1、本 科 生 毕 业 论 文（ 2013 届 ）题 目： 数学模型在人口问题中的应用系 别： 数学学院 专 业： 数学与应用数学 班 级： 二 班 作者姓名： 学号： 指导教师： 职称： 学历： 论文成绩： 2013 年 5 月-I-目 录摘 要.IIAbstract.II1 引言.12 数学模型在人口问题中的应用.12.1 马尔萨斯模型在人口问题中的应用.12.2 Logistic 模型在人口问题中的应用.12.3 偏微分方程模型在人口问题中的应用.23 结束语.6致谢语.6参考文献.6指导教师评语.评阅人评语.-II-数学模型在人口问题中的应用数学学院 2009 级 2 班 摘 要:在高新技
2、术领域, 数学模型几乎是必不可少的工具, 它作为一种研究问题的手段和方法被广泛应用于生产、工作和生活等各个领域, 可称是解决问题的有效手段. 本文将探究的是数学模型在人口问题中的应用.文章共介绍了三种数学模型在人口预测中的应用 , 马尔萨斯模型、Logistic 模型、偏微分方程模型.其中, 马尔萨斯模型可进行短期人口预测, Logistic 模型可进行长期人口预测,考虑年龄结构的偏微分方程模型可进行更为深入精准的人口预测.这是一个具有理论意义和实际价值的探究课题 .关键词:马尔萨斯模型；Logistic 模型；偏微分方程模型；人口问题Application of Mathematical M
3、odels inProblem of PopulationClass2, 2009, College of Mathematics Li QiumeiAbstract:In high speed technology field,mathematical model is one of essentical tools. It as one of the methods of investigating problems is used extensively in producing,living,working,and son on. And it is a valuable method
4、 in dealing with problems.The dissertation will investigate the application of mathematical models in problem of population.And the article suggests three kinds of mathematical models, malthus model, logistic model,and partila equation model.Among them,the malthus model can go on forecasting populat
5、ion in short time; The logistic model can go on forecasting population in long time;And the partila differential equation model that considers the structure of age can go deep into forecasting population . This is a question for study or discusstion that has a great theory meaning and realistic mean
6、ing.Key words: malthus model; logistic model; partila differential equation model; problem of population- 1 -1 引言我国是一个人口大国,人口问题一直是制约着我国发展的重要因素.随着社会经济的快速发展,以及人口的发展变动趋势,人口问题在我国的经济增长进程中已经占据了十分重要的位置.近几十年来,人们建立了多种数学模型,如 AR 模型、离散方程模型、Rogers模型、时间序列模型等.随着时代的发展,受到人口政策、文化教育、经济发展水平和医疗卫生条件的影响,人们的教育关念、生育观念、各年龄段的
7、死亡率也发生了变化,中国的人口发展出现了新特点,例如人口老龄化加速、出生率降低等.因此,我们要建立不同的数学模型,考察特定数学模型在人口问题中的应用.本文将利用马尔萨斯模型、Logistic模型、偏微分方程模型逐层递进分析以此来讨论数学模型在人口问题中的应用.2 数学模型在人口问题中的应用2.1 马尔萨斯模型在人口问题中的应用人所共知的最简单的人口增长模型是：记今年人口为 , 年后人口为 ,年增长率0xkkx为 ,则r(1)0(1)kkxr显然,这个公式的基本条件是年增长率 保持不变. 200 多年前英国人口学家马尔萨斯调查了英国 100 年的人口统计资料,得出了人口增长率不变的假设,并据此建
