1、数学悖论促进数学的发展XX XXXXXXXXXXXX华中科技大学2010-11-18自然辩证法课程论文摘要发现悖论、悖论的解决能促进科学的发展。数学中的悖论对数学的影响是巨大的，由数学中的悖论直接导致了三次数学危机，以及悖论解决后数学的跨越式发展。 “芝诺悖论”的解决使人们认识到了无理数的存在，“微积分悖论”的解决使得微积分理论获得了坚定的理论基础。关键词：数学悖论 数学的发展 “芝诺悖论” “微积分悖论”数学悖论促进数学的发展悖论被大哲学家康德称为“人类理智最奇特的现象” 。悖论是什么？从广义上，凡似是而非或似非而是的论点都叫做悖论。狭义的悖论是由以下三点定义的：一，悖论是相对于一定的背景知
2、识而言的；二，推导过程合乎逻辑；三，推导后可得到两个相互矛盾命题的等价式。对于悖论，不能仅从字面上把它理解为“悖理” ，简单的斥之为“荒谬” 。因为一个一个理论之所以被认为包含悖论，不是由于它明显的暴露了错误，而是在于看起来它没有问题的，然而却在其中包含了悖论。悖论的实质是客观事物的辩证性同主观思维的形而上学性以及方法的形式化特性之间矛盾的一种集中反映。悖论分为两类，第一类：有关前提中包含有直接错误的悖论;第二类：前提中并不包含悖论，或看上去没有问题的悖论。对于第一类悖论，其积极意义是不言而喻的，通过被悖论引出的逻辑矛盾，有助于揭露推理前提中隐含的错误，检查推理过程中的漏洞，这对于增强思维的严
3、谨性，推动人们的认识的不断发展，无疑是有利的。对于第二类悖论，其对科学发展的意义就更大了。悖论对数学发展的影响是深刻的的、巨大的。 “芝诺悖论”引发的第一次数学危机，其促进了数学的严谨性，并促使公理化方法逐步成为希腊数学发展的途径。 悖论，使得人们把眼光从有理数开拓到了无理数，有力2的促进了数学的发展。 “微积分悖论” ，即无穷小悖论引发了第二次数学危机，危机的克服、悖论的消除，使得微积分理论获得坚实的理论基础，并且导致了集合论的产生。康托悖论，即最大基数悖论，该悖论的分析解决，形成了今天大家所熟知的 ZF 系统。数学的第一次危机“芝诺悖论”芝诺是古希腊著名哲学家巴门尼德的学生，他极端的信奉巴
4、门尼德关于世界真实的东西只能是“唯一不动的存在”这个信条，否定现实世界的运动，认为运动或变动是不可能的并断言承认运动就会导致失败，由此他提出了著名的芝诺悖论。其包含四个悖论。“二分法”悖论：“运动不存在。理由是：位移事物在达到目的地之前必须抵达路程的一半。这个要求会无限的进行下去，任意两点之间都有中点，那么从他开始的那刻起，就注定了达不到终点。 ”“阿基里斯”悖论：“快跑者追不上慢跑者” 。因为追赶者必须先到慢跑者的起点，而在此同时，慢跑者又到达了前面的一点，就这样有无穷的起点在等着他。“飞矢不动”悖论：“飞着的箭是静止的” 。飞箭在任一瞬间必静止在一确定的位置上。所以运动就是由许多的静止组成
5、。“运动场”悖论：“跑道上有两排物体，大小相同，数目相同，一排从终点排到中间点，另一排从中间点排到起点，他们以相同的速度做相向运动，得到一半时间和整个时间相等。 ”芝诺是揭示静止与运动、时间与空间的第一批人之一，芝诺发现并注意到了运动的矛盾性，这个事实给以后的逻辑学、数学、哲学带来了极大的影响。亚里士多德对于芝诺悖论的分析得出下面结论：“一切连续事物被说成是“无限的”都有两种含义：或分起来的无线，或延伸上的无限。因此一方面，事物在有限的时间里不能和数量上无限的事物相接触，因为时间本身分起来也是无限的。因此既不能在有限的时间里通过无限的量，也不能再有限的时间里通过有限的量。 “飞矢不动”这个结论
