1、刚体的转动惯量的讨论方法 第 1 页 共 12 页刚体的转动惯量的讨论方法邵亮（安庆师范学院物理与电气工程学院 安徽 安庆 246011）指导教师：陈力摘要：刚体的转动惯量即刚体绕轴转动惯性的度量，应用于刚体各种运动的动力学计算中。一般研究均匀刚体和不规则刚体的转动惯量。本文将从刚体的转动惯量定义、常见均匀刚体和复杂不规则刚体的计算方法以及对刚体的转动惯量错误计算的分析。从而使人们在学习刚体的转动惯量时能开阔思维，学会寻求创新途径去巧解各类刚体的转动惯量。关键词：刚体的转动惯量，均匀刚体，不规则刚体，错误计算的分析引言转动惯量是刚体定轴转动中的一个重要概念,在表征刚体转动的定理、定中都离不开此
2、概念。体是指大小和形状保持不变的物体，而转动惯量则是刚体转动时惯量大小的一个量度，是表征刚体特性的一个物理量。刚体转动惯量与刚体的大小、形状、质量、质量分布及转轴位置有关系。测量刚体的转动惯量对许多研究、设计工作都具有重要意义。一刚体的转动惯量定义刚体的转动惯量即刚体绕轴转动惯性的度量。其数值为 J= mi*ri2，式中 mi 表示刚体的某个质点的质量，ri 表示该质点到转轴的垂直距离。求和号（或积分号）遍及整个刚体。转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。规则形状的均质刚体，其转动惯量可直接计得。不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般用
3、实验法测定。转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。描述刚体绕互相平行诸转轴的转动惯量之间的关系，有如下的平行轴定理：刚体对一轴的转动惯量，等于该刚体对同此轴平行并通过质心之轴的转动惯量加上该刚体的质量同两轴间距离平方的乘积。由于和式的第二项恒大于零，因此刚体绕过质量中心之轴的转动惯量是绕该束平行轴诸转动惯量中的最小者。二转动惯量概念的导出及其物理意义我们首先看看刚体绕一固定轴转动的特点,如果把刚体看成是质点的集合体,当刚体以角速度 w 匀速转动时,则刚体上的每一个质点在做绕定轴为中心的、不同半径的园周运动,各质点具有相同的角速度 w。因此我们可以用诸质点的园周运动来代替刚体的转动,这个特点
4、为我们研究刚体的转动提供了方便条件。一个质点(或物体)的平动动能为 Ek=mv ,如果有一刚体以角速度 w 绕定轴转动时,欲求刚体的转动动能,该如何计算?根据刚体转动的特点,可先在刚体上取任意一个质点,如图(一) 所示,其质量为m, 该刚体的转动惯量的讨论方法 第 2 页 共 12 页质点到转轴的距离为 r1 ,转动时相应的线速度 v1=wr1，它的转动动能为：令 ,该式叫转动惯量定义式,它表明转动惯量 I 等于刚体中每个质点的质量与这一质点到转轴的距离的平方的乘积之总和,而与质点的速度无关,把 I 代入式(l) 中就得到刚体的转动动能的数学表达式为:转动惯量的单位是:千克米 2,符号为 kg
5、m2,量纲为 ML2。转动惯量的物理意义,可从转动动能与平动动能的数学表达式相比较中看出,转动惯量 I 相当于质量 m,诸如此类的对应关系还有,如:动量 mv 对应于动量矩 Iw,动量守恒定律mv=恒量,对应于动量矩守恒定律万Iw=恒量,从对应关系的比较看,在数学表达式中的位置,表明 I 与 m 具有相同的物理意义,所以我们说转动惯量是表征物体转动中惯性大小的量度。两者的物理意义虽有相同之处,但也有不同的地方,质量 m 是不变的恒量,但转动惯量 I 除与质量有关外,还要由转轴的位置,物体形状及质量分布情况而确定。三常用均匀刚体（一）常用均匀刚体的转动惯量的求法讨论1.利用如图 1 所示空心圆柱
6、体对 z 轴的转动惯量的表达式进行计算已知空心圆柱体(如图 1）的转动惯量为 I = m( R12+R22）/2，则有：1) 当 R1= R2时, 得到薄壁圆筒( 见图 2) 的转动惯量 I = mR 2.2) 当 R1= 0时, 得到实心圆柱体( 见图 3) 的转动惯量 I= mR 2/2.刚体的转动惯量的讨论方法 第 3 页 共 12 页3) 因为上述空心圆柱体、薄壁圆筒和实心圆柱体对 z 轴的转动惯量和厚度 L 无关, 所以对应有:环形圆盘(见图4)的转动惯量 I= m( R 12+R22）/2 ，圆环( 见图 5) 的转动惯量 I= mR 2.圆盘( 见图 6) 的转动惯量 I= mR
