1、1关于无穷级数求和问题的探讨方先锋（莆田学院数学系 指导教师：林美琳）摘要：无穷级数是数学分析中的一个重要内容,无穷级数的和对于研究无穷级数的特性、函数敛散性、近似计算等都有重要的作用，本文介绍了无穷级数求和的一些方法，如裂项相消法、逐项微分或积分法、转化为函数项级数求解法、利用子列的极限等等，以及这些方法在具体例子中的应用，其目的是为了让读者更加熟练地掌握无穷级数求和方法及技巧，从而进一步促进其对该知识的学习和理解无穷级数，为以后更深入的学习数学做好准备。关键字：级数求和;逐项积分;函数项级数;拉普拉斯变换Abstract: Infinite series is an important p
2、art of mathematical analysis, infinite series and for research the characteristics, function infinite series converges scattered sex, approximate computation has important effect, this paper introduces some methods of infinite series summation, such as Cancellation Method of Splitting, item by item,
3、 a photograph of differential and integral method, is transformed into a function of series method, using subsequence limit, etc, and these methods in specific examples of application, Its purpose is to let the reader more mastered the infinite series summation methods and skills, thus further promo
4、te its to the knowledge learning and understanding infinite series, for further study mathematics ready.Keywords: Series summation; Item by item, integral; Function of series; Laplace transform2引言无穷级数不仅是研究分析学的重要工具，同时在自然科学和工程技术中有许多问题也可以由无穷级数来解决。这是因为，一方面有很多函数可以用无穷级数来表示；另一方面，又能借助于无穷级数来研究函数逼近和近似计算等问题。所以
5、无穷级数理论在理论或实际应用中，都是研究函数的一种重要数学工具。要掌握这一工具无穷收敛级数求和的问题，便成为一个基本又很重要的一个课题了。我们在研究级数的敛散性时, 当级数收敛的情况下, 如何去求出其和, 有时是比较麻烦的事。对于无穷级数求和的这一问题，李素峰 、张春平 、郑春雨 、蔡炯辉 等人对此有1234一定的研究，并撰写了与此相关的一些文章，对学生学习起到了一定的指导作用 但他们的文章篇幅甚少，内容简单，没有系统全面地介绍无穷级数求和的方法，本文作者通过长时间阅读大量的文献学习研究，研究级数求和方法以飨读者。1 利用级数和的定义求和法定义 ：如果级数 的部分和数列 有极限 ，即 ，则称无
6、穷级数 收51nunslimnxs1nu敛，这时极限 叫做这级数的和，并写成 ；如果 没有极限，则称s12.u1n无穷级数 发散。1nu例 1 求和 .213.,nxx分析：我们可以根据已知级数的特点：后一项中的 的次数都比前一项的次数多一，这样我们x就可以乘以一个 ，然后作差，最后再取极限。解：记部分和 211.nnS则 23.nnxx两式相减得： 21.nnxx1n21nnxS取极限后易得： .221limli1nnxSx1例 2 求级数 的和。13n分析：由已知级数的通项可知：它的后一项的分母是前一项分母的 倍，我们把通项的分母先3乘以 ，然后作差，最后取极限。解： 21.nnS 132
