1、数学悖论及其对数学发展的影响摘要：数学悖论，曾经引起了数学界的无数争端，它使得数学前进的脚步一次次陷入迷途。然而，每一次数学悖论的解决、澄清，又会对数学前进的脚步加快，产生许多新的思想、新的学科，它又使得数学飞翔，毕答哥拉斯悖论的解决，使得数学向公理化、演绎化的方向发展。贝克莱悖论引起的第二次数学危机的解决以及微积分的发现，使人们的眼睛从有限走向无限，微积分在这一时期的到了完善。罗素悖论引起的第三次数学危机，又使人们对集合论的基础产生了怀疑，逻辑主义、直觉主义和形式主义之间激烈的争论，最终，哥德尔 25 岁时的发现又使得数学走向了新的纪元。1 毕答哥拉斯悖论与第一次数学危机1.1 毕答哥拉斯悖
2、论毕答哥拉斯悖论，又称希帕索斯悖论。大约公元前 580 年到公元前 500 年左右，产生在撒摩斯岛的著名哲学家、数学家、天文学家、音乐家、教育家毕答哥拉斯（与我国孔子，印度释迦牟尼基本同时） 。这位伟大的天才创办了以其名字命名的学派毕答哥拉斯学派，这个学派当时对数学做了大量的研究并且有突出的贡献。毕答哥拉斯及其学派把“万物皆数”作为基本信念。也就是说，在他们眼里，一切事物和现象可以归结为整数与整数的比，这就是所谓的“数的和谐” 。而他们相信宇宙的本质就是这种“数的和谐” ，在这种情况下，他们对几何量做了大量的研究。换句话说，有理数可以充满整个数轴。他们通过实验的方式证实了，任何两条线段都是可通
3、约的。着一命题显然是正确的。于是，我们可以明白，当毕答哥拉斯学派提出“任何两个量都是可通约的”时，古希腊人是如何坦然地接受这一似乎是无可怀疑的结论，怀疑可作为共同公度量的第三条线段的存在，似乎是十分荒谬的，不是吗？答案竟是：就不是！毕答哥拉斯的一个学生希帕索斯，他发现的#就是人类历史上诞生的第一个无理数，不可通约量或无理数的发现，是毕答哥拉斯学派的最重大的贡献。1.2 第一次数学危机的解决1.2.1 欧多克索斯的解决方案毕答哥拉斯悖论，曾使希腊数学的发展陷入迷途、陷入困境。然而，帮助希腊人摆脱困境的关键一步是由才华横溢的欧多克索斯迈出的。我们已经清楚的了解到，古希腊人面对的难题是任何解决不可通
4、约量或以我们现在的方式说是无理数。对他们来说，问题的来源是几何，只要研究线段等几何量，就不得不面对不可通约量。这是无法绕过去的，但是涉及到“数”时，则可以采取“避而不谈”的策略。于是，古希腊人设想的思路是：在数的领域，仍然只承认整数（或整数的比） 。只要在几何研究中，能解决几何量中出现的不可通约量问题就可以宣告万事大吉了。简而言之，把数和量分开，研究的关键转向线段、面积、体积等几何量，令人称奇的是，古希腊人依照这种思路走下去，竟然成功了。欧多克索斯本人的著作已经全部失传。不过，他的比例论成果被保存在欧几里得的几何原本一书的第五卷中。在其中，欧几里得先是给出了关于量的几个定义。其中比较重要的有：
5、定义 3：两个同类量之间的一种数量关系叫比。定义 4：如果一个量增大几倍后可以大于另一个量，则说这两个量有一个比。这两个定义的特别之处在于，它实际上允许了不可通约量的存在。如正方形的边长增加 2 倍后就可以超过起对角线了，所以现在就可以对两者定义一个比了。上述的两个定义是迈出的第一步，为了能够展开研究，还需要进一步定义两个比之间的关系，定义 5 就是给出了两个比相等的定义，这是欧多克索斯解决方案中的一个中心概念。这一定义的文字描述是：所谓四个量成等比，即第一个量与第二个量之比等于第三个量与第四个量之比。正是这个定义，被誉为是数学史上的一个里程碑，这个定义的贡献在于：如果在只知道有理数而不知道无
