1、求极值的若干方法姓名：张臣学号：200940510551指导教师：刘俊同摘 要： 在工农业生产，经济管理及经济核算投资中，经常要解决在现有条件下怎样使投入最小、产量最多、效益最高等问题。在生活中也经常遇到求利润最大化、用料最省、效率最高等诸如此类的问题。因此解决此类问题具有现实意义。这些问题通常都可以转化为数学中的函数问题来探讨，进一步转化为求函数最值问题。而函数极值的概念来自数学中的最值问题，诸如成本最小、距离最短、时间最短等问题，都可以转化为函数极值问题。从而函数极值问题的探讨具有了重要意义。本文在给出一元函数极值的定义的同时，探究了一元函数极值及最值的求解方法。并在此基础上给出了多元函数
2、极值存在的充分及必要条件。将一元函数判别方法推广到多元函数极值的判别，从而提出了求解多元函数极值的几个方法。探讨了二元函数级多元函数极值和条件极值的一般判别方法，研究了适用于所有情况的拉格朗日乘数法，并且解决了条件极值的判定问题。关键词：函数极值；多元函数；正负定判别法；条件极值；For some method of extremumPick to: In the industrial and agricultural production, economic management and economic accounting investment, often to solve in th
3、e existing conditions is how to make the smallest and most, in the highest production efficiency. Also in real life often encounters the profit maximization, materials, the highest efficiency and the most provinces, and the like. So have the practical significance to solve the problems. These proble
4、ms are usually can be transformed into the function in the mathematics problems to discuss, further into the most value problem for function. And the concept of the function extreme value from the most value problems in mathematics, such as cost, time and distance minimum shortest shortest and can b
5、e transformed into the function extreme value problem. The paper discusses the problems and the function extreme value has the important meaning. This paper presents a yuan in the definition of the function extreme value at the same time, to explore the function extreme value and the most value of R
6、MB of solution. And based on this, gives the function extreme value of the existence of multiple fully and necessary conditions. Will a yuan function approach is extended to judge the extreme value of the discriminant function of many, thus puts forward the solving multiple the function extreme valu
7、e several methods. Discusses the binary function multiple the function extreme value and conditions level the extreme value of the general discriminant method, apply to all of the Lagrange multiplier method, and solves the judgement of the conditional extreme. Key words: The function extreme value;
8、Multiple functions; Positive and negative for judging method; Extreme conditions; 引言函数极值是推动微积分发展的重要动力之一，在科学技术和社会生活的各个领域中，充满了函数极值问题。极值问题是微积分产生和发展的重要动力之一。极值问题在物理学及经济管理中有着不可忽略的作用，并且函数极值问题是一个非常基础的数学问题。它是经典微积分学最成功的应用，即在实际问题中占有重要地位，也是一个重要的函数性态特征。本文研究了一元、二元、多元（n3）函数的极值和等约束条件下多元函数极值，得出了判定多元函数极值和等约束条件下多元函数极值
