1、勾股定理全章复习与巩固第 1 页 共 11 页勾股定理全章复习与巩固(学习目标)1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.(知识网络)(要点梳理)要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边 ab、 的平方和等于斜边 c的平方.（即： 22abc）2.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）求作长度为 的线段.要点二、勾股定理的逆定理1.原命题与逆命题
2、 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 abc、 、 ，满足 22abc，那么这个三角形是直角三角形.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为 ；（2）验证 2c与 2ab是否具有相等关系，若 22c，则ABC 是以C 为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形. 3.勾股数 满足不定方程 22xyz的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数） ，显然，以 xyz、 、 为三
3、边长的三角形一定是直角三角形.常见的勾股数：3、4、5； 5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41.如果( abc、 、 )是勾股数，当 t 为正整数时，以 atbct、 、 为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的、四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差 1.3.假设三个数分别为 abc、 、 ，且 abc，那么存在 2abc成立.（例如中存在272425、 294041 等）勾股定理全章复习与巩固第 2 页 共 11 页要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆
4、定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.(典型例题)类型一、勾股定理及逆定理的应用1、如图所示，直角梯形 ABCD 中，ADBC，B90，AD 35，AB 105，BC85，E 是 AB 上一点，且 AE 45，求点 E 到 CD 的距离 EF(思路点拨)连接 DE、CE 将 EF 转化为DCE 一边 CD 上的高，根据题目所给的条件，容易求出CDE 的面积，所以利用面积法只需求出 CD 的长度，即可求出 EF 的长度，过点 D 作 DHBC 于 H，在 RtDCH中利用勾股定理即可求出 DC(答案与解析)解：过点 D 作 DHBC 于
5、 H，连接 DE、CE，则 ADBH，ABDH， CHBCBH 853 DHAB 105，在 RtCDH 中， 2222()()6CD， CD25， DEAEBCBSS 梯 形11()22BEA135805345865122又 CDESFA ， F， EF10(总结升华)（1）多边形的面积可通过辅助线转化为多个三角形的面积，利用面积法求三角形一边上的高是一种常用的简易方法 （2）利用勾股定理求边长、面积时要注意边长、面积之间的转换 举一反三：(变式)如图所示，在ABC 中，D 是 BC 边上的点，已知 AB13，AD12，AC15，BD5，求 DC 的长(答案)解：在ABD 中，由 22153
6、可知：2ADB，又由勾股定理的逆定理知ADB90在 RtADC 中， 22159CAD类型二、勾股定理与其他知识结合应用2、如图所示，牧童在 A 处放牛，其家在 B 处，A、B 到河岸的距离分别为 AC400 米，BD200 米，CD800 米，牧童从 A 处把牛牵到河边饮水后再回家试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？(思路点拨)作点 A 关于直线 CD 的对称点 G，连接 GB，交 CD 于点 E，利用“两点之间线段最短”可知应在 E 处饮水，再根据对称性知 GB 的长为所走的最短路程，然后构造直角三角形， 利用勾股定理可解决勾股定理全章复习与巩固第 3 页 共 11 页(答案与解
