 加法公式：对任意两事件A、B，有 P(AB)P(A)P(B)P(AB) (1.6)公式(1.6)可推广到任意n个事件A1，A2，An的情形；,一般的，有如下定义定义 事件组A1，A2，An (n可为)，称为样本空间的一个划分(或完备事件组)，若满足：,1.4 古典概型一、古典概型的特征,二、古典概型的计算公式,P(A),设事件A中包含k个样本点(基本事件),例1、掷一颗骰子，求出6点的概率。例2、做试验
10、E：“将一枚硬币连抛2次” ,观测出正、反面的情形。 (1) 写出E的样本空间； (2) 设A1“恰有一次出正面” ，求P(A1)； (3) 设A2“至少出一次正面” ，求P(A2).,例3、袋中有6只乒乓球，其中4白2红，现从中取二次，每次取一只(分别考虑有放回和无放回取球的情形)。求(1) 全是白球的概率；(2) 两球色相同的概率；(3) 至少一只白球的概率。,三、古典概型的几类基本问题,1、抽球问题 设袋中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，问这n个球中恰有k个白球的概率是多少?2、取数问题 设有17七位数字，从中任取三个不同的数字组成一个三位数，求这三位数是偶数的概率。,3、分
11、配问题 把n个球随机地分配到m个盒子中去，问每盒中至多有一球的概率是多少？4、配对问题 从五双不同的鞋子中任意地取出四只，问其中至少有两只成双的概率是多少?,例4、设有n 个人，每个人都等可能地被分配到N个房间中的任意一间去住(nN)，求下列事件的概率：(1)指定的n个房间每个房间各有一人;(2)恰好有n个房间，每个房间各有一人。例5、某班级有n 个人(n365)，问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大？ (例1.11 p10),例6、(De Mere问题)一颗骰子掷4次至少得一个六点与两颗骰子掷24次至少得一个双六，这两件事，哪一个有更多的机会遇到？,P1=1(5/6)4 = 0.5177
12、; P2=1(35/36)24 = 0.4914.,1.5 几何概型一、几何概型的特征,1.基本事件数无限：， 充满区域，且可测 ；2.等可能性：随机点落在某区域g的概率与区域g的测度(长度、面积、体积等)成正比，而与其位置及形状无关。,二、几何概型的计算公式,其中Ag表示“在区域中随机地取一点落在区域g中”这一事件。,例2、(蒲丰(Buffon)投针问题)1777年法国科学家蒲丰提出了下列著名问题： 平面上画着一些平行线，它们之间的距离都等于a，向此平面上任投一长度为l(I0，(i1，n)，则对任何事件BF，有,式(1.7.5)就称为全概率公式。,例3、某厂有三个车间生产同一种产品，已知三个
13、车间的产量分别占总产量的1/4、1/4、1/2，且次品率分别为 2、1、3，试求该厂这种产品的次品率。,定理2、设A1，, An是的一个划分，且P(Ai) 0，(i1，n)，则对任何事件BF，有,式(1.7.6)就称为贝叶斯公式或逆概率公式。,例4、 在无线电通讯中，由于随机因素的影响，当发出短号“” 时, 收到“” 、“不清” 和长号“” 的概率分别是0.7、0.2和0.1，当发出长号“” 时，收到“” 、“不清” 和 “” “的概率分别是0.9、0.1和0.若在整个发报过程中信号“” 及“” 出现的概率分别是0.6和0.4，当收到信号“不清” 时，试推测原发信号。,1.8 事件的独立性一、
14、两事件独立,定义1、设A、B是两事件，若 P(B)P(B|A) (1.8.1)则称事件A与B相互独立。式(1.8.1)等价于： P(AB)P(A)P(B) (1.8.2),二、多个事件的独立,定理、以下四件事等价： (1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立； (3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。,定义2、若三个事件A、B、C满足： (1)P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C),则称事件A、B、C两两相互独立；若在此基础上还满足： (2) P(ABC)P(A)P(B)P(C), (1.8.3)则称事件A、B、C相互独
15、立。,三、事件独立性的应用,一般地，设A1，A2，An是n个事件，如果对任意k (1kn), 任意的1i1i2 ik n，具有等式 P(A i1 A i2 A ik )P(A i1)P(A i2)P(A ik) (1.8.4)称n个事件A1，A2，An相互独立。,1、加法公式的简化：若事件A1，A2，An相互独立, 则 P(A1A2 An),2、在可靠性理论上的应用,1.9贝努里概型一、贝努里(Bernoulli)概型,1.只有两个可能结果的试验称为贝努里试验，常记为E。E也叫做“成功失败”试验,“成功” 的概率常用pP(A)表示，其中A“成功”。 2.把E重复独立地进行n次，所得的试验称为n