6、理数的情况下，它指出了可用全部大于某数和小于某数的有理数来定义该数，从而使可公度量和不可公度量都能参加运算。这样，古希腊热闹就走向了一条独特的道路：把数和量分开，回避无理数，研究无理量。1.2.2 古代中国无理数的解决方案也许是因为民族特性的差异，或许，是因为数学文化的不同，或者是数学历史的原因。造成中国与古希腊截然不同的对待无理数的方式。在九章算术少广章中提到：“若开之不尽者，为不可开，当以面命之。 ”对这句话。因为其过于简单，故不同的研究者有不同的理解。一种观点认为：面就是边，以面命之，就是对开方不尽的数，取一分数，以面作为分母，以其根命名一个分数，于是，以面命之，即指可取#另一种观点认为
7、，在不可开的情形下，以面命之，就是把开不尽的数命为“面” 。这样就定义了一个无理数。其实，无论是何种理解，均可看出我国古代在处理无理数问题时所采取的方式以及对待无理数的态度。那就是，有这种数吗？好吧，我们承认就是了。他们不纠缠这是不是数的问题，而是坦然接受，甚至于根本不考虑它与有理数之间是否存在本质区别，而如何求出更精确的近似则是中国古代数学所专注的目标。为了求出更准确的近似值，刘徽还创造了开方求其微数的方法，所谓求微法，其实就是求无理数十进分数的近似值，如他所说：“其数可举，不以面命之，加定法如前，求其微数，向数无名者以为分子，在全退以十为母，其再退以百为母，退之弥下，其分弥细，则朱幂虽有所
8、弃之数，不足言之也。 ”由此，我国在对无理数的态度上是采用了现实的，实用主义立场，由于他们是客观存在的，无可避免的，这样引入他们就是自然的。又由于他们是有用有效的，这就证明了对他们的使用是不无道理的。于是，人们的注意力很快转移到任何更好地用他，即求得他的近似值与运算等方面，并取得了不凡的结果。1.3 第一次数学危机的深远影响第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶段：1） 数学已经由经验科学变为演绎科学。2） 把证明引入了数学3） 演绎的思想首先出现在几何学中，而并非在代数中，使得几何具有更加重要的地位，种状态一直保持到笛卡尔的解析几何的诞生。然而中国、埃及、巴比伦、印度等国家一直
9、停留在算数阶段，希腊则走上了完全不同的道路，形成了欧几里德的几何原本与亚里士多德的逻辑体系而成为现代科学的始祖。1.3.1 第一次数学危机对数学思想的影响以及几何原本经过第一次数学危机的洗礼，希腊人不得不承认：直觉、经验以及实验都不是绝对可靠的，推理论证才是可靠的。证明思想在希腊人心中扎下了根，进一步，古希腊人发展了逻辑思想并加深了数学的抽象性，理解化等本质特征的认识。有一位数学家曾经评论说：“虽然柏拉图本人在数学研究方面没有特别的杰出的学术成就，然而，他却是那个时代的数学活动的核心，他对数学的满腔热忱没有使得他成为知名的数学家。但却赢得了数学好家的缔造者的美称。 ”柏拉图的思想对希腊产生了强
10、有力的影响，他强调要把数奠基于逻辑之上。并坚持使用准确的定义，清楚的假设的严格的证明，他坚持对数学知识体系演绎整理，在他的理想国中明白的陈述：“你们知道几何，算术和有关科学的学生，在他们的各种分支里，假定奇数和偶数，图形以及三种类型的角度是已知的；这些是他们的假设，使大家认为他们以及所有人都知道的事，因而认为是无需想他们自己向别人做任何交代的；但他们是从这些事实出发的，并以前后一贯的方式往下推，直到得出结论，柏拉图所强调的应以自然的假设出发进行严格的 证明的思想后来成为古希腊公理方法的发端。柏拉图的这些思想在他的学生尤其是亚里士多德那里又得到了极大的发展和完善，对数学而言，亚里士多德最大的贡献
11、是在前人基础上完成经典著作工具论 ，把逻辑规律典范化，阐述了逻辑学理论，从而创立了古典逻辑学。亚里士多德研究和讨论了三段论问题，他相信逻辑它应该建立在三段论的基础上， （三段论是由三个判断构成，其中的两个判断是前提，一个判断是结论） ，如果三段论的前提是正确的，那么结论也必然正确。但在他看来，不是任何知识都可以作为三段论的前提，前提必须是大众普遍接受的事实，他还认为根据我们不会出错的直觉可知，公理是真的，他也首次提出了基本的思想规律矛盾律和排中律。亚里士多德的逻辑思想为他集合整理在严密的体系之中创造了必要条件，奠定了基础，为形成一门独立的初等几何理论做好了充分的准备。而在这之后，作为亚里士多德