7、析)解：作点 A 关于直线 CD 的对称点 G，连接 GB 交 CD 于点 E，由“两点之间线段最短”可以知道在 E 点处饮水，所走路程最短说明如下：在直线 CD 上任意取一异于点 E 的点 I，连接 AI、AE、BE、BI、GI、GE 点 G、A 关于直线 CD 对称， AIGI，AEGE由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得 GIBIGBAEBE，于是得证最短路程为 GB 的长，自点 B 作 CD 的垂线，自点 G 作 BD 的垂线交于点 H，在直角三角形 GHB 中， GHCD800，BHBDDHBDGCBDAC200400600， 由勾股定理得 22280610GH
8、 GB1000，即最短路程为 1000米(总结升华)这是一道有关极值的典型题目解决这类题目，一方面要考虑“两点之间线段最短” ；另一方面，证明最值，常常另选一个量，通过与求证的那个“最大” “最小”的量进行比较来证明，如本题中的 I 点本题体现了勾股定理在实际生活中的应用举一反三：(变式)如图所示，正方形 ABCD 的 AB 边上有一点 E，AE3，EB1，在 AC 上有一点P，使 EPBP 最短求 EPBP 的最小值(答案)解：根据正方形的对称性可知：BPDP，连接 DE，交 AC 于P，EDEPDPEPBP，即最短距离 EPBP 也就是 ED AE3，EB1， ABAEEB4， AD4，根
9、据勾股定理得： 222345EDA ED0， ED5， 最短距离 EPBP53、等腰直角ABC 中，ACB90，E、F 为 AB 上两点(E 左 F 右)，且ECF45，如图所示：问AE、EF、BF 之间有何关系?并说明理由(思路点拨)：由于ACB90，ECF45，所以ACEBCF45，若将ACE 和BCF 合在一起则为一特殊角 45，于是想到将ACE 旋转到BCF 的右外侧合并，或将BCF 绕 C 点旋转到ACE的左外侧合并，旋转后的 BF 边与 AE 边组成一个直角，联想勾股定理而可得到 AE、EF、BF 之间的关系(答案与解析)解：(1) 22AEBF，理由如下：将BCF 绕点 C 旋转
10、得ACF，使BCF 的 BC 与 AC 边重合，即ACFBCF， 在ABC 中，ACB90，ACBC， CAFB45， EAF90勾股定理全章复习与巩固第 4 页 共 11 页 ECF45， ACEBCF45 ACFBCF， ECF45在ECF 和ECF中： 45CEF ECFECF(SAS)， EFEF在 RtAEF中， 22A， 22AEBF(总结升华)若一个角的内部含有同顶点的半角，(如平角内含直角，90角内含 45角，120角内含60角)，则常常利用旋转法将剩下的部分拼接在一起组成又一个半角，然后利用角平分线、全等三角形等知识解决问题4、已知：如图，ABC 中，CAB120，AB4，A
11、C2，ADBC，D 是垂足，求 AD 的长(答案与解析)解：作 CEAB 于 E，则CAE18012060，在 RtACE 中，CEA90，AC2，ACE30由勾股定理可得 BEABAE4151,3AEC在 RtACE 中，BC 22537由三角形面积公式： . 1ABCD3217BE(总结升华)勾股定理要在直角三角形中才能应用，没有直角三角形要构造直角三角形.类型三、本章中的数学思想方法1.转化的思想方法：我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决5、如图所示，ABC 是等腰直角三角形，ABAC，D 是斜边 BC 的中点，E、F 分
12、别是 AB、AC 边上的点，且 DEDF，若 BE12，CF5求线段 EF 的长.(答案与解析)解：连接 AD因为BAC90，ABAC又因为 AD 为ABC 的中线，所以 ADDCDBADBC且BADC45因为EDAADF90又因为CDFADF90所以EDACDF所以AEDCFD（ASA） 所以 AEFC5同理：AFBE12在 RtAEF 中，由勾股定理得：，所以 EF13.(总结升华)此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识.通过此题，我们可以知道：当已知的勾股定理全章复习与巩固第 5 页 共 11 页线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解.
13、举一反三：(变式)已知凸四边形 ABCD 中，ABC30，ADC60，ADDC，求证：(答案)解：将ABD 绕点 D 顺时针旋转 60由于 DCAD，故点 A 转至点 C点 B 转至点 E，连结 BE BDDE，BDE60 BDE 为等边三角形，BEBD易证DABDCE，A2，CEAB 四边形 ADCB 中ADC60，ABC30 A13606030270 121A270 3360(12)90 2.方程的思想方法6、如图所示，已知ABC 中，C90，A60， ，求 、 、 的值.(答案与解析)解：在 RtABC 中，A60，B90A30，则 ，由勾股定理，得 .因为 ，所以 ， ， ，.(总结升