16、重贝努里试验，记为En。 3.把E重复独立地进行可列多次，所得的试验称为可列重贝努里试验，记为E。,二、贝努里概型中几个重要事件的概率,以上三种贝努里试验统称为贝努里概型。,1.En中成功k次的概率是,3.E中第r次成功发生在第k次试验的概率是,2.E中首次成功发生在第k次试验的概率是,第二章 离散型随机变量及其分布,随机变量的概念一维离散型随机变量的分布律二维离散型随机变量离散型随机变量函数的分布律,2.1 随机变量的概念,实例 做试验抛一枚匀质硬币，其样本空间H,T 可规定随机变量 XX(),随机变量实际上是定义在样本空间上的一个实函数。,定义 设随机试验E的样本空间是，XX(), 是定义
17、 在上的一个单值实函数。若对任意实数x，样本点的 集合| X()xXx是一随机事件，则X()称为随机 变量，简记为X. 随机变量一般用英文大写字母X、Y、Z 等表示 ，也可用希腊字母、等表示。随机变量的分类： 随机变量,2.2 一维离散型随机变量的分布律一、分布律,1. 定义 若随机变量X取值x1, x2, , xn, 且取这些值的概率依次为p1, p2, , pn, , 则称X为离散型随机变量，而称PX=xk=pk, (k=1, 2, ) 为X的分布律或概率分布。可表为 X PX=xk=pk, (k=1, 2, )，或,X x1 x2 xn P p1 p2 pn ,2. 分布律的性质(1)
18、pk 0, k1, 2, ;(2),例1 设袋中有5只球，其中有2只白3只黑。现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率。解 k可取值0，1，2,二、几个常用的离散型分布,1. 退化分布(单点分布) XPXa1，其中a为常数。2. (01)分布(两点分布) XPXkpk(1p)1k, (0p1) k0，13. 几何分布 XPXk (1p)k1 p, (0p1) k1, 2, 4. 二项分布B(n, p) XPXk,pk(1p)nk, (0p1) k0, 1, 2, , n,pr(1p)kr, kr, r+1, , ( r1, 0p0, 则称 pi|j,为Y yj的条件下，X的条件分
19、布律;,同理，若对固定的i, pi. 0, 则称 pj|i,为X xi的条件下，Y的条件分布律; 条件分布律也满足分布律的性质,例1 一射手进行射击，命中目标的概率为p (0p1)，射击进行到命中目标两次为止，现用X表示首次命中目标所进行的射击次数，用Y表示总共进行的射击次数。试求X和Y的联合分布律及边缘分布律。解 由题意知（X，Y）的分布律为 PX=m, Y=np2(1p)n2， m=1, 2, , n1；n=2, 3, X服从参数为p的几何分布，其分布律为 PX=mp(1p)m1， m=1, 2, ,Y服从参数为 2、p的负二项分布，其分布律为 PY=n(n1)p2(1p)n2， n=2,
20、 3, (X和Y的边缘分布律一般可由联合分布律求得)。另外，当n=2, 3, 时 Pm|nPX=m|Y=n,当m=1, 2, 时 Pn|mPY=n|X=m,四、离散型随机变量的相互独立性,设随机变量X与Y的联合分布律为 (X, Y) PXxi, Y yj pij ，(i, j1, 2, )，若对任意的i、j，有pij pi. p. j，即 PXxi, Y yj PXxiPY yj则称随机变量X与Y相互独立。,对任意的i1, i2, ,in成立，则称随机变量X1，X2， , Xn相互独立。,上述概念不难推广到n维离散型随机变量的情形。例如，设X1，X2， , Xn分别可取值,2.4 离散型随机变
21、量函数的分布律一、一维离散型随机变量函数的分布律,定理1 设X一个随机变量，若yg(x)是一元单值实函数，则Yg(X)也是一个随机变量。 若 XPXxkpk, k1, 2, 则 Yg(X)PYg(xk)pk ， k1, 2, 其中g(xk)有相同的，其对应概率合并。 显然，Y的分布律也满足分布律的性质。,二、多维离散型随机变量函数的分布律,定理2 设X1，X2， , Xn是一个n维随机变量，若yg(x1, x2, , xn)是一个n元实值函数，则Yg(X1，X2，, Xn)也是一个随机变量。 以二维为例，若 (X, Y)P(Xxi, Yyk)pik ，i, k1, 2, 则 Zg(X, Y)P
22、Yzl,例1 设XP(1), YP(2)，且X与Y相互独立，求ZXY的分布律。解 PZk PX+Y=k,k0, 1, 2, 以上划线部分称为整值随机变量的卷积公式。,例2 设随机变量(X，Y)的分布律为,(1) 求PX=2|Y=2, PY=3|X=0; (2) 求WXY的分布律; (3) 求Vmax(X, Y)的分布律； (4) 求Umin(X, Y)的分布律。解 (1) 因为 PY=20.25, PX=00.03, 故 PX=2|Y=25/251/5; PY=3|X=01/3.,Y X 0 1 2 3 4 5 0 0.00 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 1 0.01 0.
