1、 1 高中生数列学习中的理解障碍及对策研究 石龙中学 杨波 【 摘要 】 “理解”已成为数学教育界继“问题解决”之后所关注的又一中心话题 .本文运用问卷调查法和测试法对笔者所在学校及部分兄弟学校的高二年级的学生展开了调查，分析了高中生数列学习中的理解障碍的类型及 产生的原因， 提出了克服数列理解障碍的对策 . 【 关键词 】 数列学习；理解障碍；对策 1 研究的背景 在当今世界，“理解”已成为数学教育界继“问题解决”之后所关注的又一中心话题 .美国教育学家 G.M.Bleinkin 曾说过：“教育不在于获得有用的知识或技能，而 在于发展求知能力，不在于学习而在于达成理解” .这就是说学习是作为
2、获取理解的手段，理解是教育的目的 .英国哲学家波兰尼也指出：“理解对于任何的认识过程来说是不可或缺的未被理解的东西不能说是已被认识 .”这说明理解是获得知识的一种重要手段，学生只有对新的知识通过理解、转化进入到自己原有的知识结构，才能得到发展 . 数列是一种特殊的函数，是中学数学知识的重要组成部分， 是初等数学和高等数学的一个重要衔接点 ,是历年高考必考的重点内容之一 . 2009 年高考数学考试大纲对数列部分的要求是“ 能在具体的问题情境中识别数 列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题 ”，也就是说新课程的考试大纲对数列的要求已经达到了“理解应用”的程度 . 笔者发现，学生在学
3、习数列时，能熟练地背出概念，却不能正确运用它解决有关问题；有些老师也讲评过多次、学生练过多遍的数列问题，过一段时间后学生又不会做了 .经过了解，发现教师在教学过程中不太注重引导学生探究知识的来龙去脉，而是把重心放在数列公式、性质的应用上，用大量的训练替代对知识的理解 .在这种教学环境下，学生完全处于一种被动接受知识的状态，从而导致他们不得不死记硬背题型来解题，对数列的知识 没有形成自己的理解 ,当他们在遇到没有练习过的数列题时就无从下手，引起心理上的挫折感，认为数列很难学 . 2 调查结果统计 为了对高中生在数列学习中的理解障碍的情况有个整体的了解，笔者结合自己的教学工作实践，对本校及部分兄弟
4、学校的 2465 名高二学生进行了有关的测试和调查，搜集了相关资料，为本课题的研究提供了比较真实、可靠的依据 . 2.1 高中生“理解数列知识”情况的问卷调查结果统计 （调查问卷见附录 1） 1 2 3 4 5 6 7 题号 选项 2 A 7.3% 21.9% 69.8% 16.7% 58.2% 3.1% 19.8% B 38.5% 39.6% 24.0% 40.6% 35.7% 16.7% 36.5% C 52.1% 33.3% 5.2% 40.6% 2.2% 41.6% 36.5% D 2.1% 3.1% 1.0% 1.2% 3.9% 38.6% 6.2% E 0% 2.1% 0% 0.9
5、% 0% 0% 1.0% 2.2 高二学生数列理解水平测试结果统计 （测试卷见附录 2） 1 2 3 4 5 6 7 正确 11.3% 48.2% 71.1% 14.5% 93.1% 33.4% 80% 错误 88.7% 51.8% 28.9% 79.8% 4.3% 64.3% 20% 没做 0% 0% 0% 5.7% 2.6% 2.3% 0% 以上调查数据表明，学生在学习数列知识时，存在对数列知识的理解方面的障碍，学习效果不够理想 . 3 高中生数列学习中的数列理解障碍的类型及成因分析 根据调查问卷和测试卷的结果，结合课堂提问、学生作业、单元练习等情况，我把高中生数列学习中的理解障碍的类型归