8、立了著名的人口指数增长模型.记时刻 的人口为 ,当考察一个国家或一个较大地区的人口时, 是一个很大的t()xt ()xt整数.为了利用微积分这一数学工具,将 视为连续可微函数.记初始时刻 时的人口()xt 0为 .假设人口增长率为常数 ,即单位时间内 的增量 等于 乘以 ,于是得0xrdxtrt到 满足微分方程()t(2)0,()drxt由这个方程很容易解出 (3) 0()rtte时,此式表示人口将按指数规律随时间无限增长,称为指数增长模型.0r马尔萨斯模型又称指数增长模型.历史上马尔萨斯模型与 19 世纪以前欧洲一些地区人口统计数据可以很好地吻合,迁移加拿大的欧洲移民后代人也大致符合这个模型
9、,这是因为在这些情况下,人口增长率是常数这个基本假设大致成立.这就是说,马尔萨斯模型只适用于短期人口预测,且不考虑任何因素对人口问题的影响.2.2 Logistic 模型在人口问题中的应用随着时间的推移,人口增长到一定数量后增长率就会下降,这是由于自然资源、环境条件等因素对人口增长起着阻滞作用,并且随着人口的增加,阻滞作用越来越大.因此,就不能再利用马尔萨斯模型解决人口问题.为此,我们建立了适合进行长期人口预测的阻滞增长模型Logistic 模型.Logistic 模型考虑的阻滞作用主要体现在对人口增长率 的影响上,使得 随着人口rr- 2 -数量 的增加而下降.若将 表示为 的函数 ,则此函
10、数应为减函数.于是，方程(2)可xrxr以写作(4)0(),dxt对 的一个最简单的假设是,设 为 的线性函数,即()rxrx(5)()()sr这里 称为固有增长率,表示人口很少时（理论上是 时）的增长率.为了确定系数x的意义,引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量 ,称为人口容量.当s m时人口不在增长,即增长率 ,代入(5)式得 ,于是, ,将mx(0mrxsr()1)mrxx代入方程(4)得r(6)0(1),(dxt方程(6)右端的因子 体现人口自身的增长趋势,因子 则体现了资源和环境对人rx 1)m口增长的阻滞作用.显然, 越大,前一因子越大,后一因子越小,人口增长是两个因子共同
11、作用的结果,(6)式称为阻滞增长模型.如果以 为横轴,以 为纵轴作出方程 (6)的图形,可以分析人口增长速度 随xdxt dxt着 的增加而变化的情况,从而大致地看出 的变化规律（如图 1）. x（ t图 1 阻滞增长模型 曲线dxt2.3 偏微分方程模型在人口问题中的应用上述的马尔萨斯模型和 Logistic 模型都是针对人口总数和总的增长率的数学模型,不涉及年龄结构.事实上,在人口预测中人口按年龄的分布状况是十分重要的,因为不同年龄人的生育率和死亡率有着很大的差别.因此,在考虑年龄结构的人口模型中,除了时间变量外,年龄是另一个变量.而使人口数量和年龄结构变化的因素不外乎出生、死亡和迁移.基
12、于上述两种模型,我们又给出了考虑了年龄结构的偏微分方程模型在人口问题中的应用.出生、死亡和迁移等因素是影响人口数量和结构变化的因素.为简便起见,这里我们只考虑自然地出生与死亡,不计迁移等社会因素的影响.为研究任意时刻不同年龄的人口数量,引入人口的分布函数和密度函数.时刻 年龄小t于 的人口称为人口分布函数,记作 ,其中 均为连续变量,设 是连续、可微x ()Fxt,(0)txF的.时刻 的人口总数记作 ,最高年龄记作 ,理论推导时设 .于是,对于非负t()Ntmmx- 3 -非降函数 ,有()Fxt(7)(0,)(,)(mFtxtN人口密度函数定义为(8),pt表示时刻 年龄在区间 内的人数.
13、(,)pxtdtxd记 表示时刻 年龄为 的人的死亡率,其含义是 表示时刻 年龄, (,)xtpdt在 内单位时间死亡的人数.,为了得到 满足的方程,考察时刻 年龄在 内的人到时刻 的情况.()pxt t,dt他们中活着的那部分人的年龄变为 .而在 这段时间内死亡的人数为,xdtt.(,)xtdt于是(9)(,)(,)(,)pxttxtpxdt上式可写作(10)(,)(,)(,)(,(,)pxdttdptdttxdt当 可微时就可得到,)(11)(,)xtxt这是人口密度函数 的一阶偏微分方程,其中死亡率 为已知函数.方程()pt (,)xt(11)有两个定解条件：初始密度函数记作 ；单位时间
14、出生的婴儿数记作0(,)(p,称为婴儿出生率. 可由人口调查资料得到,是已知函数； 则对人(0,)(ptf0(x ()ft口预测和控制起着重要作用,后面将对它进一步分析.将方程(11)及定解条件写作(12)0(,),(,)(tpxttpxf这个连续型人口发展方程描述了人口的演变过程,从这个方程确定出密度函数之后,立即可以得到各个年龄的人口数,即人口分布函数()pxt(13)0(,)(,)xFtpstd方程(12)的求解过程比较复杂,这里只给出一种特殊情况下的结果.在社会安定的局面下和不太长的时间内,死亡率大致与时间无关,于是可近似地假设 .这时方(,)(xt程(12)的解为(14)0()0()