14、华)在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半.举一反三：(变式)直角三角形周长为 12cm，斜边长为 5c，求直角三角形的面积.(答案)解：设此直角三角形两直角边长分别是 xy， ，根据题意得：由（1）得： 7， 249xy，即 2249xy (3)(3)(2)，得： 直角三角形的面积是 12xy 126（ 2cm）勾股定理全章复习与巩固第 6 页 共 11 页(巩固练习)一.选择题1. 在 ABC中，若 1,2,122ncbna，则ABC 是（ ）A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形2. 如图，每个小正方形的边长为 1，A、B、C 是小正方形的顶点，
15、则ABC 的度数为（ ）A90 B60 C45 D303在下列说法中是错误的（ ）A在ABC 中，CA 一B，则ABC 为直角三角形B在ABC 中，若A：B：C5：2：3，则ABC 为直角三角形C在ABC 中，若 ac， 45b，则ABC 为直角三角形D在ABC 中，若 a：b：c2：2：4，则ABC 为直角三角形4若等腰三角形两边长分别为 4 和 6，则底边上的高等于( )A. 7 B. 或 41 C. 2 D.4或75. 若三角形的三边长分别等于 26、 、 ，则此三角形的面积为（ ）A. 2 B. 2 C. 3 D.6如图，RtABC 中，C90，CDAB 于点 D，AB13，CD6，则
16、 ACBC 等于( )A.5 B. 15 C. D. 597. 已知三角形的三边长为 abc、 、 ，由下列条件能构成直角三角形的是（ ）A. 2 222,4,1ammB. 2221,4,1abmcC. 1 D.8. 如图，已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，AD2，BCDC5，点 P 在 BC 上移动，则当PAPD 取最小值时，APD 中边 AP 上的高为（ ）A.217B. C. D.3二.填空题9. 如图，平面上 A、B 两点处有甲、乙两只蚂蚁，它们都发现 C 处有食物，已知点 C 在 A 的东南方向，勾股定理全章复习与巩固第 7 页 共 11 页在 B 的西南方向.甲、乙两
17、只蚂蚁同时从 A、B 两地出发爬向 C 处，速度都是 30 min.结果甲蚂cm蚁用了 2 min，乙蚂蚁 2 分 40 秒到达 C 处分享食物，两只蚂蚁原来所处地点相距_ .10如图，AB5，AC3，BC 边上的中线 AD2，则ABC 的面积为_11如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边 AB6，BC8，将直角边 AB 折叠使它落在斜边 AC上，折痕为 AD，则 BD_12ABC 中，ABAC13，若 AB 边上的高 CD5，则 BC_13如图，长方体的底面边长分别为 1cm和 3 ，高为 6cm如果用一根细线从点 A 开始经过四个侧面缠绕一圈到达点 B，那么所用细线最短需要_ ,如果从点
18、 A 开始经过四个侧面缠绕 n圈到达点 B，那么所用细线最短需要_ .14已知：ABC 中，AB15，AC13，BC 边上的高 AD12，BC_15. 已知，如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形 OABC 是矩形，点 A、C 的坐标分别为A（10，0） 、C（0，4） ，点 D 是 OA 的中点，点 P 在 BC 边上运动，当ODP 是腰长为 5 的等腰三角形时，点 P 的坐标为_16. 如图所示，在ABC 中，AB5，AC13，BC 边上的中线 AD6，BC_.三.解答题17.如图所示，已知 D、E、F 分别是ABC 中 BC、AB、AC 边上的点，且AEAF，BEBD，CFCD
19、，AB4，AC3， 32BDC，求：ABC 的面积18有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为 6m，8 现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以 8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长19. 有一块直角三角形纸片, 两直角边 AC 6 c, BC 8 c, 如图 1，现将纸片沿直线AD 折叠, 使直角边 AC 落在斜边AB 上, 且与 AB 重合, 则 CD _. ABCHMNAC BD勾股定理全章复习与巩固第 8 页 共 11 页图 1 图 2 如图 2，若将直角C 沿 MN 折叠, 使点 C 落在 AB 中点 H 上, 点 M、N 分别在 AC、BC 上, 则 A