6、是把时间当做是由现在的合成而引起的，如果不肯定这个前提， “飞矢不动”这个结论是不会出现的。运动场的问题在于芝诺把一个运动的事物经过另一个运动事物和以同速度经过同样大小的静止事物所花的时间看成是相等的，事实上这两者是不相等的。 ”“芝诺悖论”真正的影响了许多代的数学思想，可以这么说，它是追究数学上的严谨性的开始。无理数的发现和“芝诺悖论”的提出，迫使人们这样的思考：数学内部居然也有逻辑矛盾，那么数学能不能作为一门严格的科学呢？“芝诺悖论”的发现揭示了矛盾，动摇了数学基础；但也正应为揭露了矛盾，使人们发现了数学理论本身所存在的问题，然后设法解决问题，从而加固了数学的基础，促进了数学的发展。芝诺不
7、自觉的预示解决这些悖论的途径，但他本身并没有产生出解决悖论的办法。 “芝诺悖论”以潜科学形态孕育辩证法和极限思想。现在“芝诺悖论”虽早已解决，但“芝诺悖论”的科学意义并没有结束。数学的第一次危机“微积分悖论”“微积分悖论”的产生，曾造成了数学发展史上的第二次危机，通过对微积分悖论产生的根源、实质以及这个悖论的被消除的剖析，我们可以看出，数学悖论能极大的促进数学的发展。微积分这门科学公认为有牛顿和莱布尼兹创立。微积分的创立后，一方面它得到了广泛的应用，另一方面它的基础问题也越来越严重。在推导一些定理和公式时，在逻辑上出现了前后矛盾，使人感到了不安，并且也给微积分带上了神秘的色彩，这个神秘主要体现
8、在对无穷小量的解释上。例如牛顿在推导中是这么处理无穷小量的，第一步，他用无穷小量作分母进行除法；第二步，他又把无穷小量看做零，以去掉那些包含它的项。例如在求函数 的导数，当时是这么计算的。2xy 当忽略不2xy 22)()(dxxd 2)(dxy计式中的 时 进而 。2)yy在式子中， 就是函数 的导数，这个运算结果是正确的，但她2是在忽略 的基础上得到的，从正统的数学来看 应该是等于零的否则2)(dx dx就不能把 去掉，但从式子中可以它不应该为零，因为它左除数了，而除数不能为零。牛顿看到了这个矛盾，但是他无法摆脱它，这就是微积分悖论，这个悖论的出现造成了第二次数学危机。从微积分悖论悖论的产
9、生开始，人们便开始尝试着去解决它，其中包括达朗贝尔、阿贝尔、柯西、康托尔等，中间经历了半个多世纪，随着微积分悖论的解决，建立了实数理论，以及在实数理论上建立起的极限理论，从而使微积分理论建立在实数理论的严格基础上。因此微积分悖论促进了微积分理论的发展，巩固了微积分理论的基础，对数学的发展产生了深远的影响。总结一个数学理论中出现了悖论，并不一定证明这个数学理论是错误的。一个数学理论中出现了悖论，也不用恐慌，应该勇敢的去正视它，面对它分析它。数学悖论是数学的生长点，通过分析、解决一个数学理论中悖论的可能会完善发展该原有理论，也可能会创造新的数学理论，甚至产生数学革命，所以说数学悖论能促进数学的发展。参考文献1 成良斌，王卉玉自然辨证法讲义武汉：华中科技大学出版社，2005 年2 申先甲，林可济科学悖论集长沙：湖南科学技术出版社，1998 年3 韩雪涛数学悖论与三次数学危机长沙：湖南科学技术出版社，2006 年
