1、八年级平面几何难题集锦1.如图，已知等边ABC，P 在 AC 延长线上一点，以 PA 为边作等边APE,EC 延长线交 BP于 M，连接 AM,求证：（1）BP=CE； （2）试证明：EM-PM=AM.2.点 C 为线段 AB 上一点，ACM, CBN 都是等边三角形，线段 AN,MC 交于点 E，BM,CN 交于点 F。求证：（1）AN=MB.（2）将ACM 绕点 C 按逆时针方向旋转一定角度，如图所示，其他条件不变， （1）中的结论是否依然成立？ （3）AN 与 BM 相交所夹锐角是否发生变化。3.已知，如图所示，在 ABC 和 DE 中， ABC， DAE，BACDE，且点 ， ， 在一
2、条直线上，连接 MN， ， ， 分别为，的中点（1）求证： ； ；NM（2）在图的基础上，将 AE 绕点 按顺时针方向旋转 180，其他条件不变，得到图所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立. 2P BACEMOOFEABA BNCMMCNFECENDABM图CAEMB DN图4.如图，C 为线段 AE 上一动点（不与点 A，E 重合） ，在 AE 同侧分别作正三角形 ABC 和正三角形 CDE，AD 与 BE 交于点 O，AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q，连结 PQ以下五个结论： AD=BE； PQAE； AP=BQ； DE=DP； AOB=60 CP=CQ
3、 CPQ 为等边三角形共有 2 对全等三角形 CO 平分AOP CO 平分BCD恒成立的结论有_（把你认为正确的序号都填上） 5.已知：如图， 是等边三角形，过 边上的点 作 ，交 于点 ，ABC ABDGBC AG在 的延长线上取点 ，使 ，连接 GDEDE，（1）求证： ； （2）过点 作 ，交 于点 ，请你连接 ，并判断F F是怎样的三角形，试证明你的结论E6.如图，以 的边 、 为边分别向外作正方形 和正方形 ，连ABC AABDECFG结 ，试判断 与 面积之间的关系，并说明理由EG EG7.在 ABC 中， 2120ABC， ， 将 ABC 绕点 顺时针旋转角 (090)得 1 ，
4、 交 于点 E， 分别交 、 于 DF、 两点如图AGFCBDEABC EDOP QC G A E D B F 1，观察并猜想，在旋转过程中，线段 1EA与 FC有怎样的数量关系？并证明你的结论；ADBECF1 1ADBECF1 18.如图所示，ABC 是等腰直角三角形，ACB90，AD 是 BC 边上的中线，过 C 作 AD 的垂线，交 AB 于点 E，交 AD 于点 F，求证：ADCBDE9.如图 1，四边形 ABCD 是正方形，M 是 AB 延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点 D，且直角顶点 E 在 AB 边上滑动（点 E 不与点 A，B 重合） ，另一条直角边与CBM的平分线
5、BF 相交于点 F. 如图 141，当点 E 在 AB 边的中点位置时： 通过测量 DE，EF 的长度，猜想 DE 与 EF 满足的数量关系是 ； 连接点 E 与 AD 边的中点 N，猜想 NE 与 BF 满足的数量关系是 ； 请证明你的上述两猜想. 如图 142，当点 E 在 AB 边上的任意位置时，请你在 AD 边上找到一点 N, 使得 NE=BF，进而猜想此时 DE 与 EF 有怎样的数量关系并证明10.已知 中， 为 边的中点，RtABC 90CD， ， AB90EDF，绕 点旋转，它的两边分别交 、 （或它们的延长线）于 、EDF 当 绕 点旋转到 于 时（如图 1） ，易证DEA1
6、2FCABCSS 当 绕 点旋转到 不垂直时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否和成立？若成立，请给予证明；若不成立， 、 、 又有怎样的数量关系？DEFS C ABA BCDEFAEC F BD图 1 图 3ADFEC BADBCE图 2FDCBA请写出你的猜想，不需证明11.已知 AC/BD,CAB 和DBA 的平分线 EA、EB 与 CD 相交于点 E.求证:AB=AC+BD.12.等边ABC，D 为ABC 外一点，BDC=120，BD=DCMDN=60射线 DM 与直线 AB 相交于点 M，射线 DN 与直线 AC 相交于点 N，当点 M、N 在边 AB、AC 上，且 DM
7、=DN 时，直接写出 BM、NC、MN 之间的数量关系当点 M、N 在边 AB、AC 上，且 DMDN 时，猜想中的结论还成立吗？若成立，请证明当点 M、N 在边 AB、CA 的延长线上时，请画出图形，并写出 BM、NC、MN 之间的数量关系13.如图 1， BD 是等腰 的角平分线， .ABCRt90=BAC（1）求证 BC=AB+AD；（2）如图 2， 于 F， 交延长线于 E，求证： BD=2CE；BDABCE14.已知，如图 1，在四边形 ABCD 中， BC AB， AD=DC， BD 平分 ABC。求证： BAD+ BCD=180。15.如图，四边形 ABCD 中，AC 平分BAD
8、，CEAB 于 E，AD+AB=2AE，则B 与ADC 互补.为什么？DBEAC16.如图 4，在ABC 中，BD=CD，ABD=ACD,求证 AD 平分BAC.AB CDAB CDFE图 2一一一4321PAB COED CBA17.如图，在ABC 中ABC,ACB 的外角平分线交 P.求证:AP 是BAC 的角平分线18.如图在四 边形 ABCD 中，AC 平分BAD，ADCABC180 度，CEAD 于 E，猜想 AD、AE、AB 之间的数量关系，并证明你的猜想，19.如图，已知在ABC 中，B=60，ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O，求证：OE=OD20.如图所示，已知在A
9、EC 中，E=90，AD 平分EAC，DFAC，垂足为 F，DB=DC，求证：BE=CF21.如图， OP 是 MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在 ABC 中， ACB 是直角， B=60， AD、 CE 分别是 BAC、 BCA 的平分线， AD、 CE 相交于点 F。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系；EBAC图 2DAECDFBP21D CBAFD AC B（2）如图，在 ABC 中，如果 ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？