7、31.3nnS 2由 得：211.3nnn即1233nnnS于是 3limli22nn394nS12 裂项相消法求和法主要适用于无穷级数的通项公式为分式且其分母是因式之积的形式的级数。它的关键是将级数的一般项分解成部分分式的形式。诸如： ， 等等，123nn21n都可以用裂项相消法求和。例 3 求无穷级数 的和.12n分析：观察到此无穷级数的通项公式为分式且其分母是因式之积的形式的级数，注意到 ，然后再求和。122n解 ：因为 1nu n11.23242nS n 1n所以 1limli224nS即 14n4例 4 求无穷级数 .11nn分析：题目所给出的级数的通项是分母为根式之积的分式，我们可
8、以考虑先将其分母有理化再进行约分化简成可抵消的两项之差。解：先对通项分母中的和式进行有理化，得 2211nnn111nnn所以 1 1nk kS从而 nn3 利用逐项求导与逐项求积分求和法定理1 如果级数 的各项 在区间 上连续，且 在 上一致收61()nux()nx,ab1()nux,ab敛于 ，则级数 在 上可以逐项积分，即 ()sxn,ab12()()().().xxxxnsdudud其中 并且上式右端的级数在 上也一致连续。0,ab,定理2 如果级数 在区间 上收敛于和 ，它的各项 都具有连续导数71()nux,ab()sx()nx，并且级数 在 上一致收敛，则级数 在 上也一致收敛，
9、且()nuxn,1nu,ab可逐项求导，即 12()().().nsxux方法：利用逐项求导或逐项积分，将级数化为已知的展式求和。例 5 求级数 的和.12342496.分析：观察到如果先对原级数从 到 积分，然后再变形就可转化为泰勒展开式了，最后求和。0解：记 ，其中 。1234211.nniGxxxax 2n因为12limlinxxa所以 ，当 时， 发散。R21in5当 时， 发散1x21niG即 的收敛域为 ，从而在其收敛域内逐项积分有G, 1x23450 96.xdx 451123.xx32.x23ln1.x3()xA2l1x所以 . 323421lnxxG例 6 计算无穷级数 之和
10、。2345.11n1x分析：该级数求和的困难之处在于有分母, 如果没有分母, 这就是一个等比级数, 其和马上可以写出。但此级数容易证明其收敛半径为 。因此, 内可以逐项微分任意多次。将级数逐1x项微分两次之后便消去了全部分母, 成为了 。求出和再积分（从 积到 ）两次,0n0x即可得解。解：由 则11limli2nxxna1R对于级数 ，两边从 积到 ，得0nn0x10ln1nx两边再从 积到 ，得x2001lnln1nxxtdt60ln1xtxd上式左边正是原级数。ln11x所以级数和 lSx例 7 设 ，求 .40sinco,0,2.nId 0nI分析：首先我们将积分算出来，然后又注意到
11、是 中1210nnSxx的值，由 我们想到先求导后积分及可以求出 。2x10nnSxx解：积分： .1140 2siisi40nnnIdx 因此102.nnI设 10,.nnSxx求导后再求和，得0 .nx积分，得01lxSdt令 ，则21,x.10222lnnS故 40sicolnIxd4 转化数列极限的计算问题求和法数列 的敛散性可由其子列来研究,并且有一个重要的结论：nS引理 1:数列 收敛的充分必要条件是 的任一子列都收敛,且有相同的极限。8n nS特别地,由引理1,可得引理2 :数列 收敛于 的充分必要条件是 的两个子列 和 都收敛于同S2nS21n一极限，此时， 称两个子列 和 为
12、互补子序列。2n21n可将引理2推广到一般情形7定理1 : 数列 收敛于 的充分必要条件是 的 ( 是某个正整数)个子列 ,8nSnSppnS， 都收敛于同一极限 .pnS(1)p证明:当 时,结论显然成立;下面证明当p = 3 时结论成立,其他情形类似可证由引,2理1可知必要性显然,只要证明“充分性”由条件,由 收敛于 ，则对 ， ，当 时，有3nS01N1n3nS由 收敛于 ，则对上述的 ， ，当 时，有1 221由 收敛于 ，则对上述的 ， ，当 时，有32n 33N32n取 ，则 时，有 且 且123max,NnnS1S32nS当 时， 或 或kK1K所以 故证数列 收敛于 。SS定理