23、02 0.04 0.05 0.06 0.08 2 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06 3 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05,(2) 因为WXY可取值0, 1, 2, ., 8,故其分布律为,W 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P 0.00 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05,(3) 因为Vmax(X, Y)可取值0, 1, 2, 3, 4, 5,故其分布律为,V 0 1 2 3 4 5 P 0.00 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28,(4) 因为Umin(X, Y)可取值0, 1,
24、 2, 3, 故其分布律为,U 0 1 2 3 P 0.28 0.30 0.25 0.17,第三章 连续型随机变量及其分布,分布函数一维连续型随机变量及其分布二维连续型随机变量及其分布连续型随机变量函数的密度函数,3.1 分布函数一、分布函数的概念,定义 设X为随机变量，对任意实数x，事件Xx的概率P Xx称为随机变量X的分布函数。记为F(x)，即 F(x)P Xx. 易知，对任意实数a, b (ab), P aXbPXbPXa F(b)F(a).,例1 设随机变量X具分布律为,X 0 1 2 P 0.1 0.6 0.3,试求出X的分布函数。解,其图形如下：,F(X)1O 1 2 X,二、分布
25、函数的性质,1、单调不减性：若x1x2, 则F(x1)F(x2); 2、非负规范性：对任意实数x，0F(x)1，且,3、右连续性：对任意实数x0，,反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质。,分布函数的概念可推广到n维随机变量的情形。事实上，对n维随机变量(X1, X2, , Xn)， F(x1, x2, , xn)P(X1 x1, X2 x2, , Xn xn)称为的n维随机变量(X1, X2, , Xn)的分布函数，或随机变量X1, X2, , Xn的联合分布函数。 一般的，对离散型随机变量 XPX= xkpk, k1, 2, 其分布
26、函数为,例2 设陀螺顶面圆周为单位圆，现在其上从01均匀刻度，若让X表示陀螺静止时其顶面圆周与地面的接触点，则X是随机变量，求X的分布函数。解,易知，有,其图形为：,3.2 一维连续性随机变量及其分布一、密度函数,1. 定义 对于随机变量X，若存在非负可积函数f(x)，(x+)，使对任意实数x，都有,则称X为连续型随机变量， f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数. 常记为 X f(x) , (x+)密度函数的几何意义为,2. 密度函数的性质 (1) f(x)0，(x)； (2),性质(1)、(2)是密度函数的充要性质； (3) 若x是f(x)的连续点，则f(x) ,3. 对任意实
27、数b，若X f(x)，(x)，则PX=b0事实上，,从而，,二、几个常用的连续型分布,1. 均匀分布 若Xf(x),则称X在(a, b)内服从均匀分布。 对任意实数c, d (acdb)，都有,这说明X落在(a, b)中任一区间的概率只与该区间的长度成正比，而与该区间的位置无关，这就是均匀分布的概率意义。,2. 指数分布 若 X,求(1) k的值; (2) P|X|0的指数分布。 易知，,例 已知 X,解 (1) 由,得, k1/2;,(2),3. 伽马分布 若 X,则称X服从参数为0， 0的伽马分布，记为 (, )。 易知，, ()称为伽马函数，它具有以下几个性质： (1) (+1)= (); (2) (n+1)=n! ;,4. 正态分布 若随机变量,其中 0 ，为实数，则称X服从参数为2，的正态分布,记为N(, 2)，可表为XN(, 2). 易知 f(x)0; 令,
