1、高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班第1 页平面几何（四点共圆）冲刺讲义_班_号 姓名_一、知识准备以下简单介绍讲义可能涉及的一些简单的知识：1.欧拉线： 的垂心 ，重心 ，外心 三点共线 .此线称为欧拉线，且有关系：2.九点圆定理：三角形的三条高的垂足、三边的中点，以及垂心与顶点的三条连接线段的中点，共九点共圆。此圆称为三角形的九点圆，或称欧拉圆. 的九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点九点圆的半径是 的外接圆半径的 .3.三角形内心与旁心的性质： 的内心为 ，而 边外的旁心分别为 ；分别是三条内角平分线， 交三角形外接圆于 ， 交 于 ，则：三角形过同一顶点的内、外角平分线互相垂
2、直； ， ； （角平分线定理）； （“鸡爪”定理）.二、例题分析例1. 是 的外接圆 的直径，过 作圆 的切线交 于 ，连接并延长 分别交 、于 、 ，求证： .高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班第2 页证明：过 作 的平行线分别交 、 于 、 ，则 .取 中点 ，连接 、 、 、 .， 四点共圆. ，而由 ，有 .， 四点共圆.，而 ， ， .而 是 的中点， 是 的中点， .例2.等腰梯形 中， ， ， 分别是 ， 的内心， 是直线 上的一点， ， 的外接圆交 的延长线于 .证明： 高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班第3 页证明：，故 共圆，则 ，因此 ，而 ，所以， ，由
3、此， 例3. 在 中， ，内心为 ，内切圆在 ， 边上的切点分别为 ， ，设 是关于点 的对称点， 是 关于点 的对称点.求证： 四点共圆.高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班第4 页证明：设直线 交 的外接圆于点 ，易知 是 的中点，记的中点为 ，则 设点 在直线 上的射影为 ，由于 则半周长 ，于是 ，又所以 ，且相似比为 ，熟知： 。又 ，所以 ，即 是 的中点进而 ，所以 都在以 为圆心的同一个圆周上例4.设A、B 为圆 上两点，X为 在A和B处切线的交点，在圆 上选取两点C、D使得C 、D、X依次位于同一直线上，且CABD，再设F、G分别为CA和BD 、 CD和AB的交点，H
4、为GX 的中垂线与BD的交点证明：X 、F 、G 、H四点共圆证明：设O为圆心，ABXO = M XOAXAM， OXXM = XA 2 = XCXD Z高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班第5 页 O、M、C、D四点共圆 XMO = OCD = ODC = OMC CMG = GMD在CM上选取一点E使MX DE，则MD = ME在GX上取点X ，使 GFD = DFX，在XF上取W使CF GW由 得 CGX D = XCGD由上面两式得 = ，故X = X GFD = XFD又 = 1和XPB = CDF 1 H 和B在CX的同一侧设H为直线 BF与GFX外接圆的交点，则HXG =
5、HFG = HFX = HGX HG = HX， H = H X、F、G 、H 四点共圆，得证注：上述证法比较麻烦，本题实质如下：易知 为调和点列，又 ，可得 为 的平分线，设 外接圆交 于 点，由“鸡爪”定理知 ，从而 在 的中垂线上，本题得证.例5.ABC中，E 、F分别为AB、AC 中点，CM、BN 为高，EF交MN于P，O 、H分别为三角形的外心与垂心求证：APOH高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班第6 页证明：由BMC = BNC = 90知 B、C、N 、M 四点共圆 AMAB = ANAC又 AE = AB, AF = AC， AMAE = AN AF，即E、F、N 、M
6、共圆注意到由AMH = ANH = AEO = AFO = 90知AH、AO分别为 AMN、AEF外接圆的直径过AH中点H 与 AO中点O分别为 AMN与AEF的外心，且易知 OHOH 只需证AP OH，只需证A、O 为 AMN、AEF外接圆的等幂点即可注意到A为两圆公共点，而由E、F、N 、M 共圆知 PM PN = PEPF故 P也为等幂点综上所述，原命题成立例6.设ABC 内接于圆O ，过A作切线PD ，D 在射线BC上，P在射线DA 上，过P作圆O的割线PU，U在BD上， PU交圆 O于Q 、T且交AB、AC 于R、S证明：若QR = ST，则PQ = UT高中数学奥林匹克-2018年