10、若成立，请证明；若不成立，请说明理由。22.已知：如图，BFAC 于点 F，CEAB 于点 E，且 BD=CD，求证：（1）BDECDF （2） 点 D 在A 的平分线上23.如图在ABC 中，ABAC，12，P 为 AD 上任意一点，求证;AB-ACPB-PC24.已知：如图， ABC 中， ABC=45， CD AB 于 D， BE 平分 ABC，且 BE AC 于 E，与CD 相交于点 F， H 是 BC 边的中点，连结 DH 与 BE 相交于点 G。(!)求证： BF=AC；(2)求证： CE= 12BF；(3)CE 与 BC 的大小关系如何？试证明你的结论。O PAMNEBCDFA
11、CEFBD图 图 图 DA CBFE25.如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC，BF 是ABC 的平分线，AFDC，连接 AC、CF，求证：CA 是DCF 的平分线。26.数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中点，且 EF 交正方形外角 的平分线 CF 于点 F，求证： AE=EF90AEF DCG经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB 的中点 M，连接 ME，则 AM=EC，易证 ，所以 MC AEF在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图 2，如果把“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上（
12、除B， C 外）的任意一点” ，其它条件不变，那么结论“ AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图 3，点 E 是 BC 的延长线上（除 C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“ AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由A DFC GEB图 1A DFC GEB图 2A DFC GEB图 327.ABC 中，BAC=60，C=40，AP 平分BAC 交 BC 于 P，BQ 平分ABC 交 AC 于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。28.问题背景，如下命题： 如图 1,在
13、正三角形 ABC 中,N 为 BC 边上任一点,CM 为正三角形外角ACK 的平分线,若ANM=60,则 AN=NM图 3MN KEDCBA图 2MN KDCBA图 1MKN CBA 如图 2,在正方形 ABCD 中,N 为 BC 边上任一点，CM 为正方形外角DCK 的平分线，若ANM=90，则 AN=NM 如图 3,在正五边形 ABCDE 中,N 为 BC 边上任一点,CM 为正五边形外角DCK 的平分线,若ANM=108,则 AN=NM任务要求： 请你证明以上三个命题； 请你继续完成下面的探索： 如图 4,在正 （ 3）边形 ABCDEF中,N 为 BC 边上任一点,CM 为正 边形外角
14、n nDCK 的平分线,问当ANM 等于多少度时,结论 AN=NM 成立（不要求证明）. 如图 5,在梯形 ABCD 中,ADBC,AB=BC=CD,N 为 BC 延长线上一点,CM 为DCN 的平分线,若ANM=ABC,请问 AN=NM 是否还成立？若成立,请给予证明；若不成立,请说明理由.图 5MNDCBA图 4N KF EDCBA29.如图，在ABC 中，A=90，D 是 AC 上的一点，BD=DC，P 是 BC 上的任一点，PEBD，PFAC，E、F 为垂足求证：PE+PF=AB30.如图，已知ABC 中，AB=AC=6cm，B=C，BC=4cm，点 D 为 AB 的中点（1）如果点
15、P 在线段 BC 上以 1cm/s 的速度由点 B 向点 C 运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由点 C 向点 A 运动若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后，BPD 与CQP 是否全等，请说明理由；若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使BPD与CQP 全等？（2）若点 Q 以中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿ABC 三边运动，则经过 后，点 P 与点 Q 第一次在ABC 的 边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）31.已知：在ABC 中，ACB 为锐角，点 D
16、为射线 BC 上一动点，连接 AD，以 AD 为一边且在 AD 的左侧作等腰直角ADE，解答下列各题：如果 AB=AC，BAC=90（i）当点 D 在线段 BC 上时（与点 B 不重合） ，如图甲，线段 BD，CE 之间的位置关系为（ii）当点 D 在线段 BC 的延长线上时，如图乙，i）中的结论是否还成立？为什么？32.已知ABC 为等边三角形，点 D 为直线 BC 上的一动点（点 D 不与 B、C 重合） ，以 AD 为边作菱形 ADEF（A、D、E、F 按逆时针排列） ，使DAF=60，连接 CF（1）如图 1，当点 D 在边 BC 上时，求证：BD=CF；AC=CF+CD；（2）如图 2，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，结论 AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出 AC、CF、CD 之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图 3，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD 之间存在的数量关系33.在ABC 中，ADBC, BEAC, D、E 为垂足，AD 与 BE 交与点H，BD=AD.求证：BH=AC BEAD D CBAEH
