1、长春师范学院本科毕业论文（设计）1几类常见的不可数集合证明摘要：文中首先介绍实变函数论的背景、由来和在数学领域中的作用,并由实变函数引出其最为基础的可数集合和不可数集合.最后给出本文的主要内容-几种常见的不可数集合及其证明方法.本文多次利用反证法证明一个集合是否为不可数集合,并对几种常见的不可数集合证明方法作一个总结归纳.关键词：可数集 不可数集合 无理数集 实数集合 康托尔集在大学,我有幸接触到了实变函数论.对于这门课程,初次接触就被它的高深和精细所吸引.“实变函数”是以实数作为自变量的函数,它和古典的数学分析是不同的,它不仅是一种比较高深和精细的理论,还是数学的一个重要分支，而且它的应用非
2、常广泛.在实变函数论中,可数集与不可数集合是最为基本的知识.之所以选择它们来进行研究,主要考虑到以下几个方面：首 先 ,不 可 数 集 合 虽 然 是 实 变 函 数 课 程 中 最 为 基 本 的 内 容 ,但 也 是 最 繁琐 的 内 容 .本 文 旨 在 对 几 种 常 见 的 不 可 数 集 合 证 明 方 法 作 出 总 结 和 归 纳 ,以达 到 化繁为简的目的.其次,不 可 数 集 合 已 经 成 为 某 些 数 学 领 域 的 重 要 工 具 ,而 且 它 在 各 个 数学 领 域 之 中 的 应 用 ,对 于 形 成 近 代 数 学 的 一 般 拓 扑 学 和 泛 涵 分 析
3、 两 个 重 要 分支 有 着 极 为 重 要 的 影 响 .其中康托尔集在 现 代 物 理 学 科 研 究 领 域 上 也 被 广 泛应 用 .基于以上几点,本 文 专 门 对 常 见 的 不 可 数 集 合 证 明 方 法 作 出 总 结 .下面就让我们先来认识一下可数集和不可数集：1 可数集和不可数集的定义和性质1.1 可数集和不可数集的定义定 义 1.1 凡 和 全 体 正 整 数 所 成 之 集 合 N 对 等 的 集 合 都 称 为 可 数 集 合 或长春师范学院本科毕业论文（设计）2者 可 列 集 合 .由 于 N 可 按 大 小 顺 序 排 列 成 一 无 穷 序 列 ：1,2
4、,3, ,n因 此 ,一个集合 是可数集合的充要条件为: 可以排成一个无穷序列：AA, , , ,.1a23na例 如 ,全 体 正 偶 数 的 集 合 是 一 个 可 数 集 ,全 体 正 奇 数 的 集 合 也 是 可 数 集 ,它 们 与 自 然 数 集 可 以 建 立 如 下 的 一 一 对 应 .自然数1,2,3,4,5,6, ,n正 偶 数2,4,6,8,10,12,2 ,正 奇 数1,3,5,7,9,11,2 1,.n这 说 明 一 个 可 数 集 可 以 含 有 可 数 的 真 子 集 ,反 过 来 ,两 个 可 数 集 也 可 以并 成 一 个 可 数 集 .整 数 集 与
5、有 理 数 集 都 是 可 数 集 .定义 1.2 不是可数集合的无限集合我们称为不可数集合.不可数集是无穷集合中的一种.一个无穷集合和整数集合之间要是不存在一个双射（不存在一一对应关系和法则）,那么它就是一个不可数集.譬如无理数集就是不可数集.1.2 可数集和不可数集的性质可数集的性质：(1) 任何无限集合都至少包含一个可数子集.(2) 可数集合的任何无限子集必为可数集合,从而可数集合的任何子集或者是有限集或者是可数集.(3) 设 为可数集, 为有限或可数集,则 为可数集.ABAB(4) 设 都 是 可 数 集 ,则 也是可数集.321i 1i长春师范学院本科毕业论文（设计）3(5) 设 是
6、 有 限 集 或 可 数 集 ,则 也是有限集或可数集,但niA,.21niA1如果至少有一个 是可数集,则 必为可数集.iniA1(6) 有理数全体成一可数集合.(7) 若 中每个元素可由 个 互 相 独 立 的 记 号 一 对 一 地 加 以 决 定 ,各记号An跑遍一个可数集 = 则 为可数集.nxa,.21,.2,1,.;)2(1nkxkA(8) 代数数的全体成一可数集.不可数集的性质：(1) 全体实数所成之集合 是一个不可数集合.R(2) 任意区间 均具有连续基数 .（这里 ）.,0,bacba(3) 设 是一列互不相交的集合,它们的基数均为 ,则它们的.,21nA和集的基数也为 .