6、纳为三种类型，并分别对其成因作了初步的分析 . 3.1 表象型理解障碍及成因分析 这是一种低层次的理解障碍，主要是指学生经过一段时间的学习，对于初始概念、简单的数学名词、短语等，暂时不能形成正确的表象，由此对于后面知识的理解产生影响，造成理解障碍 .笔者在教学实践中经过大量的观察和分析，发现学生在理解基本数学概念时，这类障碍经常发生，而且在后进生当中比较常见 .在问卷调查中，当学生被问到“通常在学完一节数列的新课时，你感觉对所学知识的理解情况如何 ?” 38.5%的学生感觉自己 “理解得较好，且能初步运用有关知识”，有 52.1%的学生认为“有时能理解，有时 理解不好，可以模仿应用”，有 2%
7、左右的学生认为“很少理解” .说明有一半的学生在学完一节新课后只能达到“模仿”水平 .调查还发现有 58.2%的学生记忆数列的概念、公式是靠死记硬背，没有真正领悟其中的含义，造成解题时只能硬套题型，无法灵活解答 . 例 1（测试题 6）已知等比数列 na 中， 29,2333 Sa，则 1a =_. 此题有 52.9%的学生只写了一个答案 23 ， 11.4%的学生只写了另一个答案 6，两个答案都没做到的有 6.8%，还有 2.3%的学生没做 .学生对等比数列求和公式没有形成正确的表象，没有理解求和公式中为什么要对 q 进行分类讨论 .事实上，如果学生能理解等比数列求和公式的推导过程，就知道求
8、和时为什么要对 q 进行讨论了 . 例 2 已知数列 na 中， 21a ， )(2 *1 Nnaa nn ，则数列 na 的前 n 项和 nS 为 _. 这是一道简单的数列求和问题，但仍有相当一部分学生在解题时没有发现该数列是等差数列，题号 结果 3 而用了“累加法”求解，既浪费时间，又容易出错 .究其原因，主要是学生只知道死记硬背数列公式，没有理解公式的意义，所以当公式稍稍变形时，他们就无法转化为熟悉的题目 .对刚学完或学完时间不太长的概念，这个问题还不太突出，如果时间稍长，对概念 记忆模糊不清、似是而非的矛盾就会暴露出来，这种情况在后进生中普遍存在 . 通过对上面两个例子的分析，我认为表
9、象型理解障碍的形成原因主要是： （ 1）学生对数学符号的认知错误影响他们形成正确的表象 .由于数学是一门高度抽象的学科，因此不可避免地产生某些概念、原理超出学生认知水平的现象 .特别在数列的教学上，数学符号的认知对学生来说是一大难点 . （ 2）教师不重视设置直观情境造成表象型障碍 .新课程的课程设置是高一高二每个学期都要学完两本书六个章节的内容，在这样的要求下，教师的每节课的内容非常多，于是很多教师跳过书上 每节概念前的情境，将数学和生活脱离开，直接进入数学学习，使得数学的抽象性更加明显，学生理解概念更加困难 . 3.2 认知型理解障碍及成因分析 这是在高中数学后进生中比较常见的一种理解障碍
10、 .这种障碍是指学生在理解数学知识过程中，由于原有的数学基础有缺陷，认知结构不完善，从而在理解新的数学知识时产生障碍 .主要有： (1)等差数列与等比数列之间的相似性产生的理解障碍 因为等差数列与等比数列在定义、通项公式、性质等方面都有极大的相似性，学生容易产生混淆，不知解题时该选择哪个公式 .调查发现有接近 20%的学生表示“会将等差数列和等比数列的性质混淆” .产生这种障碍的学生，其数学认知往往处于中下水平 . 例 3 （测试题 3）某地拟建一垃圾处理厂 ,根据调查 ,该地区垃圾的年增长量为 b ,2005 年的垃圾量为 a ,则从 2005 年到 2010 年的垃圾总量为 ( ) A.
