1、公倍数、最小公倍数的认识（课堂实录） 公倍数、最小公倍数的认识 （课堂实录） 师：今天有这么多的老师与学校领导来听课，我就先给大家讲个故事，要做到仔细听，边听边思考：故事讲了什么事情？ 在我们村里，有一对兄妹因家里贫困而无法上学，从初中毕业后就想到去外面打工以维持生活。于是他兄妹俩一起来到城里，想在一家大酒店找份工作，经过同酒店的经理见面、谈话后，同时被这家大酒店招聘。酒店经理根据本公司工作分配的需要，让妹妹工作 3天再休息 1天，而要求哥哥工作 5再休息 1天。就这样他兄妹俩在五一节那天上班了。 妹妹 第一个休息天时，可一想哥哥还得工作二天才可以休息，于是在想： “我与哥哥这样工作下去，我们
2、有没有一起休息的日子？ ” 生：有。（学生随声应和着，也有一部分学生在议论。） 师：谁会帮这位妹妹解决这个困惑？ 生：没有，因为他们两个的工作时间长短不同，所以没有。 生：有。因为哥哥工作 3个五天就是 15天，妹妹工作 5个三天也是 15天。 生：妹妹工作 5个三天就是十五天，哥哥 3个五天也是十五天，那第十六天就是共同休息。 生：能。妹妹工作三天休息一天一共是四天，哥哥工作五天体息一天一共是六天，第十二天是妹妹一共工作了九天后的第 三次休息天，也是哥哥工作十天后的第二次休息天。 师：真的。可妹妹还是有点担心？同学们能准确地告诉妹妹这个月里哪天才是他们兄妹俩一起的休息日，多好啊？ 师：谁能把
3、哪日子找出来？ （学生分小组尝试寻找答案，有的一边想一边在纸上写写、找找 .，） 师：看来怎样找，得讲究一些方法。老师给同学们提个建议，同学们可以借助日历在上面找日子，同桌两位同学可以通过分工合作来解决这个问题，一位同学找妹妹的休息日，另一位同学找哥哥的休息日，然后再把两人找的结果合起来对照一下，这样就可以比较快的找出两兄妹共同的休息日了。 （学生 分工合作交流，寻找问题的答。） 师：有好多小组讨论的很热烈，也找到了一些的方法。现在让我们来听听他们的意见。 生：妹妹工作 3天，在 30内找出 3的倍数，哥哥的工作日是 30天内 5的倍数。把它摘下来，比较就知道了。 师：你们组把它们都摘下来了吗
4、？ 生：没有。 师：我们一起把它们摘下来？ 生： 5的倍数： 5、 10、 15、 20、 25、 30， 3的倍数： 3、 6、 9、 12、 15、 18、 21、 24、 27、 30 生：一天的休息日还没有算进去。（那位同学双手把笑列的嘴巴都蒙上了。） 生：我们小组认为，妹妹工作三天休息一天，就到了 4号，哥哥工作五天休息一天，就到了 6号，妹妹再过三天就是休息天 8号，哥哥再过五天休息一天是 12号，妹妹再工作三天休息一天也是 12号。 生：还有 24。妹妹再工作休息三天是 16，哥哥再休息是 18，妹妹再休息是 20，哥哥再休息是 24，妹妹妹再休息是 24。 生： 12 的倍数都
5、可以的。妹妹工作三天休息一天一共是 4 天，哥哥工作天五天休息一天是 6 天，求出 4和 6的最小公倍数。 生：那什么叫最小公倍数？（一个女孩自然地隐约地发出低声。） 师：这个问题我们先放着，呆一会同学们就会自然的明白了。其他同学还有别的方法吗？ 生：画图的方 法。 师：通过怎样的画图方法，（学生上台画画）比老师写的字还要漂亮。 师：你们猜猜，画的圆圈表示什么啊？ 生：我知道。（学生哗然一片） 师：她还没有画完，你们就知道了。先自己想好要说几句话。 生：空白的圆圈表示工作的天数，阴影的表示休息的天数。 生：妹妹没有添上的一横一横的表示正在工作的时候，而添上的是妹妹第 4天休息日，哥哥这里空白的
6、也是正在工作，而添上横线的是在休息。它们俩同样都添上的就是他们共同休息。 生：如果问题是求他们在一年之内几天是共同的休息日，那他这样画下去不是很麻烦吗？ 生：最小的是 12，只要 12乘以 2等于二十四，再加以 12，接下去算。 师：也就是说 . 生：也就是说这个数是 12的倍数，这个数就是他们兄妹俩共同的休息日。 生：我对他的有意见，一个数的倍数是无限的，那这样写要写到什么时候？ 师：那怎么办呢？ 生：要写在什么数之内？ 师：我们现在找的都是在五月份的三十一天之内的，如果继续找下去 . 生：还有许多 师：那怎么办呢？ 生：老师，我只知道了妹妹哥哥的共同休息日都是双数。（突然一个学生举起手来说
7、） 师：这个同学真会思考。我们刚才找的都是 31天内找的，如果在一年之内，二年，三年找肯定还有很 多，我们可以用 . 生：省略号。 师：妹妹高兴了。现在我们用自信的语言来告诉妹妹，我们 . 生：我们可以共同在一起玩了。 生：我们可以共同一起休息了。 生：我们一起休息的日子是十二号，或二十四号。 生：是五月十二号，五月二十四号。 生：终有一天会在一起玩了。 师：不用等很久， 12号就可以一起休息了，也就是共同休息最早的一天是 12号。 生：只要是 12的倍数，我们都能在一起休息了。 师：我们通过各种方法，为妹妹解决了心中的疑惑。那我们现在来看看妹妹的休息日，先大家来读读这些数。 生： 4、 8、