15、(,(,)xtxsdpetxtft- 4 -这个解在 平面上有一个浅显的解释：图 2 中对角线 将 平面分为tOx xt(,0)Otx两部分,在 区域, 完全由年龄为 的人口初始密度 和这些人的(,)ptxt0p死亡率 决定；而在 区域,则由未来的生育状况 及死亡率()sttft决定.0x图 2 平面上的tOx(,)pxt生育率和生育模式：在方程(12)或解(14)中 和 可从人口统计数据得到, 0()x也可由 粗略估计.这样,为了预测和控制人口的发展情况,人们主要关注和,xt0x可以用作控制手段的就是婴儿出生率 了.下面对 作进一步分解.()ftft记女性性别比函数为 ,即 时刻年龄在 的女
16、性人数为 ,()kxt,xd(,)kxtpd将这些女性在单位时间内平均每人的生育数记作 ,设育龄区间为 ,则()bt12(15)21(,)xfttkp再将 定义为(,)bxt(16)(,)(,)bthxt其中 满足,ht(17)21,xtd于是(18)21()(,)xtbt(19)21(,)xfhkpxtd由(18)式可以看出, 的直接含义是时刻 单位时间内平均每个育龄女性的生育数 .如()tt果所有育龄女性在她育龄期所及的时刻都保持这个生育数,那么 也表示平均每个女()t性一生的总和生育数,所以 称为总和生育率（简称生育率）或生育胎次.t从(16),(17)两式及 的含义可以看出, 是年龄为
17、 的女性的生育加权因()bx(,)hxtx子,称生育模式.在稳定环境下可以近似地认为它与 无关,即 . 表示了在(,)th()x哪些年龄生育率高,哪些年龄生育率低.图 3 给出了 的示意图,表明 附近生育c率最高.由人口统计资料可以知道当前实际的 .作理论分析时,人们常采用的()xt的一种形式是借用概率论中的 分布()hx- 5 -(20)11(),xehx并取 ,这时有2,n(21)12cn可以看出,提高 意味着晚婚,而增加 意味着晚育.1x图 3 生育模式 的示意图()hx这样,人口发展方程(12)和单位时间出生的婴儿数 的表达式(19),构成了我们的)ft连续型人口模型.模型中死亡率函数
18、 、性别比例函数 和初始密度函数(,t,kx可以由人口统计资料直接得到 ,或在资料的基础上估计,而生育率 和生育模式0px ()t则是可以用于控制人口发展过程的两种手段. 可以控制生育的多少, 可以(,)ht ()t,hxt控制生育的早晚和疏密.我国的计划生育政策正是通过这两种手段实施的.上述模型只考虑了出生与死亡两种因素对人口数量和结构变化的影响,在此基础上,我们把迁移等社会因素对人口数量和结构变化的影响也考虑进去.记 （当 时,表示迁入率；当 时,表示迁出率）表示时刻 年(,)mxt(,)0xt(,)0mxtt龄为 的人的迁移率.于是,有(22),(,)(,)(,)pdtptdxtpdtt
19、pxdt上式可写作(23) (,)()xttxtt当 可微时,就可得到()pxt(24)(,)(,)pmxtpxtpxt这是人口密度函数 的一阶偏微分方程,其中死亡率 和迁移率 均() (,)xt,mxt为已知函数.同方程（11）一样,方程（24）也有两个定解条件：初始密度函数记作；单位时间出生的婴儿数记作 ,称为婴儿出生率. 可由人0()(px(0,)(ptf0()p口调查资料得到,是已知函数；对于 在解决方程（11）时,已经进行了详细的解析.()ft将方程（22）及定解条件写作- 6 -(25)210(,)(,),0(,)(,xmptpxtptxxthkdpxt其中, 为育龄区间, 的实际
20、取值区间为 .12x ,mx这样,我们就得到了考虑了出生、死亡和迁移三种因素对人口数量和结构变化影响的人口问题的偏微分方程模型方程(25).通过上述三种数学模型的介绍,偏微分方程人口模型明显较马尔萨斯人口模型和Logistic 人口模型研究的深入,适宜运用在要求较高的专业研究中.人口增长受多种因素影响,任何一种模型都不能完整地预测其发展情况,具体采用何种模型,应该按照实际情况加以选择,如能将各种定性和定量模型有机地结合起来将是比较理想的预测方法. 3 结束语总之,在不同因素的影响下,依据影响因素建立特定的数学模型可解决人口预测问题.上述三种数学模型逐层解决了人口总的增长率、自然资源和环境条件、
21、年龄结构三种不同因素影响下的人口问题,为人口问题的预测和控制提供了有效的可行方案.致谢语感谢 xxx 老师在论文写作过程中对我的悉心指导,也感谢曾经在论文写作上对我有过帮助的同学！参考文献1姜启源等编.数学模型M.北京:高等教育出版社,2001,1.2王勇. Logistic 人口模型的求解问题J.哈尔滨商业大学学报,2006,22(5):58-59.3阎慧臻. Logistic 模型在人口问题中的应用J.大连工业大学学报,2008,27(4):333-335.4杨丽霞等编.数学模型在人口预测中的应用J.长江流域资源与环境学报 ,2006,15(3):287-291.5何春.马尔萨斯人口模型在广州市人口预测中的应用J .广东工业大学学报,2010,27(3):31-34.6华东师范大学数学系.数学分析M.3 版.北京:高等教育出版社,2001.7李秋红,何先平等编.数学模型在人口增长中的应用J. 太原师范学院学报,2008,7(2):55-56.8东北师范大学微分方程教研室.常微分方程M.2 版.北京 :高等教育出版社,2005,4.