7、c(4) 实数列全体 E的基数为 .c(5) 维欧几里得空间 的基数为 .nnR(6) 设 是任意的一个集合,它的所有子集作成新的集合 则 .MM(7) 若用 表示全体实数所成集合 的基数,用 表示全体正整数所成集合c a的基数,则 .Na(8) 设有 个（ 表示连续基数）集的并集,若每个集的基数都是 ,则其和c集的基数也是 .c2 全体实数所成之集合 是一个不可数集合R实 数 包 括 有 理 数 和 无 理 数 .其 中 无 理 数 就 是 无 限 不 循 环 小 数 ,有 理 数 就包 括 整 数 和 分 数 .通俗地认为,包含所有有理数和无理数的集合就是实数集.18 世纪,微积分学在实数
8、的基础上发展起来.但当时的实数集并没有精确的定义.直到 1871 年,德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义.定义是由四组公理为基础的：加法公理；乘法公理；序公理；完备公理；符合以上四组长春师范学院本科毕业论文（设计）4公理的任何一个集合都叫做实数集,实数集的元素就是实数.定理 2.1 全体实数所成之集合 是一个不可数集合.R证法一 用反证法证明.因为实数集合与 是有一一对应的,故只需说明10不可数就可以了.1,0因为 ： 是双射函数 ,令 = | (0 ,这与 = 矛盾.rr32n1sup1rr32rXr(2)若 + ,则此时有rr= ,1rXr+ = + ,2rr23rX1,长春师范学
9、院本科毕业论文（设计）7krX1132krkr1223krkrkrX + +r rr令 ,两边取极限得：= + = + .Xkrklimr312rX故 + + .这也与 = 矛盾.因此,不论哪种情形,总rar32r1ra有 ( ).所以 , .Xn.1，0,.21n这与假设矛盾,从而 是不可数集合.3 其它几类常见的不可数集证明其它几类常见的不可数集合有：无理数集、康托尔集、可数集的幂集等等.3.1 无理数集是一个不可数集合无理数集是由全体无理数所组成的集合.无理数,即非有理数之实数,不能写作两整数之比.若将它写成小数形式,小数点之后的数字有无限多个,并且不会循环.常见的无理数有大多数平方根、
10、 和 （其中后两者同时为超越数）等.无e理数的另一特征是无限的连分数表达式.定理 3.1 无理数集是一个不可数集合.证明 第一步,先证明有理数集是可数集： 设 ,则 是可数集,由可数集的性质(4)我们知.321， iAi .321，iiA道全体正有理数成一可数集 .1iQ长春师范学院本科毕业论文（设计）8因正负有理数通过 ,成为 11 对应.故全体负有理数成一可数集r,但有理数全体所成之集合 ,所以由可数集的性质(5)知QQ0为可数集.第二步,再证有限个可数集的并集还是可数集.容易找到一种有限个可数集 的排列顺序:iA,.,143121aa ,.,243212A ,.,343213a ,.,4
11、34214A.按照箭头顺序可将 排成:1iA=1i,., 14323112aa因此, 是可数集.1iA第三步,接着证明实数集是不可数集.关于这个证明本文在前面已经给出了很多种证明方法,在此就不赘述了，基本上都是用反证法,即先用一种排列来表示实数集,再由这种表示法推出一定有一个实数不能被这种排列所表示,由此推出矛盾.第四步,证明无理数集是不可数集.长春师范学院本科毕业论文（设计）9用反证法证明.假设无理数集是可数集,在第一步我们已经证出有理数集是可数集,那么实数集也应该是可数集(实数集等于有理数与无理数的并).而第三步我们已经证出了实数集是不可数集,与假设矛盾.所以无理数集是不可数集.证毕.3.
12、2 Cantor 集是一个不可数集合Cantor 集,又称三分集.是位于一条线段上的一些点的集合,具有许多显著和深刻的性质,常常是集合论中构造特例的基础.最常见的构造是康托尔三分点集,由不断地去掉一条线段的中间三分之一得出.著名的康托尔集是这样构成的：定义 3.1 (1)设闭区间 ,将 三等分,并除去中间开区间 =( ,1,0R1I3).得两个闭区间 =0, , = ,1,区间长度为 = .321.F32.1 1L3(2)分别将闭区间 , 三等分,并出去中间两个开区间 =( , ), =1.2. 1.2I92.I( , ).得到四个闭区间 =0, 、 = , 、 = , 、9781.2F92.
13、313.2F7= ,1,区间长度为 = .4.2FL3(3)一般地,仿此继续下去,到第 次,除去了 个开区间,得到 个闭区间,n12nn2,区间长度 .我们得到集合列 (nn2.2.1. 031F.1.nnF2.).作集合，1nFC称集合 为 Cantor(三分)集.定理 3.2 Cantor 集合是不可数集.长春师范学院本科毕业论文（设计）10证明 如果一个集合 与 11 对应,则 是不可数的.其中 是由两个数EDED字重复排列而得到的序列,如 0.110001110构成的集合= | =0 或 1, =1,2,不可数.D.021bnii我们对于 上的点,用三进位表示法来表示.构建 Cantor 集合时,每次都把区间 三等分 ,并且除去了中间的开区间,三进位表示方法为：1,0上的点,每一次三等分后,依据它在三个区间的位置,对应位数依次记为0,1,2,如下图所示：0 1ABC第一次三等分 0.0 0.1 0.2第二次三等分 0.00 0.01 0.02 0.20 0.21 0.22第三次三等分0.000 0.001 0.002 0.020 0.021 0.022 0.200 0.201 0.202 0.220 0.221 0.222由上述图示可知,Cantor 集合中的点三进位表示法中仅出现数字 0 和 2,不含数字 1,即 (Cantor 集合),则 可以表示为：Cxx