20、M、 2BN与 2之间有怎样的数量关系？并证明你的结论。20. 如图 1，四根长度一定的木条，其中 AB6 cm，CD15 c，将这四根木条用小钉绞合在一起，构成一个四边形 ABCD（在 A、B、C、D 四点处是可以活动的） 。现固定 AB 边不动，转动这个四边形，使它的形状改变，在转动的过程中有以下两个特殊位置。位置一：当点 D 在 BA 的延长线上时，点 C 在线段 AD 上（如图 2） ；位置二：当点 C 在 AB 的延长线上时，C90（1）在图 2 中，若设 BC 的长为 x，请用 的代数式表示 AD 的长；（2）在图 3 中画出位置二的准确图形；（各木条长度需符合题目要求）（3）利用
21、图 2、图 3 求图 1 的四边形 ABCD 中，BC、AD 边的长(答案与解析)一.选择题1.(答案)D；(解析)因为 22211cann4 2nb，所以 22cab，2ab，由勾股定理的逆定理可知：ABC 是直角三角形2.(答案)C；(解析)连接 AC，计算 ACBC ,AB ,根据勾股定理的逆定理，ABC 是等腰直角三角形，ABC45.3.(答案)D；(解析)D 选项 224，故不是直角三角形.4.(答案)D； (解析)底边可能是 4，也可能是 6，故由勾股定理，底边上的高为 24或 7.5.(答案)B；(解析)因为 22，所以此三角形为直角三角形，面积为12.6(答案)B；(解析)22
22、2ACBCABACD1692136325.7.(答案)B； (解析) 141m.8.(答案)C；(解析)如图，过 D 点作 DEBC 于 E,则 DEAB，ADBE，ECBCBE3，在 RtCDE 中，勾股定理全章复习与巩固第 9 页 共 11 页DE ,延长 AB 至 F，使 ABBF，连接 DF，交 BC 于 P 点，连接 AP，这时候 PAPD 取最小值，ADBC，B 是 AF 中点，BP .在 RtABP 中，AP . 二.填空题9(答案)100；(解析)依题知 AC60 cm，BC80 c， AB 22608ACB100 cm.10(答案)6；(解析)延长 AD 到 E，使 DEAD
23、，连结 BE，可得ABE 为直角三角形11.(答案)3；(解析)设点 B 落在 AC 上的 E 点处，设 BD x，则DEBD x， AEAB6， CE4，CD8 x，在 RtCDE 中根据勾股定理列方程12(答案) 2或 5； (解析)当ABC 为锐角三角形时， 22516BD；当ABC 为钝角三角形时， 2256CD.13(答案)10； 2916n； (解析)最 短绕一圈，需要226310cm，绕 圈需要 2268916nn.14(答案)14 或 4；当ABC 是锐角三角形时，BC9514；当ABC 是钝角三角形时，BC954.15.(答案)(3，4)；(2，4)；(8，4)(解析)以 O
24、 为等腰三角形的顶点，作等腰三角形 1OPD，因为1OP5， 14HC，所以由勾股定理求得 13H，所以 14p， ，同理，以 D 为以 O 为等腰三角形的顶点，可求出 23,8,4P.如图所示.16(答案) 261；(解析)延长 AD 到 M，使 DMAD，易得ABDMCD CMAB5 AM2AD12在ACM 中 253 即 22CA AMC90在 RtDCM 中261CDM BC2CD 61三.解答题17.(解析)解： 3B，设 BD3 x，则 CD 2x，由 AEAF，BEBD，CFCD，勾股定理全章复习与巩固第 10 页 共 11 页PHNMCBA即 AF32 x，AE43 x， 32
25、 x43 ，解得 x1 BC3 x2 5又 5，即 2ACB ABC 是直角三角形，A90 1436ABCS18(解析)解：在 RtABC 中，ACB90，AC8，BC6由 勾 股 定 理 得 ： AB 10， 扩 充 部 分 为 Rt ACD， 扩 充 成 等 腰 ABD， 应 分 以 下 三 种 情 况 如图 1，当 ABAD10 时，可求 CDCB6 得ABD 的周长为 32m如图 2，当 ABBD10 时，可求 CD4由勾股定理得： 54AD，得ABD 的周长为 (2045)m如图 3，当 AB 为底时，设 ADBD x，则 CD x6，图 3由勾股定理得： 325x，得ABD 的周长为 8019. (解析)解：3； 2AM BN 2 证明：过点 B 作 BPAC 交 MH 延长线于点 P, APBH在AMH 和BPH 中APBHAHBHAHMBHPAMHBPH AMBP，MHPH又NHMP MNNPBPAC，C90 NBP90 22NPB 2AM B 2N20.(解析) 解：（1） 在四边形 ABCD 转动的过程中，BC、AD 边的长度始终保持不变，BC ，x 在图 2 中，ACBCAB x6，ADACCD x9（2）位置二的图形见图 3（3） 在四边形 ABCD 转动的过程中，BC、AD 边的长度始终保持不变，
