1、例说数学核心素养和科学精神彭翕成一、区分知识与素养1.1 数学有用没用？很多人认为数学很重要，但同样有很多人害怕数学，质疑数学在生活中有什么用呢？即使是每天和数学打交道的数学老师，不少都有困惑。有老师说，我除了教数学，还能干什么？言下之意，他所学的数学，除了教学应付考试，此外毫无用处。一个老师给学生讲数学的重要性。举例说，最近买房，是贷款 20 年划算，还是 30 年划算，是等额还款，还是等本还款，考虑我的工资收入以及工资涨幅，还有通货膨胀，我算了好几天，觉得我省了不少。这时，学生说，我家里有五套房。你和学生谈数学的重要性，他会告诉你房子的重要性。国外的调研表明，大多数人认为在工作生活中用到的
2、只是简单的小学数学。如果你不服气，可以做一个实验。假设你有 50 个学生，让学生家长回忆最近一星期的工作和生活，用到了哪些数学。四则运算小学水平、二次函数水平、三角函数水平、微积分水平？你可以把从小学到大学主要数学知识点列一下，让家长勾选。看看结果如何？既然这么多人对数学的有用性提出质疑，就要去想一想，为什么会这样，这些人都是傻子么？事实上，这是因为大家将具体的数学知识和更抽象的数学素养相混淆。米山国藏有一段话，流传很广：在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，一两年后，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻在心中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着
3、眼点等，却随时随地发生作用，使他们终生受益。我很赞同曹亮吉教授的一个观点：学数学学什么？从实用性来说，算术以及一点点几何与代数。从考试角度来说，就是背诵套用公式，做各种计算。但如果换个角度看，万事万物无不隐藏数与形，以及数与形的模式。把学习数学的眼界，从纯粹的数与形以及狭义的规则与定律，提升到隐藏于万事万物中的数与形，以及广义的规则与定律模式。数学不再是枯燥抽象的，再是似乎很有用、但不知用在哪里的知识。经过发现、转化、解题、沟通及评析等种种步骤，把数学与生活以及其他学习领域合在一起，数学才能变得具体而有用。数学知识可能用得少，但数学素养时时影响着我们。1.2 科学精神和数学核心素养概念学生发展
4、核心素养，是指学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力，综合表现为 9 大素养，具体为社会责任、国家认同、国际理解；人文底蕴、科学精神、审美情趣；身心健康、学会学习、实践创新。其中科学精神是指个体在学习、理解、运用科学知识和技能等方面表现的价值标准、思维方式和行为规范，包括三个方面：1.崇尚真知。重点是学习科学技术知识和成果；掌握基本的科学方法；有真理面前人人平等的意识等。2.理性思维。重点是尊重事实和证据，有实证意识和严谨的求知态度；理性务实，逻辑清晰，能运用科学的思维方式认识事物、解决问题、规范行为等。3.勇于探究。重点是有百折不挠的探索精神；能够提出问题、形成假设
5、，并通过科学方法检验求证、得出结论等。具体到数学核心素养，也是三个方面，六个关键词：1：用数学的眼光观察世界，发展数学抽象，直观想象素养。2：用数学的思维分析世界，发展逻辑推理，数学运算素养。3：用数学的语言表达世界，发展数学建模，数据分析素养。数学核心素养是数学课程目标的集中体现。问题是，考试高压使得教学的绝大多数时间都花在应试上，对学生素养的培养关注较少。笔者认为，只要教师加以重视，选取合适的教学案例，采用探究的眼光，无需另外增加课时专门培养学生素养，在日常教学中完全可以逐步渗透。二、通过案例理解素养例 1、数学抽象：龟兔赛跑数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。
6、主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。龟兔赛跑的故事，是大家很熟悉的。兔子本来跑在前面，但由于骄傲，路上睡了一觉，结果输给了乌龟。作为文学作品来说，当然要大力渲染兔子的骄傲自满，乌龟的坚持不懈。而从数学角度来看，则可抽象为下面的行程图。文字转成图象，显得更加简洁直观。但从具体到抽象，难免会丢失一些信息。仅从行程图来看，我们可以编出另一个故事。兔子原本跑在前面，在路上捡到一个钱包，坐等失主，结果眼睁睁地看着乌龟跑到前面去了。内心挣扎啊，可兔子还是坚持等失主，虽然输了比赛，但一点都不后