8、 12、 16、 20、 24、。 师：你们发现这些数有什么特点？ 生：他们相差都是 4。 生：他们都是偶数。 生：这些数都是 4的倍数 生：他们都是合数。 生：这些数都能被 4整除。 师：这些数都能被 4整除，也可以说都是 4的倍数。 师：哥哥的休息日和两兄妹共同的休息日，你会有什么发现吗？ 生：哥哥的休息日都是 6的倍数。 生：他们共同休息日都是 12的倍数。 生：他们共同休息日既是 4的倍数，又是 6的倍数。 生：是公倍数。因为上面 4的倍数有 12， 6的倍数也有 12。 师： 12是 4和 6的公倍数。 生：是最小公倍数。 师：那二十四呢？ 生：是最大公倍数。 生：是最大的公倍数，是
9、五月份内最大的公倍数。 师：如果不仅仅是在五月份之内找的，那他们有没有最大的公倍数？ 生：没有，因为他们的公倍数是无限的。 师：兄妹共同休息日的数都是四和六的公倍数。这 “其中最早的一天 ”就是 4和 6的公倍数中最小的一个，我们可以给它起个名字叫什么？ 生：最小公倍数。 生：那他们下个月共同休息日大概在不是 4号就是 5号，也不是 4和 6的公倍数啊？ 师：我们可以找一找， 24号，接下去是几（生： 36），是下个月的几号？ 生： 5号。 师：六月五号，也是他们兄妹俩共同休息日，这就 到了第 36天， 36就是 4和 6的公倍数。 师： 4和 6的公倍数我们还可以用图示来表示： 4的倍数 生
10、：填写 4的倍数， 师：而 6的倍数的圆圈该怎么画呢？ 生：也画一个大圆圈表示 6的倍数。 师：也画一个大圆圈 (把 6的倍数也画了一个圆圈 )， 可以吗？ 生：这两个圆圈的一半要重叠。 师：为什么要重叠呢？ 生：因为他们有公倍数。 师：那这个图谁会填？ 学生上台填写 4的倍数 6的倍数 （学生争着要说 ,师提示先自己思考想好说几点？） 师：现在可以大声的说了。 生： 还有很多。 生： 都要写上省略号。 生：中间是 4和 6的公倍数。 生：老师，她起先做错了，后来又做对了。 师：你自已解释一下。（请刚板书的那位同学） 生：我先写四的倍数，再写六的倍数，最后从中找出 4和 6的公倍数，并把这几个
11、数在原来的圈内擦去。 生：其实并不用这么麻烦，可以从上面的黑板上寻找，然后把相同的抄到中间的圆圈里。 生：如果上面没有呢？ （刚才那个同学又笑了。） 生：老师，我还从书到上学到了用短除法来求最小公倍数。（又有一个学生举手要说） 师：从书本上学到了用短除法求它们最小公倍数，这是我们下一节课要学的内容，你先预习了 ，很好。 生：像公约数一样，公约数是他们的约数，公倍数是他们的倍数。公约数是他们自己以下的，而公倍数是他们自己以上的。（又有一个学生冒出来说） 师：公约数是这几个数以内的，而公倍数是这几数以上的。谁还有话要说吗？ 生：还可以用什么别的符号来表示吗？ 生：有，可以用画一个大三角形。 师：可
12、以利用课余时间，你把它画出来与其它同学交流，好吗？（学生默默点头） 生：老师， 4和 6的公倍数是不是它们最小公倍的的倍数？（无意中又有一只小手高高的举起，笑还在笑着，似乎告诉我们是在名知顾问。） 生：是。 生：那别的公倍数是不 是它们的最小公倍数的倍数？ 师：那同学们想一想，是不是？ 生：是，因为后面的一个数是前一个公倍数的倍数。 师：我们刚才讲了那么多的公倍数，谁能用自己的话说说什么叫公倍数，什么叫最小公倍数？ 生：几个数公有的倍数，叫做公倍数。 （有几个学生在说着是 “两个数 ”） 生：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。 师：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数。我刚才听到有的同学说是 “两个数公有的倍数，叫做公倍数 ”。 生：现在是两个数的公倍数，也有可能是求三个、四个数。 生：其中最小的一个数是最小公倍数。 师：我们从为兄妹 俩解决共同休息日的问题中，学习了公倍数和最小公倍数，还可以解决日常生活中的哪些实际问题？ 生： (略 ) 师：老师也想举个例子。比如我们班同学排队做早操，如果 5 个同学的排成一排，刚好排完；如果 11 个同学排成一排，也刚好排完。我们至少有几人？ 生： 55人，就是求 5和 11的最小公倍数。 师：好的，同学们学的真起劲。这节课我们一起学习了公倍数与最小公倍数，那从中你们学到了什么？，还有什么话要说或问吗？ （生略）