13、2 ：若级数 的通项 （当 时） ，则 收敛于 的充分必要条件是81na0n1naS部分和数列 的子数列 收敛于 。此时 。nS2S(1,.)S2limnn证明：必要性：由引理 可知。充分性：因为 收敛于 ，由收敛的“ ” 定义可得：n N对 ， ，当 时，有 ，01N12n又因为 ，由收敛的“ ” 定义可得：na则对上述的 ， ，当 时，有 ，则22nNna21n当 ，考察12mx,12121212nnnnSSaSSa因此，由收敛的“ ”的定义得： 收敛于 ，再根据引理 ，可知 收敛于N21n 1na。定理3 ：若级数 的通项 （当 时） ，则 收敛于 的充分必要条件是81na0n1naS部
14、分和数列 的的一个子列 （ 是某个正整数， 收敛于 。SpS,2.)证明：当 时结论成立，下面证明 时结论成立，其他的情形类似可证。,2p3必要性：由引理 可知。充分性： 收敛于 ，由收敛的 “ ” 定义可得：则对 ， ，当3n N01N时，有 ，又因为 ，由收敛的“ ” 定义可得：则对上述的1N32nS0na8， ，当 时，有 ，则 ，02N2n2na312n32na考察 3131SSS2313231322nnnnaS因此，由收敛的“ ” 定义可得 ， 收敛于 ，再根据定理 可得 收N31nS32nS11na敛于 。S例 8 求交错级数 的和.1()n分析：通过写出 观察后，我们可先考虑 的
15、极限，11.23456n2nS然后化简就可以利用定理3知其和。解：原级数 ，观察后，考察部分和数列的子列 的极限。首先.234562n给出一个重要的公式： 11.lnC(1)其中 成为 常数，且 。对于原级数，并由 式0.7.CEuler0()n当 时可知 2nS21(.)3241.lln()n n当 时即 ，又因为limximi0xxa所以，有定理3知，原级数收敛，其和为 .ln2S例 9 计算级数 的和。1123456789分析：我们发现原级数每三项就会出项一个负的项，我们这样就可以考虑级数的前 项的和，3n从而得出结果。解：级数的前 项的和为n 33 111212.2456793nnS
16、un91111.234562323nn. .n3llnCnn所以 收敛于 ，又因为 ，因此根据定理 可得原级数收敛，其和为 。 3Sllim0nxu2ln35 利用解微分方程求和法即研究它的导数或其与它本身有何特点及相关联系，看其是否满足某微分方程及定解条件 找出欲求和级数所满足的微分方程及定解条件，再解该方程 。9例 10 求无穷级数 的和.0!nx分析：我们发现此级数它的本身其实和它的导数的和相等，这样我们就可列出微分方程，求其解，也就是无穷级数的和。解：易知该幂级数的收敛 ，故在 内级数处处收敛，且可逐项求导，令R,0!nxS,又10()!nxSS当 时， ，解一阶微分方程x01xS得
17、，即 = .xSe0!nxe,例 11 求无穷级数 的和.21nn分析：先对原级数求导，而后就会注意到 ，解这个一阶线性微分方程224xSxe就得出其和。解：该级数收敛域为 ，设其和为 .,则211 !nnSxx211nn2004!nnxx10224xxSe即 这是一阶线性微分方程，由通解公式：2xSeC由 ，得01SC， .2xe,x6 利用傅里叶级数求和法在将某些函数展开成傅里叶级数 时，往往得到一些比较规范的三角级数展开式。10设在区间 上连续的函数 的傅里叶级数 ，其,fx01cosin2kkaxb中， ， ，它在01afxd1coskafkdsin,2.kbfxd上收敛，它的和函数,2fxSxf例 12 求 的和.221357分析：注意到该级数的和函数 在 展开的傅里叶级数的关系。x,解：先求 的傅里叶级数fx01axd， ，11coscoscoskakdxkkx 2214kax，20kin1,2.kb所以将函数 在 上展成傅里叶级数得：x,；224cos35.,xx令 ，则x21.3578例 13 求无穷级数 的和。12kk分析：通过先求 的傅里叶级数，然后再转向原级数求和。fx解：先求 的傅里叶级数 ，2 22013axd