12、的逻辑学与当时已有数学成果完善结合的结晶，孕育了欧几里德的巨著几何原本 。从公元前 6 世纪起，希腊几何学不断超前积累新的事实和阐明集合原理的相互关系的方向迅速发展，在欧几里德之前，希腊人已经积累了大量的数学知识，并已用逻辑推理的方法去证明结论。而在亚里士多德的影响推动下，逻辑理论一渐臻成熟，公理化思想已是大势所趋，这些为形成一门独立的理论科学做好了充分准备，形成一个严整的几何结构是“山雨欲来风满楼”了。其实，在欧几里德之前已有好几位数学家做过这种整理但经得起历史风霜考验的只有欧几里德的 几何原本 。就几何原本内容而言，有很多来自于此前毕达哥拉斯学派及欧多克索斯的前驱工作，但使他赢得非凡评价的
13、绝不限于其内容的重要，或者其对定理的出色证明。真正重要的是欧几里德在书中创造的被称为公理化的方法。几何原本最终给出了 119 个定义，5 条公设和 5 条公理成为全书推理的出发点，论证的依据。利用公理、公设，定义为要素，作为已知欧几里德先证明了第一个命题。然后又以之为基础，并作为新的已知来证明第二个命题，其中包括 54 个作图。其证明之精彩，逻辑之严密，结构之严谨令人叹为观止，零散的数学理论被他成功编织为一个从基本假定到最复杂结论的连续网络。因而在数学发展史上 ，欧几里德认为是成功而系统地应用公理化方法的第一人，他的工作被公认为是最早公理法建立演绎数学体系的典范。几何原本的影响还越出数学，成为
14、人类文明史的里程碑，并对西方思想产生了及其深远的影响。它的创立孕育出一种理论性的精神。人类任何其他的创造都不可能像欧几里德的几百条定理那样显示出这么多的知识都是仅仅靠推导得出来的，这些大量深奥的演绎结果，使得希腊人和以后的的文明了解到理性的力量，从而增强了他们利用这种才能获得成功的信心，受这一成就的鼓舞，西方人吧理性运用于其他领域，神学家，逻辑学家，哲学家，政治家和教育真理的的追求者，都纷纷仿效欧几里德几何的形式的 推演过程，著名数学家，哲学家罗志在西方哲学史中说：“欧几里德的几何原本毫无疑义是古往今来最伟大的著作之一，是希腊理智最完美的纪念碑” 。在人类历史发展的长河中，任何民族的文化都既有
15、优点，又有不足之处。在谈过古希腊的辉煌成就之后，我们也有必要去关注其负面影响。古希腊人在解决危机的过程中，吧数和量区分开来，对无理量建立了严密理论并由此建筑了几何大厦，而由于无理数作为数没有可靠的逻辑基础，所以他们对无理数采取了回避的方式，由于整数及其不能包括一切几何量，而几何量可以表示一切数，因此希腊人认为几何较之算术占有更重要的地位，几何成了全面希腊数学的基础，他们几乎把整个数学概念都一纯粹几何的形式来表示，吧数的研究隶属于形的研究，代数依附于几何，称为“集合代数学” 。这种处理方式还带来许多禁忌，比如说，我们不能吧三个以上的数相乘，要遵守同类量之间相加成的要求，列方程时要求方程中各项都是
16、“奇性”的因为不如此就会导致几何解释无意义，这使代数算术的发展受到了极大的限制，而几何却得到了充分发展。代数，几何分家的另一表现是，原本能紧密结合在一起的数与形也被割裂开来，现在我们知道， ，数轴上的点与实数有一种对应关系，然而对古希腊人而言，直线与数的结合是严格禁止的。2，贝克莱悖论与第二次数学危机。2.1.贝克莱悖论。牛顿和莱布尼茨创立微积分之后的大约一百年中，很少有人注意到从逻辑上加强这门学科的基础，但绝对是薄弱的基础没有人批评，一些数学家进行了长期的争论，并且，两位创立者本人对学科的基础也不满意，对有缺陷的基础最强有力的批评来自一位非数学家，这就是著名的唯心主义哲学家，贝克莱，他坚持微