7、 2/2.利用上述实心圆柱体的 I =mR2/2.又可得到实心球(见图7)的转动惯量.将实心球在与转动轴(z 轴)垂直的方向上切成薄片, 薄片半径为 r,厚度为 dl,质量为 dm. 根据几何关系, 即：r2= R2- ( R- 1)2= 2Rl- l2，利用上面实心球的 I=2mR2/5,还可得到空心球(见图 8)的转动惯量。设空心球内径为R1,外径为 R2，同密度的实心球, 若以 R1为半径, 则质量为 m1;若以 R2为半径，则质量为m2。由刚体的转动惯量的讨论方法 第 4 页 共 12 页当式(3) 中 R 1= R2时, 得到球壳(见图 9) 的转动惯量 I=2mR2/3R1= 0
8、时, 可以反过来得到实心球的 I = 2mR 2/5.2.利用如图 10 空心圆柱体对 z 轴的转动惯量的表达式进行计算已知如图 10 所示的空心圆柱体对 z 轴的转动惯量为则有：1) 当 R 1= R2时, 得到薄壁圆筒( 见图 11)的转动惯量I = ( mR2/2) + ( ml2/12) (5)2) 当 R 1= 0 时, 得到实心圆柱体(见图 12) 的转动惯量I = ( mR2/4) + ( ml2/12) (6)刚体的转动惯量的讨论方法 第 5 页 共 12 页3) 当 l= 0时, 由式(4)、(5)、(6)可以对应地得到: 环形圆盘( 见图 13) 的转动惯量 I = m (
9、 R 12+R22)/4. 圆环( 见图 14)的转动惯量 I = mR 2/2. 圆盘( 见图 15)的转动惯量 I = mR 2/4.4) 当 R= 0 时, 由式(6) 可以得到棒 A(见图 16) 的转动惯量 I = ml2/12.5) 利用棒 A 的转动惯量 I = ml 2/12.可以得到棒 B( 见图 17) 的转动惯量.对于棒 B, 设质量为 m, 长度为 l, 转动惯量为 I ,则将两根棒 B 直线连接后的棒 A 有I1= 2I= ( 2m)(2l)2/12故 I= ml/3除此以外, 还可以由实心圆柱体的转动惯量表达式推得空心圆柱体和薄壁圆筒的转刚体的转动惯量的讨论方法 第
10、 6 页 共 12 页动惯量, 或者由薄壁圆筒的转动惯量表达式积得实心圆柱体和空心圆柱体的转动惯量; 亦可以由空心圆柱体和薄壁圆筒的转动惯量表达式分别积得空心球和球壳的转动惯量; 等等. 在此不一一列举.由此可见, 因形状上的联系, 这些常用规则形状均匀刚体的转动惯量之间也存在联系, 它们可以相互推导. 在使用中, 只需要记住很少的几个公式, 就可由此推出其它刚体的转动惯量.（2）巧算一类均质刚体的转动惯量1.证明及通式的推导设物体的质量为 m, 通过物体质心 C 的轴的方向用 j 表示. 该物体对 j 轴的转动惯量表示为I= kml （1）其中 k 是常数, 由物体的形状和 j 的方向决定,
11、 l 是物体的特征尺寸.现把物体分成 n 个小块, 其形状和取向都和原物体一样. 每个小块对质心的转动惯量都可以用式(1) 表示, 且常数 k 相同, 但 m、 l 的值却不同. 则物体的转动惯量可以表示为其中 Ii 是第 i 个小块对通过质心 C 的轴的转动惯量.由平行轴定理知其中 mi 是第 i 个小块的质量, ri 是从 C 点到第 i 个小块的质心的位置矢量, ai 是第 i 个小块对通过自身质心并与 j 平行的轴的转动惯量.如果每个小块的尺寸是原物体的一半, 那么可以表示为把式( 1) 代入式( 4) 得式( 2) 变为又因为有 n 个相等的小块, 故 m i= m/ n, 化简得其
12、中 n= 2 d, d 是物体的维数.2.举例刚体的转动惯量的讨论方法 第 7 页 共 12 页例1: 如图 1 所示, 质量为 m 的均质薄矩形物体 , 边长为 a、b, C 为矩形的质心, 转轴通过矩形质心, 且与矩形 b 边平行. 求物体对转轴的转动惯量.因为矩形是二维的, 所以 n= 2= 4, 即可把原矩形分 4 个尺寸是原物体尺寸的一半的相似矩形小块, 所以例2: 如图 2 所示, 质量为 m 的均质长方体, 长、宽、高分别为 a、b、h, 取长方体质心为坐标原点, 坐标轴 x 、y、z 分别平行三条棱边. 求其对三个坐标轴的转动惯量.先求长方体对 x 轴的转动惯量, 因为长方体是