9、的充分和必要条件，并且归纳出了求函数极值的方法。一、简述极值问题（一）极值定义极值定义来自于数学应用中的最值问题。在定义域中的一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定存在最大值和最小值，只是要确定哪些点是最大值点和最小值点。若不是边界点就一定是内点，因而是极值点。因而给出极值的定义如下：定义 1（一元函数极值）：若函数 f在点 0x的某邻域 ) U(x0内对任意)U(x 0有 f(x)0 或 f(x)(0，则称函数 在点 0取得极大（极小）值，称点 0为极大（极小）值点。极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点。定义 2（二元函数极值）若函数 f在点 ),(0yxP的某邻域 )(
10、0PU内有定义。若对于任何点 )(,(0PUyx，成立不等式)(0ff 或 )(0ff，则称函数 f在点取 0得极大（极小）值，称点 P为极大（极小）值点。极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点。注意：这里所讨论的极值点只限于定义域的内点。定义 3(多元函数极值)：设多元函数 ),.()21nxffu在点 0P的某邻域(0PU内有定义，若对于任何点 )(0PU，成立不等式0ff 或 )(0ff，则称函数 )(Pfu在点取 0得极大（极小）值，称点 0P为极大（极小）值点。（二）一元函数极值与多元函数极值的关系以一元函数与二元函数极值之间的关系为例，一元极值与二元极值的关系：若
11、二元函数 ),(yxfz在点 ),(0yxP处取得极值，那么一元函数 ),(0yxfz及 ),(0yxfz均在点 0P处取得极值。反之，若一元函数 ),(0fz及 均在点),(0yx处取得极值，则二元函数 ),(yxfz在点 ,yxP处不一定取得极值。同理可得到一元函数极值与多元函数极值之间的关系：若多元函数在某点处取得极值，则一元函数也在该点处取得极值；反之则不成立。二、一元函数极值的求解求法一 利用一阶导数，根据函数极值的第一充分条件列表求函数的极值点定理 2（极值的第一充分条件）设函数 )(xfy在 0的一个领域 );(0xU内可微（在 0x处可以不可微，但必须连续） 。（1）若导数 x
12、f在 ),(0x和 ),(0x时由正值变为负值，则 0x为函数的极大值点；（2）若导数 f）在 ),(0和 ),(0时由负值变为正值，则0x为函数的极小值点；（3）若导数 xf不变号，则 0x不是函数的极值点.运用上述两个定理求函数极值点的一般步骤是：（1）确定函数定义域，并在定义域内求出导数；（2）一一找出所给函数定义域内的全部驻点及导数不存在的点；（3）考察上述点两侧导数的符号，确定极大（小）值点；（4）根据所有极值点，求出函数 )(xf的全部极值。例 1 求函数xf231)(的极值。解 （1）函数 f的定义域为（-，+） ；(2）由于 )2(123)(2 xx，令 0)(xf，得函数的驻
13、点为2,1x；（3）列表考察 xf的符号如下：由上表可以看出，当 x=1 时，函数取得极大值，f(1)=6;当 x=2 时，函数取得极小值，为 f(2)=5。x（-，1）1 （1，2）2 （2，+）f+ 0 0 +)(x 极大值6 极小值5注意：f(x)不存在的点，也可能是极值，此时可用该点左右两侧一阶导数是否变号判别之。求法二 利用二阶导数，根据函数极值的第二充分条件列表求函数的极值点定理 3（极值的第二充分条件）设 f在 0x的某邻域 );(0xU内一阶可导，在0x处二阶可导，且 0)(xf， )(。（i）当 )(0f时，则 为函数的极小值点，函数 f在 0x点取得极大值；（ii）当 x时
14、，则 0x为函数的极大值点，函数 在 点取得极小值。运用该定理求函数极值点的一般步骤是：（1）确定函数定义域，并找出所给函数的全部驻点；（2）考察函数的二阶导数在驻点处的符号，确定极值点.例 2：求函数 xf432)(的极值点与极值。解 当 0x时， 2324)(xf .令 0xf，求得稳定点 x=6.又因,06)842()63xf依定理 3，x=6 为 f 的极小值点，极小值 f(6)=108.注意：在判断极值的计算中，如果函数在某点处的一阶导数或二阶导数不存在，那么只能用第一充分条件进行讨论；如果函数在某点处的一阶导数为零，并且函数的二阶导数计算时比较简单，此时优先考虑第二充分条件。由上述
15、定理 2 和定理 3 可知，这两个充分条件在处理极值问题时各有独到之处，定理 2 充分利用了函数单调性的特点，从函数图形来研究函数的极值，其优点是易被读者接受，但是求解过程过于复杂；定理 3 充分运用二阶导数，计算起来比较简捷，容易运算，大多时候我们选择用定理 3 来求解函数的极值点，但定理 3 不容易被读者理解和记忆。因此在给学生讲授这两个个充分条件时，要特别注意将这两个定理本身的内容解释清楚。同时，从理论上讲，假如函数 y=f（x） “光滑” ，那么它的极值点可以根据定理2 和定理 3 确定，于是求 y=f（x）的极值问题就转化为求该函数一阶导数的零点问题。显然，这种方法只能用于处理完全“
16、光滑”的函数。现在数学教学注重理论与实践相结合，尤其应用特别重要。因此，在教学过程中可以将新的解决方法例如计算机软件引入课堂，引导学生运用现代信息技术手段解决问题。求法三 利用 MATLAB 中的 fminbnd 程序，求解一元函数极值问题由于 y=f（x）的极小值问题等价于 y=-f（x）的极大值问题，因此 MATLAB 的Toolbox 函数中只有处理极小值的指令。在此以极小值为例进行讨论。Fminbnd 指令具体如下：X=fminbnd（fun，x1，x2）*求函数在区间（x1，x2）中极小值的指令最简格式；x，fval，exitflag，output=fminbnd（fun，x1，x2