17、积分的发展包含了偷换假设的逻辑错误，原来，牛顿在 1704 年发表的 “曲线的求积”其中，他确定#的导数，我们翻译如下：#￥#￥#从中我们可以看出，偷换假设的错误是明显的，在论证的前一部分，假定 0 是非零的，而在论证的后一部分，它又被取为零，贝克莱说：“在我们假定增量消失时，理所当然，也得假设它的大小，表达式以及其他，由于它的存在而随之而来的一切也随之消失。 ”他还说：“总之，不论怎样看，牛顿的留数算法是不可逻辑的”这就是历史上著名的贝克莱悖论 。2.2，18 世纪数学家的努力。笼统地说，贝克莱悖论可以表述为：“无穷小量究竟是否为 0”的问题。在微积分的使用中，无穷小量有时当做 0，有时又看
18、做不是 0，从逻辑上看，这无疑是一个矛盾。牛顿和莱布尼茨都认识无穷小量的难题，牛顿也曾在原理一书中给极限下了一个定义，试图改进自己的理论，试图把流数建立在极限概念的基础之上。然而，芝诺的正矢不动就是对他的已达难题，莱布尼茨也做过许多阐述，但却没有一种见解令人真正满意。除牛顿和莱布尼茨外，个别其他数学家在微积分创建之时也曾努力去弥补遗漏的基础，但得到的结果都是为成功。贝克莱悖论的提出，使微积分基础问题引起更大的重视，结果在此后的 7 年中，出现了约 20 多种小册子和论文，企图纠正这种情形，更多数学家在这一危机面前，投入到微积分基础严密化的尝试中，他们试图通过建立严格的微积分基础以清除悖论并回击
19、贝克莱的批评。在整个 18 世纪，人们都试图为微积分找出合乎逻辑的理论的基础，几乎是每一个数学家也都对此做了一些努力，虽然一二个路子对头，但所有的努力都没有获得圆满结果。微积分的逻辑基础在 18 世纪结束的时候十一哥悬而未决的问题。2.3 英雄时代为了消除贝克莱悖论，18 世纪的数学家做出了许多不成功的努力。但在微积分可靠基础建立起来之前，数学家们并没有静等基础建立牢固后再去展开新的工作。事实上，虽然微积分基础存在可质疑之处，让人们困惑重重，但微积分在科学的应用中却显示出无比的威力和顽强的生命力。18 世纪时，绝大多数数学家被微积分这新兴的有无限发展前途的学科所吸引，他们大胆前进，大大扩展了微
20、积分的应用范围，不断拓展出新的数学领地。一系列新数学分支如微积分方程，复变函数，微分几何，解析数论，变分法，无穷级数等都在 18 世纪成长起来，这些新分支和在一起，形成了被称为数学分析的广大领域，与代数，几何并列为数学的三大科学。并且在 18 世纪，由于牛顿，莱布尼茨的巨人之争，欧洲数学分裂为两派，英国坚持牛顿的流数法，进展缓慢，在整个 18 世纪，英国只有泰勒，马克劳林做了一些值得称道的工作，与英国不同，欧洲大陆在采用莱布尼茨创立的符号与方法的进展很快，整个 18 世纪涌现出众多数学家，欧洲大陆有贝努利家族及 18 世纪最伟大的数学家欧拉。数学家坚信“坚持，你就会有信心。 ”往往他们不顾基础
21、问题的薄弱而大胆的前进，忙于把大厦建的更高。对新方法的追求，对新领域的拓展，使他们共同谱写了一曲数学史上的：“英雄交响曲。 ”到 19 世纪初，许多迫切问题已经基本得到解决，一种追求严密性的风尚开始在数学界蔓延开来。首先，一些数学家对当时分析的状况开始表示不满。高斯批评达朗贝尔关于代数基本定理的证明不够严格，还说数学家们“未能正确处置无穷级数”!19 世纪分析严格化的一个重要的倡导者与推动者是挪威数学家阿贝尔，他对分析严格化表示重重忧虑，就在这时候，一场在严格化基础上重建微积分的努力已经提到日程表上来，许多数学家开始转向这方面的工作，并取得了辉煌的成就。其中，波尔查诺在 1816 年清楚的提出
22、了级数收敛的概念，他本人对级数也有较深的理解，并给出导数等概念的合适定义。1843 年，他还给出了一个反例，表明连续函数未必有导数。虽然波尔查诺做出许多重要的发现，但遗憾的是，他的著作发表在欧洲偏远的角落，他的工作长期湮没无闻。他的观点对当时的微积分并未产生及时的影响。19 世纪在分析严格化方面真正有影响的是法国数学家柯西。从 19 世纪 20 年代开始，柯西致力于分析的严格化，成为这项伟大工程的开拓者与集大成者。这方面的工作体现在他的具有划时代价值的著作分析教程 （1821）和无限小计算教程概论 （1823）中。柯西在分析的严格化方面的某些缺陷，由数学家维尔斯特拉斯等弥补了。他在数学分析领域
