1、用心灵点燃智慧的火花,图形的剪拼初探” 专题研究课课例分析,浙江绍兴县教师发展中心 姚志敏(邮编312030,电话13588570402 ),金秋十月，在风景怡人的西子湖畔，为期两天的“智慧课堂2009西湖之秋”浙江省初中数学名师课堂教学展示峰会在浙江教育学院隆重举行。开课的八位老师均是来自浙江省各市县教学一线的名优教师，有的是全国优质课一等奖获得者,有的是省优质课一等奖获得者,他们代表了浙江省初中数学课堂教学的较高水平。八位老师，多种风格，不同课型(有新课，有复习课,也有专题研究课),竞台亮相，尽显风流。这不仅是一次高水平的课堂展示活动，更是一次对如何打造“高效、智慧”数学课堂的深入探讨。作
2、为本次活动的全程参与者，又是作为特邀的评课专家,感触良多，奈何笔力不胜，无法描绘所有授课教师的风采，故撷取杭州市文澜中学卜春兰老师的一节“图形的剪拼初探”专题研究课进行总结回顾，愿与同行一起品评、商榷，以期有所收益。,引入：（显示弦图）,师：同学们应该非常熟悉这张弦图， 2002年在北京召开的国际数学家大会就是用这张弦图来作为会标。这张弦图非常巧妙地通过图形的拼割利用面积关系证明了勾股定理。我们一起来看一下，大正方形的面积是c2，它被分割成了5个部分，四个直角三角形的面积是2ab，里面小正方形的面积是（b-a）2，从而证得了a2+b2=c2.对图形进行剪拼，是学习几何不可或缺的重要一环，也是现
3、在中考的一个热点这节课我们一起来剪拼图形，从中去发现一些数学知识。,点评：以一张非常熟悉弦图引入，这张弦图非常巧妙地通过图形的拼割利用面积关系证明了勾股定理。卜老师以一句简短的导语引出课题“这节课我们一起来剪拼图形，从中去发现一些数学知识”，开门见山，干脆利落。同时以2002年国际数学家大会会标激趣引入，（这里蕴含了图形的变换思想与面积思想）极大地激发了学生对剪拼图形进行探究的欲望。,师：下面我们开始研究图形的剪拼。,问题一：两张完全相同的正方形纸片，你能把它们进行分割，重新拼成一个正方形吗？,生1：能。只要沿对角线剪开就可以。,师（把拼图用吸铁石吸在黑板上，并进一步追问）：为什么要这样剪，你
4、是怎么想的？,学生1回答后，教师补充归纳出：因为剪拼前后形状改变，但面积始终保持不变，每个小正方形的面积是a2，所以我们要拼的正方形的面积是2a2，由此，可以算出要拼的正方形的边长是，所以我们想到了沿对角线剪开来拼图。,点评：卜老师抛出的“问题一”，既是对等积变换和简单图形剪拼的复习，又为后续展开作准备。利用图形的剪拼再通过等积变换来展开，体验图形剪拼的重要性。老师的进一步追问：为什么要这样剪，你是怎么想的？及时引导学生对裁剪线、拼法的探究，这是剪拼的难点。师生一起根据形变积不变，求出正方形边长为，依据这个特征数据，寻找裁剪方法，同时考虑拼图时会出现的直角、平角等，故剪时要有意识地注意到怎样形
5、成互余角、互补角等问题。,当学生已初步领略到剪拼的真谛时，教师把活动内容一变，把两个正方形的边长变成1和2 ，抛出了问题二的探究.,问题二：若如图所示的两个正方形的边长分别是2和1，你能重新分割，拼成一个正方形吗？,(这一问题有一定的难度, 卜老师先出示了如图的网格图形让学生独立探究:,师：要使我们一刀剪下去就能成功，关键是要确定剪裁线，你觉得我们第一步要做的是什么？,生2：求出要拼的正方形的边长。,（画一画：）,师：这条剪裁线的位置可以在在哪儿呢？画出了要拼的正方形的边长，这个正方形是否可以画出？怎么拼呢？,学生3回答，教师黑板上画图示范，并追问的线段是否可以在其他位置呢？,学生尝试在教师提
6、供的课堂作业纸上画剪裁线，教师投影学生剪拼的几种方案,并一一作出分析和点评.等等.,并继续问：你是怎么画出的？,生4：确定一条的线段后，作垂线段。,生5：找到四个相对应的点分别连接，使连接后的四条线段都是长,师：同学们确定剪裁线的方案基本上是两种。一种是得到一条的线段后，作垂线段；另一种是得到四条长度为的线段再连接而成。为什么这样剪裁所得到的四边形是正方形？,卜老师再引导学生证明两种剪裁方式所得到的四边形是正方形。,学生6、7回答，教师板书证明过程。,学生分小组拼图，（想象力丰富的同学可以直接在图中标出哪一块拼到哪儿，用数据标出即可。喜欢动手的同学可以剪一剪，拼一拼，你能拼出几种？,投影展示各