11、5ab B. ba 5 C. bba 1 )1( 6 D. ba 156 本题中的词眼 :“年增长量” 对应的数列为等差数列，而“年增长率” 对应的数列为等比数列 ,做测试题时有大约 22%的学生没有分清楚这两个词眼对应的数列不同而错选了答案 C.也就说，当学生学习了这样两个相似的概念后，只是机械地记忆，没有真正理解这两个概念的区别，归根结底，产生障碍的原因是学生原有的认知结构不完善而造成的，知识点的相似性只不过给学生的理解增加了困难，使他们的理解障碍由隐性变为显性 . （ 2）理解数列应用题时产生理解障碍 这类障碍主要是由于学 生在解决实际问题时，缺乏一定的生活常识、经验背景，或是对其他学科
12、的专业术语了解甚少而造成的 .在解数列应用题时，这类障碍最常见 . 例 4 （测试题 7）某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次 (一个分裂为两个 )，经过 4 小时，这种细菌由一个可繁殖成 _个 ? 有 20%的学生做错了这道题，其中除了有 5%的学生是计算出错外，还有 15%的学生是错将此题当成求等比数列的前 n 项和，因为他们不知道细胞分裂后原来的细胞已经不存在了 . 4 （ 3）不清楚概念、命题的特殊性产生的理解障碍 这是由于数列的概念、命题等具有特殊性，当学生用一般的概念、命题的定义去理解时，产生了疑惑、困难 . 例 5 （测试题 2）已知等比数列 na 中的 102,aa 是方程
13、0262 xx 的两根，则 6a 为（ ） A. 3 B. 2 C. 2 D. 22 或 此题有 51.8%的学生做错，其中有将近一半的学生选了 D.对于本例而言，验证 26 a 是否符合题意这一环节，不少学生认为是不必要的，因为 10226 aaa 成立完全可保证 1062 , aaa 成等比数列但没想到 26 a 时，不能使数列 na 成等比！学生对本题产生理解障碍的原因是对等比数列奇数项 、偶数项的符号分别相同这一概念比较生疏，只想到用韦达定理中的两根积求 6a ，却没有用两根和来检查 102,aa 的符号 . 从上面三个例子，可以看出认知型理解障碍的形成原因主要是： （ 1）学生对概念
14、、公式不能真正理解而形成认知障碍 英国学者斯根普指出“对某个事物的理解，指的是将它同化进入一个适当的图式、结构之中 .”这里的意思一是指学习者对新事物的理解要调动起头脑中已有的与之相关的知识结构，使新事物能与之建立联系，并同化于其中，否则就不 能产生理解；二是指这种图式必须是恰当的，否则无法产生理解 . 调查发现有 58.2%的学生是靠死记硬背的方法记忆，他们缺乏对于基本概念的真正理解；有 6.1%的学生很少记公式或不记公式 .在学习过程中，对于数列的概念、公式不能很快的记忆，也不能理解，使得学生无法从自己原有的认知结构中顺利提取到概念公式的有关信息，就会造成他们理解新知识能力差、解题速度慢，
15、对数列学习的信心减少 .不愿意去记忆或不能理解地记忆数列的概念、公式是很多有认知型障碍的学生解题错误的主要原因 . 在调查中还发现有 20%的学生在利用相似的公式解题时会 产生混淆，如等差数列和等比数列的性质、定义等 .原因是在学生的图示中，新学习材料与原有观念之间不具有可辨别性，当学生提取信息时就会产生混乱 . （ 2）教师的传统的“填鸭式”教学影响认知过程 虽然新课程主张鼓励学生多进行自主探究，学生要成为课堂的主体 .但是目前中学课堂采用的大多是“讲授式”的教学方式，教师的教学观念没有得到更新，认为只要老师在课堂上把知识讲清楚、讲明白，知识就可以无条件地灌输给学生，却没有意识到学生的学习过
16、程需要在他们的原有的结构系统上主动建构，由于学生在知识的接受上本来就存在差异，因此那些基 础薄弱的学生的问题就会日积月累，形成认知障碍 . 3.3 联系型理解障碍及成因分析 5 所谓联系型理解障碍是指学生在学习新知识的时候不能有意识地同前面与此相关的知识建构实质性的联系而产生的一种理解障碍 . 在平时的学习中，学生没有养成总结数列与其他数学知识交汇的常见题型及对应的解题策略的习惯，解题时往往是随心所欲，毫无章法，不能对题目进行合理的分析和转化，这就需要教师指导学生平时注意总结各种交汇的题型的处理方法，掌握常见的解题技巧，达到“以不变应万变” . 例 6 （测试题 4）等差数列 na 和 nb