7、悔。从正版的龟兔赛跑故事中，有人总结出：前进速度虽然慢，但只要坚持不懈，是可以超越那些走走停停、没有毅力的对手的。另外，像水滴石穿、愚公移山这些故事也充分表达了努力坚持的重要性。而从数学角度看来，这些故事都可以用阿基米德原理来表述：对于任意正实数 a(a0)、b，必有自然数 n，使 nab。例 2、直观想象：烟囱也懂微积分正多边形如何逼近圆？直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程。主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。 一个正 n 边形
8、，当边数越来越大，多边形越来越像一个圆。正如刘徽的“割圆术”所述:“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”如何向初学者解释，使之更深刻地理解这一点呢？方式一、画出多个正 n 边形。下图是给出 n=5,8,14 时的情景。方式二、利用动态几何软件，或 Flash 等工具，作出动态图形。也就是将 n 从小到大的图像动态化演示。动态演示，很形象，但需要依靠计算机，没计算机就不好办了。方法1 虽然可以手工完成，但画一个正 14 边形也挺繁琐。还有其他办法么？有一天，我想到了烟囱。造纸厂的大烟囱，大家都见过吧。每一块砖是一个长方体，但从大的格局来看，不妨将之看作是一条直线
9、段。我们用这些砖围成一圈，按道理来说，围成的是一个正多边形。但总体看起来，却极像一个圆（仅考虑烟囱的某个横截面）。烟囱很大，砖块很小。每块砖的长度就相当于正 n 边形的边长，其中 n 就是围一圈所需的砖块数。“以直代曲”是微积分中基本思想之一。很少有人想到烟囱也懂微积分吧！真是生活处处皆数学。同时，本案例也提醒我们，眼见未必为实。烟囱看似是圆，实则是正多边形。 例 3、逻辑推理：荒唐的乘法逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程。主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎。课堂上，学生开小差，老师批
10、评了他，老师说：“就是因为你一个人，耽误了一分钟，全班 50 个人，就耽误了大家 50 分钟，你不觉得愧疚吗？”我不止一次看到有老师这样算账，也没有去思考这样计算是否合理。直到有一天看新闻联播，一位播音员略微卡了一下，停顿了 0.1 秒，我就想，此时若有一千万人在看电视，则耽误了这一千万观众的时间有 107*0.1/3600/2411.57 天。这个播音员罪过不小啊。新闻联播默认是 30 分钟，有时新闻少，最后十几秒就播放播音员整理稿子的场景。这样算起来更加恐怖，耽误了这一千万观众的时间有 107*10/3600/241157 天3.16 年。诚然，公共场合，特别是央视这种大平台，小差错也会造
11、成大的影响。但这种影响很难量化，更不能如此简单的量化。通过逻辑推理，我们发现老师批评学生耽误大家时间的算法，是存在问题的。例 4、数学运算：负数运算与六尺巷数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程。主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等。清康熙年间，张英的老家人与邻居吴家在宅基的问题上发生了争执，因两家宅地都是祖上基业，时间又久远，对于宅界谁也不肯相让。双方将官司打到县衙，又因双方都是官位显赫、名门望族，县官也不敢轻易了断。于是张家人千里传书到京城求救。张英收书后批诗一首云：“一纸书来只为墙，让他三尺又何妨。长城
12、万里今犹在，不见当年秦始皇。“张家人豁然开朗，退让了三尺。吴家见状深受感动，也让出三尺，形成了一个六尺宽的巷子。 此事传为佳话，至今不绝，告诉我们做人做事要忍让包容。联系数学则是，A 和 B 原来挨在一起，A 往一方向走了 3 尺，记为+3，B 往相反方向走了 3 尺，记为-3，此时 A 和 B相隔多远？+3-(-3)=6。此案例对理解负数运算较有帮助。例 5、数学建模：两对父子三个人？数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际