7、种拼法。,问题解决后师生共同总结出剪拼正方形的方法步骤：,1、计算面积；2、求出边长；3、确定剪裁线；4、拼图,点评：卜老师为了抛出“问题二”, 先出示了田字形网格让学生独立画,这样降低难度的探究,是使学生的探究活动衔接自然,因为学生有了前面的基础，此时寻找剪裁线已有了方法，即寻找剪裁线为,学生很自然地想到在网格中连一条线,使构成的直角三角形的一条直角边为1,另一条直角角边为2 就可以找到剪裁线为,教师再适时引导学生证明两种剪裁方式所得到的四边形是正方形。这体现数学思维的严密性、严谨性。同时出示和点评学生的四种剪拼方法,体现了数学思维的发散性.在拼图后基础上, 师生共同总结拼正方形的方法步骤,
8、为接下来的探究一般规律的“问题三”作好了铺垫.,问题三：两个边长任意不妨分别记为a,b的正方形，你能重新分割，拼成一个正方形吗？,生8：应该还是用跟刚才一样的方法。只是现在拼后的正方形的边长变了。,师：前面的拼法是否还成立？,师生一起分析，教师并用几何画板演示说明，“问题二”中所展示的4种拼法中的第一和第四种不能拼成，其余方法都能拼成。,师：现在请同学们再仔细观察我们拼的这一个图，这个图就是三千多年前我们的祖先拼出的青朱出入图，若把拼出的正方形的边长记为c，由拼图（教师讲解，动画演示青朱出入过程）可知：，而a,b,c恰好是直角三角形的三边。所以刚才我们用拼图的方式验证了勾股定理。这幅青朱出入图
9、在大数学家华罗庚的建议下，被我国第一颗人造卫星“东方红一号”载上了太空。非常有意义，我们班的同学也非常伟大，今天拼出了能载入太空的青朱出入图。,点评：在上面探究的基础上卜老师不失时机地提出了“问题三”：两个边长任意，不妨分别记为a,b的正方形，你能重新分割，拼成一个正方形吗？前面的拼法是否还成立？学生由于有前面活动经验和剪拼的原则，能较为顺利解决“问题三”。这样的设计体现了从特殊到一般的数学思想,卜老师又进一步指出：刚才拼成的图中，第三个图就是三千多年前我们的祖先拼出的青朱出入图，这幅青朱出入图在大数学家华罗庚的建议下，被我国第一颗人造卫星“东方红一号”载上了太空，非常有意义，今天同学也非常伟
10、大，拼出了能载入太空的青朱出入图，这是课堂上实施的很有效的激励性评价，既是对学生学习成就的认可，也能更好地激励学生的探索热情与爱国情怀，可谓极佳的评语。,师：(启发提问)如图(1)拼法是把大正方形分割成四块三角形，拼在小正方形的四周，刚好拼出了一个大正方形。请同学们思考一下，能否把大正方形分割成四块完全相同的其他形状，如图(2)，再拼成一个大正方形状吗？,生9：应该可以吧。,师：怎样才能把正方形分成四块完全相同的形状呢？,生10：经过对角线交点作两条互相垂直的线段，,师：很好，那么我们现在沿这两条折痕剪开，请同学们拼一拼，你能拼出来吗？（学生拼图后教师动画演示）,师：拼后的正方形的边长在原图形
11、中是哪一条线段，你能找出来吗？四个直角呢？,生11：一一回答正确。,师：现在我们再进一步，你把如图(3)的正方形ABCD剪成不完全相同的四部分，再拼成大正方形吗？若能，你觉得剪裁线EG、FH应满足什么条件？,学生回答后，拼图(4)，教师并结合动画说明。,师：根据刚才拼图(4)的方法，已经能把已知的两个小正方形拼成一个大正方形的同学请举手。,绝大多数同学都举手。,师：同学们都很聪明，没有弄明白的同学不妨自己课后再去试一试。接下去我们再来看另一个问题。,点评：当难点突破后，就容易出现各种不同情况的剪拼，这时教师提出能否把正方形剪成相同四块拼在小正方形旁。有前面的基础，学生的探究就在对角线上作适当变
12、换完成。即：经过对角线交点作两条互相垂直的线段，沿这两条折痕剪开拼一拼。接着教师提出新问题把正方形ABCD剪成不完全相同的四部分，能拼成如图(4)的形状吗？若能，你觉得剪裁线EG、FH应满足什么条件？在原有几种剪拼方法的基础上，学生又探索到：只要找到的裁剪线，再找一条与之垂直的另一条线剪开，就能把已知的两个小正方形拼成一个大正方形。这时好多学生已热情高涨了。,师：(小结)在前面的拼图过程中，通过拼图证明了几千年前我们祖先发现的勾股定理，把一个式子用图形直观地表示出来，体现了数形结合思想。通过拼图，实现了图形的转化，这里把两个正方形的问题转化为一个正方形，体现了转化思想。这两种思想方法都是非常重