23、中最大的贡献是在柯西、阿贝尔等开创的数学分析严格化的潮流中以#语言系统建立了分析的严谨基础。3 罗素悖论与第三次数学危机3.1 罗素悖论当数学家们在无穷集合的伊甸园中悠哉游哉，并陶醉于数学绝对严格性的时候，一个惊人的消息迅速传遍了整个数学界：“集合论是有漏洞的！”这就是英国数学家罗素提出的罗素悖论。罗素发现著名的集合论悖论是在 1901 年，它有许多种形式的通俗化，这些形式中最著名的是罗素在 1919 年给出的俗称理发师悖论。某村的一个理发师宣称他给所有不给自己刮脸的人刮脸，于是出现这样的困境：理发师是否给自己刮脸呢？如果他给自己刮脸，那么他就违背了自己的原则，如果他不给自己刮脸，那他就该为自
24、己刮脸。罗素的悖论在数学中引起了真正的麻烦，罗素将的悖论写信告诉了数理逻辑的先驱弗雷格，而弗雷格正好完成他的关于算术基础的二卷巨著，弗雷格接到信后，在其著作的末尾伤心的写到：“一个科学家遇到的最不愉快的莫过于当他的工作完成时，基础崩塌了，当本书的印刷快要完成时，罗志先生的信就使我陷入了这样的境地。 ”3.2 20 世纪初的一场大辩论 康托尔的集合论产生悖论的原因之一是，康托尔的集合论有“一切集合的集合”概念，为了不产生悖论，策梅洛在 1908 年提出一种公理系统，这种系统由弗兰克尔在 1921 年加以改进，形成了目前公认的彼此无矛盾的公理系统，简称：ZF 公理系统。ZF 公理系统虽然避开了已知
25、的悖论，但很多数学家对此并不满意，人们对 ZF 公理系统的逻辑基础还有怀疑，康托尔的连续统假设还没有解决，对选择公理的使用还有怀疑，除去这些问题外还有一个大问题：数学的基础是什么？围绕这些问题，由于哲学观点不同，西方逐渐形成了逻辑主义，直觉主义和形式主义三大派别，他们之间产生了一场大辩论，并吧数学推向了一个新阶段。逻辑主义学派的代表人物是罗素和怀特海，他们的基本观点是，数学及逻辑，罗素说：“逻辑是数学的青年时代，数学是逻辑的壮年时代， ”只要不容许，集合的集合，这种逻辑语言的出现，悖论就从不会发生。直觉主义学派认为，数学理论的真伪只能用人的直觉去判断，这一派的最早的代表人物是克罗内克，他他只承
26、认潜无限的概念，而不承认实无限的概念，他们认为：“全体实数”是不可接受的概念“一切集合的集合”的概念更不可理解，不承认这些概念的合理性，“悖论”就自然不会出现。形式主义的代表人物是希尔伯特，他们认为，无论是数学的公理系统或逻辑的公理系统，其中的基本概念都是没有意义的，公理只是一行行的符号，无所谓真假，只要能够证明公理系统是相容的，这个公理系统便得到承认，它便代表一种真理，悖论是公理系统不相容的一种表现。迄今为止，这场争论尚未停止。3.3 新的成就希尔伯特和他的学生们在 1920 年到 1930 年间发展了希尔伯特的证明论或元数学，这是建立任何形式系统的相容性的一种方法，从这个思想出发，希尔伯特
27、打算把整个数学都公理化，并证明他的无矛盾性，虽然这一奢望后来被哥德尔打败了，希尔伯特形式主义计划虽然没有可能全部实现，但他创立的“元数学”已经成为一个重要的数学分支。1931 年在数学物理月刊上发表了一篇题为“论数学原理的有关系统的形式不可判定命题”的论文，论文的作者是年仅 25 岁的奥地利数学家和逻辑学家哥德尔，他当时在维也纳大学，论文发表时并没有受到重视，被认为是数学和逻辑的基础方面的划时代文献。哥德尔的论文指出了公理化过程的局限性，这是人们所始料未及的，他的论文的主要影响有四个方面：1， 它摧毁了数学的所有重要理论能被完全公理化这一强烈的信念。2， 它扑灭了沿着希尔伯特曾设想的路线证明数学的内容相容性的全部希望。3， 他使得人们不得不重新评价普遍认可的数学哲学。4， 它把一个新的强有力且内容丰富的分析技术引到了基础研究之中。