17、的前 n 项和分别为 nS 和 nT ，且132 nnTSnn，则55ba = A32B97C 3120 D149这是一道典型的易错题，测试的结果是有 75%的学生选了 A.他们的思路是：由132 nnTSnn，得13,2 nTnS nn ，而55ba 321316 8104545 TT SS .造成这种理解障碍的原因是他们忘记了初中学的“比和比例的性质”，导致了一种完全错误的推导过程 .这种理解障碍不但会发生在后进生身上，而且也会发生在一些数学基础比较好的学生身上 . 联系 型理解障碍的形成原因主要有： （ 1）学生的基础知识不扎实形成理解障碍 新课程的要求是知识形成的过程是“螺旋式上升”，
18、所以在课程设置上是高一学完函数的内容后紧接着学习立体几何、解析几何中的直线与圆、三角，还有统计，而学生进入高二后对函数和三角的知识已经差不多忘记了，特别是幂函数、指数函数、对数函数中的一些运算法则根本不记得了 .由于有的学生在数学学习上的惰性，不记得的公式不会主动去回忆，去记忆，使得他们在数列学习中，这些旧知识的不完整影响了他们对数列的理解，无法建立它们之间的有效联系，甚至对于教师在课堂上 的有关运算也看不懂 .所以在调查“列式”和“计算”哪个较难时，有 36.5%的学生认为“计算”较难，有 36.5%的学生认为“两个都难” . （ 2）忽视复习旧知形成理解障碍 联系型理解障碍的产生，在很大程
19、度上是由于不能把前后知识联系起来 .在课堂教学中，特别是新课的教学前，很多老师都会帮助学生回忆上节课的所学内容，以建立新旧内容之间的联系 .此时学生在理解与上节课有关的内容的时候会比较少障碍，但是当新课内容涉及高一所学的知识时，学生已经遗忘这些知识，教师又没有有意识地引导学生回忆以前学过的知识，前后知识的条件、 结论，只补充结论性的知识，而不对知识的来龙去脉说清楚，学生仍然不能建立联系，造成学生的联系型障碍 .例如，在等比数列中经常用到指数幂的运算，教师通常是用到哪个公式就复习哪个公式，而不复习与之相关的公式 . 4 克服数列学习中的理解障碍的对策 笔者根据自己的教学实践和查阅有关的研究，针对
20、高中生数列学习中的理解障碍的类型、原因，6 提出以下对策来解决高中学生数列理解障碍 . 4.1 设置适当问题情境，克服表象型理解障碍 新课程理念下的数学教学，应结合具体的教学内容，创设适当的问题情境，让学生经历知识的发生、发 展的过程，从而更好地理解数学知识 .建构主义的教学观认为，“教学是帮助他人发展或改变观念的”，教师的一项重要任务是从学生实际出发，通过提供或设置适当的问题情境或现实实例促使学生思考，引起学生必要的认知冲突，从而让学生最终通过其主动的再发现、再创造构建新的认知结构 . 例如在讲授等差数列前 n 项和之前，先举数学王子高斯小时候计算 100321 的例子 .很多学生知道这个故
21、事，也知道高斯是用什么方法求解的 .这时，教师提出问题： （ 1）如果 改成 99321 ，你能否快速地算出？ （ 2）怎样求 n 321 （ n 为奇数）， n 321 （ n 为偶数）？ （ 3）能否找到一种方法可以求出 n 321 （ *Nn ） ? 由学生熟悉的问题入手，通过层层设问，层层深入，让学生发现：用“倒序相加法”就可以避免对 n 是奇数还是偶数的讨论 .这样学生对“倒序相加法”的优点、适用范围都会有较深的体会 . 4.2 利用变式练习和反例，克服认知型理解障碍 所谓“变式”，是指在直观过程中，从不同角度、方面和方式变换事物非本质的属性，以便揭示其本质特征的过程 .变式训练不是
22、简单的重复，每一次的变式，都可能有助于学习者关注问题的不同的方面，都可能让他们觉得有新的理念冒出，也有可能让他们从不同的角度看问题，因而加深他们的理解，完善他们的认知结构 . 例如对于等差数列前 n 项和的性质：等差数列中， , 232 nnnnn SSSSS 组成等差数列，教师经常会举这道题：已知 na 是等差数列， ,10,100 1 0 010 SS 求 110S .教师可以引导学生用多种方法解答此题 .然后提出此题的变式：已知 na 是等差数列， ,100,30 2 nn SS 求 nS3 .由具体的数字 上升到参数 n ，学生能从这个过程中体会到等差数列前 n 项和的性质对解题带来的