13、要的数学思想方法，希望同学们通过今天的学习，能对此有更深刻的理解。下面我们来应用一下刚才学到的知识。,问题四：(拓展应用) 若有如图所示的5个边长相同的正方形，你能重新分割，拼成一个正方形吗？,点评：一语激起千层浪！很多学生跃跃欲试。,学生小组合作练习解决，在教师提供的课堂作业纸上画出剪裁线，用数字标出拼图方案。（可以通过剪拼帮助解决）,随后投影展示各种拼图方法。,问题五：如图，将正方形沿图中虚线（其中xy）剪成四块图形，用这四块图形恰能复原成一个矩形（非正方形）,（1）画出拼成的矩形的简图； （2）求 的值,师生共同解决，学生回答，教师板书。,点评：最后在学生掌握剪拼的基本方法的基础上，出示
14、了二个应用，使学生的活动推向高潮，第二个应用更是拓展性应用，正方形既可以剪拼成正方形,正方形也同样可以剪拼成矩形,是对本堂研究课的外延的拓展.可从已拼好的图形中分解，并完成图中隐含的等量关系来求出。,小结：,师：图形的剪拼似乎是一种儿童游戏，但是通过拼图却能解决数学中的许多问题。这节课你获得了哪些知识，有哪些感想？有了哪些收获？请你说出来与大家分享。,学生一一交流回答后，教师补充总结：拼图中蕴涵了许多数学知识，从边、角的视角看：相等的边拼到一起，互余的角构成直角，从图形的整体看，其中有面积关系，相似图形。当然有时候也可以从图形的内部看，其实，研究任何一个图形都可以从这几个视角出发。同学们在以后
15、的学习过程中可以用心去慢慢体会。,（1）图形的剪拼要抓住本质特征：形状改变，面积不变,（2）几点注意：思维的严密性、严谨性,（3）体验三种思想：图形变换思想（旋转、平移、轴对称），转化思想，数形结合思想。,华罗庚的一首诗： 数缺形时少直觉，,形少数时难入微。,数形结合百般好，,隔离分家万事休。,结束语：数形结合是多么神奇。我们这节课只是探究了剪拼正方形的情况，所以老师把它叫做初探，实际上还可以把矩形拼成正方形，三角形或任意四边形拼成平行四边形、矩形或正方形等等。课后同学们可以自己确定尺寸去试一试，并把自己的研究成果一一记录下来，和老师、和同学一起交流，好吗？,点评：小结语也精彩，总结出图形的剪
16、拼要抓住本质特征。课堂结语道出图形的剪拼不只停留于正方形，拓展了学生的思想空间，带着问题走出课堂，真正把课内研究向课外研究延伸。,总评：这是一节精心设计的且比较成功的数学专题探究课，从教学设计到课堂驾驭上都体现出教师深厚的教学功底。整堂课以五个问题的解决串成一条教学主线，所选素材既紧扣教材又超越教材，把听课老师带入了一个全新的视野。清晰的课堂主线，灵活的解题方法，多种数学思想的渗透式教学，执教老师让大家领略了真正研究型教师的风范。,卜老师恰当地设置了五个剪拼问题，以此作为承载核心知识和培养能力的载体，整堂课围绕剪拼正方形这条主线贯穿教学过程，主线明确；体现出运动变换，数形结合，特殊到一般，方程
17、思想、转化思想；观察、实验猜想推理的课堂教学。教学主体部分紧紧围绕剪拼正方形层层设问递进，在学生对教学内容感觉冲突、矛盾时，及时抓住切入的良机，适时提出具有思考价值的问题，不断激发他们思考和探索的兴趣，有效化解学生的认知冲突，变矛盾为和谐。在剪拼中总结方法、归纳思想，培养学生的动手操作能力，增强了对图形的感知能力，进一步提高了学生自觉运用数学知识解决问题的能力。,其次，卜老师将多媒体的辅助作用和教学指导有机地结合起来，多媒体课件起到锦上添花的作用。特别是借用多媒体展示剪拼的过程和剪拼后的效果，直观生动，使学生在解决剪拼正方形问题的过程中提高了数学思维能力。,整堂课在剪拼正方形的探究活动中，牢牢
18、抓住“图形剪拼的实质就是形状改变、面积不变”这一数学本质，学习了图形变换思想，转化思想，数形结合思想，体会了数学思维的严密性、严谨性。教师与学生一起在不断合作、探究中一路走来，师生互动频繁，数学活动真实有效。老师又能适?弊被谑疃薪沂臼谋局剩翁靡汛锏绞寡吵叵匪畛丶耍锏缴钏几叱龅慕萄?,总体而言，这既是一堂能采用新理念新思路的专题探究课，又是一堂能大胆整合教材，培养学生能力的创新课，教师的理性引领犹如火种，点燃学生头脑中智慧的火花，师生在合作探讨中共同向思维的纵深处行进，彼此用心感悟，用智慧打造科学高效的课堂，值得我们学习与借鉴。,(作者：姚志敏：浙江省特级教师、正教授级中学高级教师，身份证号330621196106276637 ),