17、，options，P1，P2，）*求函数在区间（x1，x2）中极小值的指令最简格式；说明Fun 表示被解函数. x1，x2 分别表示被研究区间的左、右边界.X，fval 分别表示所求的极小值点坐标和函数值.调用 Fminbnd 指令，求解函数极值的一般步骤：（1）将别解函数构造成一个内联函数对象 y=inline（fun，x）;（2）x1=区间左边界；x2=区间右边界;（3）直接调用指令x，fval，exitflag，output=fminbnd（y，x1，x2）.例 3 求 f（x）=（x-1）x 的极值。程序如下：y=inline（x-1）*x（2/3），x）;x1=-inf;x2=+in
18、f;x，fval，exitflag，output=fminbnd（y，x1，x2）结果输出x=0.4000fval=-0.3257exitflag=1output=iterations：30funcCount：33algorithm：golden section search，parabolic interpolation这种方法适合于数学实验，运用计算机只中的 MATLAB 软件中的 fminbnd 程序进行求解，需要学生上机操作，才能达到深刻理解。 三、多元函数极值的求解（一）二元函数极值的充分必要条件定理 4（极值必要条件）若函数 f在点 ),(0yxP存在偏导数，且在 0P取得极值，则
19、有 .),(0),(0fyxfy（*）反之，函数 在点 0P满足（*） ，则称点 P为 f的稳定点。注意：此定理意在说明若函数 f存在偏导数，则其极值点必是稳定点，但稳定点并不都是极值点。定理 5 （极值充分条件）设二元函数 f在点 ),(0yxP的某邻域 )(0PU内有二阶连续偏导数，且点 0P为 f的稳定点。则（i）当 )(Hf是正定矩阵时，函数 f在 0点取得极小值；（ii）当 0f是负定矩阵时，函数 在 P点取得极大值；（iii）当 )(Pf是不定矩阵时，函数 f在 0点不取极值。其中， 0Hf是 的二阶连续偏导数构成的二阶矩阵，称为 f在 0P点的黑赛（Hesse）矩阵。根据正半定或
20、负半定对称阵所属主子行列式的符号规则，定理 5 可改写成如下比较实用的形式：若函数 f如定理 5 所设。 0P为 f的稳定点，则有：（i）当 0)(,0)2xyyxxffPf时， f在 0P点取得极小值；（ii）当 时， 在 点取得极大值；（iii）当 )(02ffxyyx时， f在 0点不取极值；（iv）当 P时，不能肯定 f在 0P点是否取得极值。例 4 讨论 xyf2),(是否存在极值。解 由方程组 ,0xfyx 得稳定点为原点（0，0） 。又 1,0,2yyxfff， 12x，所以原点（0，0）不是 的极值点。又因 f处处可微，所以 f没有极值点。（二）多元函数极值求法1、无条件极值的
21、求解方法（1） 利用函数极值定义求极值方法（2)利用函数极值存在的充要条件求极值以二元函数 Dy)(x, fz为例，求极值的步骤为：求出使偏导数 ,都为 0 的点及偏导数不存在的点；将上述使偏导数为 0 的点依次代入矩阵A= 2xfyxf2yf2f之中，所得的数字矩阵（仍记为 A）则有，A 正定 z 在该点取极小值A 负定 z 在该点取极大值| A| 0 非极值A 不定 | A| =0 要进一步判定2、条件极值的求解定义：有约束条件的极值问题称为条件极值问题。其一般形式是在条件组)(,.21,0),.(21 nmkxnk （1）的限制下，求目标函数),.(21nxfy （2）的极值。求法一：直
22、接将条件代入转化为无条件极值由 0),(yxg解出 )(xg代入 ),(yxfz便化为无条件极值。求法二：拉格朗日数乘法求条件极值以求函数 ),(vufw在限制条件 0),(vug0),(,vuyxh之下的极值为例。利用拉格朗日数乘法求条件极值的步骤如下：（1）作拉格朗日函数 ).,(),(),(),( vuyxhvuyxgvuyxfvuyxL（2）求出 .,vyxL（3）解方程组 0xLyu0vLgh其解为 ),(vuyxf可能的限制极值点。（4）根据实际问题判断这些点是否确为极值点，是何种极值点。注：a）从理论上讲，条件极值都可以化为普通极值处理。例如，在已知条件vxyz下，求函数 zxy
23、S 的最小值，可从联系方程 vxyz解得 xyz，于是就可转化为求二元函数的普通极值问题；b）从解题上说，有很多的条件极值不能直接转化为普通极值，而必须使用拉格朗日数乘法求条件极值问题。 （原因是联系方程（组）虽然有解，其解不一定是初等函数。 ） 四、简单介绍其余求解函数极值的方法 I）根据定义求极值若题中没有给出函数 )(xf的具体表达式，亦没有假定 )(xf可导，则不能用前面与导数有关的判别法则，则只能用定义判定某点是否为极值点。此类命题有两种常见题型:一类是给出抽象函数 )(f所满足的极限式的题型；一类是抽象函数 )(xf所满足的条件不是极限式的命题。II）利用泰勒公式结合前述各法判别之，并求出极值。III）定理 6 判别法假设 )(xfy在 0的某邻域内具有 n 阶连续导数，且 ,0)(,)(.100 xfxff n则(1)当 n 为偶数时， 0为极值点，且当 )(0fn时为极小值点；0)(xfn时为极大值点。（2）当 n 为奇数时， 0x不是 )(f的极值点，而 )(,0xf是其拐点。五、极值的实际应用问题在实际生活中，极值的应用十分广泛。在经济分析中，决策者经常需要利用最大化或最小化的方法以便在多种可能中做出选择。比如，在消费者需求的效应理