13、三维的, 所以 n= 2= 8, 即可把长方体分为 8 个尺寸是原物体尺寸的一半的相似长方体小块, 每个小长方体小块的, 则长方体对 x 轴的转动惯量为同理, 长方体对 y、z 轴的转动惯量分别为如果 a= b= h= l, 则长方体变为立方体 , 此时立方体对 x 、y、z 轴的转动惯量都是 I=ml6。例3: 如图 3 所示, 质量为 m 的均质薄三角形物体, 边长分别为 a、b、c, 底边上的高 AH 长为 ha, 三边的中线 AD、BE、GF 相交于一点 C, C 就是三角形的质心, 转轴 MN 通过质心且与 a 边平行. 求物体对转轴 MN 的转动惯量.刚体的转动惯量的讨论方法 第
14、8 页 共 12 页因为薄三角形是二维的, 所以可以把原三角形分为4 个尺寸是原物体尺寸的一半的相似三角形小块, 但位于中间的三角形小块的质心与原物体的质心重合, 即 ri= 0, 所以有四复杂不规则刚体测试原理和方法先使系统处于匀速转动状态, 然后突然切断电源, 并使电机电枢短路, 这时系统就会由匀速转动状态, 逐步过渡到静止状态, 过渡时间与转动惯量有关, 为求得其关系, 可列出运动方程式中 w系统的角速度方程的初始条件为: t= 0时,w （r） =M/R式中 M电机转矩R系统的阻尼系数方程(1) 的解为 : , 系统的角速度将由初始速度 w0= M/ R 下降到初始速度的 0. 368
15、 倍, 即 t= I / R 时, w= 0. 368w 0, 当然也可取:阻尼小时取式( 3) , 阻尼大时取式( 2)。由此测得 w 由 w0减速到 0. 368w0所需的时间, 以及系统的阻尼系数 R, 既可求得系统转动惯量 。同样, 为避免求 R, 可附加一惯量 , 并测得对应的时间常数 , 则系统转动惯量可推导得出:刚体的转动惯量的讨论方法 第 9 页 共 12 页我们通过加规则体可以准确的算出 ,那么如何准确的测出时间 是问题的关键。目前多数情况下是采用人工秒表计时, 然后平均的方法得到 , 误差比较大, 本文利用 PS-2129的 3倍 16 位定时 /计数器, 计数过程完全不需
16、人的介入, 因而也就避免了计时过程中人为因素产生的误差。五对刚体的转动惯量错误计算的分析转动惯量是物理学中的重要概念，它是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量1，2。由定义式 J= （miri）可看出，转动惯量等于刚体上各质点的质量与各质点到转轴的距离平方的乘积之和。如果刚体的质点是连续分布的，则其转动惯量可用积分进行计算，即 J=r2dm 。公式看上去很简单，但是在运用积分求解转动惯量时，往往由于积分方法的错误而导致错误的结果，现以匀质等腰三角形薄板为例，具体分析一下出现计算错误的原因。1.两种不同的积分方法例：一匀质等腰三角形薄板 ABC，高为 h，底边长为 a，如图 1 所示，求其对底边（
17、即 x 轴）的转动惯量，设薄板质量为 m，面密度为 。解法一：在坐标为 y 的地方作一宽度为 dy 的平行于 x 轴的细横条，则其对 x 轴的转动惯量为：dJ=y2dm解法二：如图 2 所示，在坐标为 x 的地方作一宽度 dx 的平行于 y 轴的细竖条，则其对 x 轴的转动惯量为 dJ=1/3ydm刚体的转动惯量的讨论方法 第 10 页 共 12 页我们知道一定的刚体对于确定的转轴，其转动惯量为常数，以上是从转动惯量的定义式出发，运用两种不同的积分方法得出两个不同的结果，显然有一个是错误的。2.对错误的积分方法的分析从图 2 中可看出，ABC 是关于 y 轴对称的，若我们求出 AOC 对于 x 轴的转动惯量，根据叠加原理，则对于 x 轴的转动惯量即为其两倍。因为可见第二种解法得出的 Jxx=3/4mh是错误的。而解法二的思路是正确的，被积函数式也是对的，那么究竟错在什么地方呢？由高数知识可知，积分值不但与被积函数式有关，而且也与积分区间有关，从图上看，x 的积分区间从 -a/2到 a/2是没有错误的，这时我们要同时考虑他的被积函数式、积分区间及其物理意义。当 F（x）为偶函数时而 不是偶函数，所以但 是根据其物理意义及叠加原理得出的匀质等腰三角形薄板对 x轴的转动惯量的积分表达式，它是正确的，所以解法二的结果必定有误。