23、方便，加深了对性质的理解 . 在高中数学中有很多概念、法则，学生很容易产生理解障碍 .教师应该对相关概念、法则从正反两方面加以比较辨别，找到容易混淆、模糊的地方，同时注意运用反例和特例鲜明的直观特征，引起学生的注意 . 4.3 补充相应的基础知识，克服联系型理解障碍 要让学生理解新的数学概念，关键是教师要帮学生准备好已有的认知结构，以便组织起新概 念 .如果他们缺乏必需的结构，教师应立即补充，且要达到一定的稳定程度 .教师在讲授新课时，首先要明确新的知识需要哪些预备知识，新课之前的复习不仅仅是上节课所学内容，还应包含新知识所必需的全部预备知识 . 7 例如在学习等比数列的前 n 项和时，会用到
24、很多幂的运算 .有一部分学生因为对幂的运算不熟练或已经遗忘了运算法则，而教师在讲课时过分关注运算而忽视对预备知识的复习，造成联系型理解障碍 .所以，教师不妨先复习一下有关知识，为学生理解新的知识铺平道路 . 5 结束语 在数学的 各个模块的学习过程中，学生都会存在理解障碍，理解障碍的类型和原因也会不同，本文研究了数列学习中的理解障碍，希望能起到抛砖引玉的作用，为以后研究高中生在数学其它模块学习中的理解障碍提供参考 . 附录 1 高中生“理解数列知识”情况的调查 本卷共有 7 道题，请仔细阅读每一道题，然后根据自己的实际情况，从 A、 B、 C、 D 四项中选择一项 .如果这四个选项都不符合你的
25、情况，或者你还有其他想法，请在 E 项中写上自己的观点 . 1.通常在学完一节数列的新课时，你感觉对所学知识的理解情况如何 ?( ) A 理解得很透彻，而且能灵活运用 B 理解得较好，且能初步运用有关知识 C 有时能理解，有时理解不好，可以模仿应用 D 很少能理解 E_ 2.数列的某一节课上完后，你能否自如地与同学或老师交流你的学习收获 ?( ) A 多数情况下可以 B 只能交流其中的一部分 C 理解了但表达不够好 D 理解得很少 E_ 3.你认为“理解”在数列学习中占的地位重不重要 ?( ) A 非常重要 B 重要 C 一般 D 不重要 E_ 4.你认为自己的理解能力处于 ( ) A 较高水
26、平 B 中等偏上 C 中等水平 D 中等偏下 E_ 5. 对于数列的概念、公式，你是怎样记忆的 ?( ) A 死记硬背 B 先 理解后记忆 C 很少记 D 完全不记 E_ 6.你在利用等差数列或等比数列的性质解题时，你会（ ） A 容易将两种数列的性质混淆 B 有时会将两种数列的性质混淆 C 较少混淆 D 一般不会混淆 E_ 7.在解数列题时 ，你认为“根据题意列式”和“计算”哪个比较难？ ( ) A.列式 B.计算 C.两个差不多 D.两者都比较简单 附录 2 高二学生数列理解水平测试卷 8 1.数列 3 6 9 3 61, 2 , 2 , 2 , , 2 .n共有（ ）项 A . 3n +
27、7 B .3n +6 C .n +3 D .n +2 2.已知等比数列 na 中的 102,aa 是方程 0262 xx 的两根，则 6a 为（ ） A. 3 B. 2 C. 2 D. 22 或 3.某地拟建一垃圾处理厂 ,根据调查 ,该地区垃圾的年增长量为 b,2005 年的垃圾量为 a,则从 2005 年到2010 年的垃圾总量为 ( ) A. 5ab B.a+5b C. bba 1 )1( 6 D. 6a+15b. 4.等差数 列 na 和 nb 的前 n 项和分别为 nS 和 Tn，且132 nnTSnn，则55ba （ ） A 32 B 97 C 3120 D 149 5. 已知数列
28、 nS , nSn ,则数列的前 n 项和 na =_ 6.已知等比数列 na 中， 29,2333 Sa，则 1a =_ 7.某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次 (一个分裂为两个 )，经过 4 小时，这种细菌由一个可繁殖成 _个 ? 【参考文献】 1周德建 .函数概念的错误成因的分析研究 D.南京师范大学硕士学位论文， 2004 2朱永伟 .促进高中生数学理解的问题化学习的实践研究 D.华东师范大学硕士学位论文， 2007 3陈琼，翁凯庆 .试论数学学习中的理解学习 J.数学教育学报 ， 2003(01) 4陈显宏 .常见数学思想方法在数列中的应用 J.中学生数理化 (高一版 )， 2007(01) 5陈铁乱 .数列求和的几种常用方法 J.中学理科 (上旬 )， 2007(07) 6丁益祥 .高考数列问题最新研究 J.考试 (高考文科版 )， 2009(03) （责任编辑 况国平）
