1、补充:特征函数 定义1 设 X是非空全集 ， XA , 称xxA0)(为集合 A的特征函数.显然）XxxBA()(的充分必要条件是 A=B .例如：取 0,1，,2，则特征函数如图图1-13-1 特征函数定理1 （1） 0)(1)( xAxXA AA 充 分 必 要 条 件 是；充 分 必 要 条 件 是 ；（2） ),XBB充 分 必 要 条 件 是 ； （3） )()()( xxBABABA.特别 B时；（4） )()(xxBABA；（5） 1 ；（6） )(min)(,)(max)( xxAAAA ；（7） 设 k是任一集列，则 )(li)()(li)(limlim xxxx kkkk
2、AAAA ；（8） )Xkk 任 意，存 在 的 充 分 必 要 条 件 是存在，且当极限存在时， )()lim)(li XxxkkAA.证明 仅证（3），（7）. ；（3） 任意 Xx，.当 Bx时， )(1)()( xxBAABA ；当 Bx时， )(10)()( xxx BABABA ；同理 x 有 ；当 c)(时，有)(0)()( xxx BABABA .（7） 设 k是任一集列，则 )(lim)()(lim)(lili xxxx kkkk AAAA ；（7） 先证 lilikk任意 kAxXxli,当 ，存在 ik)2,1(使 ikAx，故 1)(ikA，从而 lim()1kA.又由
3、特征函数定义知 lim(1k，所以limlikkxx；当 kli，存在自然数 N， 时取 k， kAx故 0)(xk )(N, li()0kAx从 而，而 lim()0kAx，所以也有 limlikkA，故limkkX.再证 li()li()kkAAxx任意 ,X当limk时，存在自然数 N， 时取 k， kxA故()1kAx)N,从而()1kAx，而 lim()1kAx，所以limli(kkAx；当lik时， lim()0kAx.由下限集的定义知,存在无穷多个 ikA,使,ikx于是 ()0kiAx,从而 k,所以 lim()li()kkAxx,因此lim()lkkAX.第三章 可测函数为了
4、建立新的积分即Lebesgue积分，我们需要介绍一类比连续函数更为广泛的重要函数可测函数，这类函数与连续函数有着密切的联系.首先我们拓广函数的概念，以下我们提到的函数都是指定义在 nR中某点集上的实值函数，且允许它取值 .另外，我们规定：(+ )+（+ ）=+ ，（- ）+（- ）=- ，对于任意实数 a，总有 a+(+ )=(+ )+a=+ ， a+(- )=- ，对于 b0， c0， b( )= ， c( )= ，( )（ ）=+ ，（+ ）（- ）=（- ）（+ ）=- ，0（ ）=（ ）0=0，对 b，o，对 c，o，但（+ ）-（+ ），（ ）+（ ），（- ）-（- ）均无意义.1
5、 可测函数的定义及简单性质可测函数的定义方法很多，本节我们将采用从简单到复杂的方法定义可测函数，即先给出简单函数，再用简单函数的极限定义非负可测函数,然后通过分析非负可测函数的特性给出一般可测函数的定义.一、可测函数的定义及等价定义1简单函数定义1 设 EnR为一个可测集， )(xf为定义在 E上的实函数，如果（1） E=mi1，其中 iE为两两不交的可测集，（2）在每个 i上 )(xf= ic，即 )(xf= 1CmEx，亦即miExcxfi1)()(，其中 )(xiE表示 i的特征函数，则称 f为 上的简单函数.图3-1-1 简单函数显然 )(xD=01上 的 无 理 点为上 的 有 理
6、点为 ,及 )sgn(x=10均为其定义域上的简单函数.图3-1-2 符号函数 可以证明，可测集 E上的两个简单函数 )(,xgf的和、差及乘积仍为 E上的简单函数；当 0)(xg时， )(xgf也是 E上的简单函数.另外，若 uf是 G 1R上的函数， )(xgu是可测集 nRE上的简单函数，且 )(Eg，则 )(xg仍为 上的简单函数.例1 证明可测集 E上的两个简单函数 )(,xgf的和仍为 上的简单函数证明 设 ,fxg是 E上的简单函数，下证 fxg也是 E上的简单函数.事实上，设 11,i jnmABi jfxaxgbx， 1,nmijikjlEBijk那么111nnmijijij
7、AAB，其中 1,2;,injm 则 ijAB是 mn个互不相交的可测集，且11111i j ij ijijmnmmnABiABjABi j j inmijBijfxgaxbxaxbxb所以 fxg是 E上的简单函数.定义2 设 )(f为 nR上的非负实函数, 集合 )(0,),(xfyExy1nR称为 x在 上的下方图形, 记为 ,(fEG,当 nR时,简记为 G.图3-1-3 下方图形例2 如果 Ex是 nR中可测子集 E的示性函数：1,0Exx当当 )(,),(fyy则 ,0,10,1nEEGGR，这都是 1nR中的可测集.例3 设 )(xf为可测集 n上的非负简单函数,即miExcxfi1)()(,其中1miE, i为两两不交的可测集, 则 ),(fEG为可测集, 且iiEcfG1)(.证明 不难证明 1(,)(,)miifEf,其中 ),(fGi也互不相交.而 ),0)(0,),(),( iiiii ccxfyxyfEG 为 1nR中的可测集, 且iiiiii mEEcmf ,所以 miiiicfGfE11),(),(.