7、7月暑假培训班第7 页证明：过O作OKPU = K，OFBU = F，连结AK 延长交O于另一点E，过C作CHPU交AE于G，交AB于H，连GF 、OP、OU、OA、OE 由垂径定理知BF = FC, QK = KT，且QR = ST RK = KS 即K是RS的中点，且CHPU = = = = 1 HG = GC由中位线定理知 FG BH FGE = BAE = BCE F、G 、C、E共圆 EFC = EGC = AGH = UKG EFO + OKE = OFC + CFE + OKE= 90 + UKG + OKE= 90 + 90 = 180 K、 O、F 、E四点共圆 又 OKU
8、+ OFU = 290 = 180， K、 O、F 、U四点共圆 结合知K、O、F、E、U 五点共圆， KUO = KEO又 PA为O切线 OAPA，且 OKPU KEO = KAO KPO = KUO OP = OU又 OKPU， PK = UK而QK = TU， PQ = UT ，得证例7.AB、AC为 O切线，ADE为一条割线，M为DE 中点，P为一动点，满足M 、O、P三点共线，P高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班第8 页为以P点为圆心、PD为半径的圆证明： C点在BMP外接圆与P的根轴上证明：作PRAC ，其延长线交BC 延长线于S OMA = OBA = OCA = 90，
9、 A、C、O、M、B五点共圆 BMP = BMA + 90 = BCA + 90 = 180 RSC B、M 、P、S四点共圆 C对 BMP外接圆的幂为 CBCS = 2CA CR而C对P 的幂为CP 2PD 2 = CP 2AP 2AD AE = CP 2AP 2 + AC 2= CR 2 + RP 2 PR 2AR 2 + AC 2= CR 2 CR + CA 2 + CA 2= 2RC CA C点对P的幂等于C点到BMP外接圆的幂 C点在上述两圆根轴上，得证高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班第9 页例8.设H为ABC的垂心，D、E、F为ABC的外接圆上三点，使ADBE CF，S、
10、T、U 分别为D、E、F关于边BC 、CA 、AB 的对称点求证： S、T、U 、 H四点共圆证明：先证引理：ABC外接圆 O与它的九点圆 V关于 ABC的垂心 H位似，且位似比为 引理的证明：设AH、BH、CH分别交边BC 、CA、AB于O、E、F，交 O于D、E、F易知HD = HD, HE = HE, HF = HF DEF与 DEF关于H位似，位似比为 DEF外接圆与 DEF外接圆关于 H位似，即 O与 V关于H位似，位似比为 回到原题：设BC、CA 、AB中点分别为X、Y、Z，过D 作DPBC，交O 于P，设PH中点为W易知SDBC，设PS交BC于X，则由SD关于BC 对称知SX =
11、 XD X为BC中点，即X与X 重合，即P 与S关于X对称同理P与U、T分别关于 Z、Y对称 四边形USHT 与四边形ZYWX 对称由引理知Z、X、Y 、W四点共圆 U、T 、H、S四点共圆，得证高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班第10页例9.给定锐角ABC，过A 作BC的垂线，垂足为D ，记ABC的垂心为H ，在 ABC的外接圆上任取一动点P ，延长 PH交 APD的外接圆于Q求Q 点的轨迹解：Q点轨迹为ABC 的九点圆如图，取AH、BH、PH 的中点M 、N 、K，延长AD交ABC外接圆于G则熟知HD = DG，连接KN、MN、KD、PB 、PG因为各取中点有NKD = BPG, NMD = BAG K、 N、M 、D 四点共圆又Q在APD的外接圆上， PHHQ = AHHD，即 2KH HQ = 2MHHD KHHQ = MHHD于是有K、D、Q、M、N五点共圆又DMN 外接圆为九点圆，所以Q 在九点圆上反之，在如上所述九点圆上任取一点Q ，设Q H延长线交ABC外接圆于P，取PH中点R，同上可证R在九点圆上故 2RH HQ = 2 MHHD，即PHHQ = AHHD