13、问题。有一个经典谜语：古时候，两对父子去打猎，每人都猎得一只老虎，回家数一数，总共只有三只虎。为何？（此问题有各种各样的版本，如：两对父子一起去照相，相片里只有三个人?）原来的谜底很简单，就是爷爷、爸爸、儿子祖孙三代，爷爷和爸爸是一对父子，爸爸和儿子是一对父子。这样两对父子就是三个人。这个看似是脑筋急转弯的问题，如何用数学语言表达，并构建模型加以解决呢？由于虎与人是一一对应的关系，三只虎对应着三个人。一对父子是两个人，另一对父子也是两个人，并在一起，变成了三个人。说明这两个父子集合有重合因素。设两对父子为：父 1、子 1、父 2、子 2。父 1 和子 1 构成父子 1 这个集合，父 2 和子2
14、 构成父子 2 这个集合，两个集合合并，只有 3 个元素，说明这两个集合当中有公共元素。设父 1=父 2，则可推出这两对父子是：一个爸爸+两兄弟儿子。设父 1=子 2，则可推出这两对父子是：爷爷、爸爸、儿子祖孙三代。设子 1=父 2，则可推出这两对父子是：爷爷、爸爸、儿子祖孙三代。设子 1=子 2，这种情况一般不存在，因为一个人不可能有两个爸爸。如果是养父、岳父之类，就另当别论。这样分析发现传统解答漏解。使用集合进行讨论，则不重不漏，所有情况都包含在内。这一过程也是数学建模的过程：将非数学问题转化成数学问题，将数学问题转化成解方程的问题。这样一来，“两对父子三个人”这样的脑筋急转弯问题和下面这
15、道考题本质是一样的：设 ， ，若32,47Aa2324,3,7Baa，则 ， 。25B_A例 6、数据分析：天之道，损有余而补不足从老子到高尔顿数据分析是指针对研究对象获得相关数据，运用统计方法对数据中的有用信息进行分析和推断，形成知识的过程。主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型对信息进行分析、推断，获得结论。老子有一句名言：天之道，损有余而补不足；人之道，损不足而益有余。 我的理解是，自然界的法则是减损多余的，补充不足的，平均化。社会法则则相反，有的让其更多，没有的让其更少，差距增大。譬如自然界削平高山，填平低谷，促成均衡；而社会则是强者愈强，弱者愈弱，形成马太效应。老子这一名言
16、与数学有何关联呢？需要引出高尔顿这个人物。高尔顿研究范围很广，涉及包括人类学、地理、数学、力学、气象学、心理学、统计学等方面，称之为百科全书式的人物一点都不过分。八卦一句，他是达尔文（就是写物种起源的那一位）的表弟，深受其进化论思想的影响，把该思想引入到人类研究。高尔顿很喜欢调查统计，并分析原因，从中找出规律。譬如调查了 30 家有艺术能力的家庭，发现子女也有艺术能力的占 64%；而 150 家无艺术能力的家庭，其子女中只有 21%有艺术能力，因此断言艺术能力这种“特殊能力”是遗传的。当然高尔顿还有其他很多类似的统计，并不只是单单这一个。在这些统计结果的基础上，高尔顿从遗传的角度研究个别差异形
17、成的原因，开创了优生学。父母个子高的，子女一般个子也高；父母个子不高的，子女个子也不高。这是我们普遍认可的一种看法。若仅停留于此，也不足为奇。高尔顿收集分析了 400 名家长和他们的 900 多名成年子女的身高，发表论文遗传中身高的均值回归 ，得出了结论（如图所示）：当父母的身高大于平均水平时，他们的子女往往会比他们矮；当父母的身高小于平均水平时，他们的子女往往会比他们高。这项研究表明，上一代人身高差异较大，遗传之后身高差异将减少，也就是事物经过时间推移，将变得更平均、更稳定。高尔顿因此提出了“均值回归”这个概念。现在知道回归分析是怎么来的了吧。从老子的损有余而补不足，到高尔顿的均值回归，思想上有相通之处。相对于老子的宏观叙述，高尔顿充分利用数据分析的方法，使得结论更加有理有据。数学核心素养虽划分为三个方面，六个关键词，但实则是一个整体。用数学的眼光观察世界，即人从外界输入信息；用数学的思维分析世界，即人处理信息；用数学的语言表达世界，即人输出信息。以上案例充分说明了，数学绝不仅等同于解题，数学与我们的学习、生活、工作息息相关。
