1、芝诺悖论的意义芝诺 (Zeno of Elea)（大约公元前 490年公元前 425年) 主要研究数学与哲学。芝诺生活在古代希腊的埃利亚城邦。他是埃利亚学派的著名哲学家巴门尼德的学生和朋友。芝诺因其悖论而著名，并因此在数学和哲学两方面享有不朽的声誉。数学史家 F卡约里（Cajori）说，“芝诺悖论的历史，大体上也就是连续性、无限大和无限小这些概念的历史。”遗憾的是，芝诺的著作没有能流传下来，我们是通过批评他的亚里士多德及其注释者辛普里西奥斯才得以了解芝诺悖论的要旨的。直到 19世纪中叶，人们对于亚里士多德关于芝诺悖论的引述及批评几乎是深信不疑的，普遍认为芝诺悖论只不过是一些有趣的谬见。英国数学
2、家B罗素（Russell）感慨地说道：“在这个变化无常的世界上，没有什么比死后的声誉更变化无常了。死后得不到应有的评价的最显眼的牺牲品莫过于埃利亚的芝诺了。他虽然发明了 4个无限微妙、无限深邃的悖论，后世的大批哲学家们却宣称他只不过是一个聪明的骗子，而他的悖论只不过是一些诡辩。柏拉图在他的巴门尼德篇中，记叙了芝诺和巴门尼德在公元前 5世纪的中期去雅典的一次访问。其中说：“巴门尼德年事已高，约 65岁，满头白发，但仪表堂堂。那时芝诺约 40岁，身材魁梧而美观。” 并在书中记述了芝诺的观点。据说芝诺在为巴门尼德的“存在论”辩护。但是不象他的老师那样企图从正面去证明存在是“一”不是“多”，是“静”不
3、是“动”，他常常用归谬法从反面去证明：“如果事物是多数的，将要比是一的假设得出更可笑的结果。”他用同样的方法，巧妙地构想出一些关于运动的论点。他的这些议论，就是所谓“芝诺悖论”。芝诺有一本著作论自然。在柏拉图的巴门尼德篇中，当芝诺谈到自己的著作时说：“由于青年时的好胜著成此篇，著成后，人即将它窃去，以致我不能决断，是否应当让它问世。” 公元 5世纪的评论家普罗克洛斯(Proclus)在给这段话写的评注中说，芝诺从“多”和运动的假设出发，一共推出了四十个各不相同的悖论。芝诺的著作久已失传，亚里士多德的物理学和辛普里西奥斯为物理学作的注释是了解芝诺悖论的主要依据，此外还有少量零星残篇可提供佐证。现
4、存的芝诺悖论至少有八个，其中最著名的是关于运动的四个悖论。 下面就是这四个悖论。引号内的是亚里士多德的物理学中的原话。 二分说。“运动不存在”。理由是：位移事物在达到目的地之前必须先抵达一半处。“J伯内特（Burnet）解释说：即不可能在有限的时间内通过无限多个点。在你走完全程之前必须先走过给定距离的一半，为此又必须走过一半的一半，等等，直至无穷。 阿基里斯（Achilles，荷马史诗伊里亚特中的善跑猛将）追龟说。“这个论点的意思是说：一个跑得最快的人永远追不上一个跑得最慢的人。因为追赶者首先必须跑到被追者的起跑点，因此走得慢的人永远领先。”伯内特解释说，当阿基里斯到达乌龟的起跑点时，乌龟已经
5、走在前面一小段路了，阿基里斯又必须赶过这一小段路，而乌龟又向前走了。这样，阿基里斯可无限接近它，但不能追到它。 飞箭静止说。“如果任何事物，当它是在一个和自己大小相同的空间里时（没有越出它），它是静止着。如果位移的事物总是在现在里占有这样一个空间，那么飞着的箭是不动的。” 运动场悖论。“第四个是关于运动场上运动物体的论点：跑道上有两排物体，大小相同且数目相同，一排从终点排到中间点，另一排从中间点排到起点。它们以相同的速度沿相反方向作运动。芝诺认为从这里可以说明：一半时间和整个时间相等”。 【关于芝诺悖论的分析与研究】 现在把这 3个悖论联系起来分析。诚如亚里士多德所说，阿基里斯追龟说其实可以归
6、结为二分说。按照二分说，阿基里斯在到达乌龟的起跑点之前，必须先走过这段距离的 1/2，为此，又必须先走过 1/4，1/8，等等，即必须在有限的时间内通过无限多个点，因此按芝诺的理由，阿基里斯根本就动弹不了。 芝诺悖论揭示的是事物内部的稠密性和连续性之间的区别，是无限可分和有限长度之间的矛盾，亚里士多德没有能觉察到这一点，当然实际上没有能驳倒芝诺。P汤纳利（Tannery）在 1885年指出，芝诺悖论所反对的是那种认为空间是点的总和、时间是瞬刻的总和的概念。换句话说，芝诺并不否认运动，但是他想证明在空间作为点的总和的概念下运动是不可能的。 芝诺的类似观点还表现在他的两个针对“多”的悖论中。其中一
7、个见于失传的芝诺原著的如下一段残篇： 如果有许多事物，那就必须与实际存在的事物相符，既不多也不少。可是如果有象这样多的事物，事物（在数目上）就是有限的了。如果有许多事物，存在物（在数目上）就是无穷的。因为在各个事物之间永远有一些别的事物，而在这些事物之间又有别的事物。这样一来，存在物就是无穷的了。 芝诺认为存在若是“多”就会导致无穷的论证，也表达在另一个悖论里。它被辛普里西奥斯至少是部分地逐字逐句记述下来。这些记述不象阿基里斯追龟说和飞箭静止说那样经后人或多或少地修改过，虽然表达得没有那么清楚，但是却更接近于芝诺的原话。辛普里西奥斯在他的引言里说，芝诺首先论证既无“大小”又无厚度的东西是不能存
8、在的。“因为如果这样，它加在某物之上不能使其变大，从某物减去也不能使其变小。但是，如果不能因增加它而使一物增大，也不能因减少它而使一物减小，这就明显地看出，所增加或所减少的是零。” 因此，把任意数目的这些“无”元素加在任何东西上都不会使它增大，反之从任何东西里减去它们也不会使它变小；当然，把这些“无”元素通通加起来，即使其数目有无限多个，其总和还是“无”。上述悖论和关于运动的前三个悖论的共同点，在于假定了空间、时间和物体的无限可分性，实际上还讨论了无穷小和连续性。芝诺在这里其实还援引了如下两个假设：i) 无限多个相等的任意小的正量的总和必然是无穷大；ii) 无限多个没有大小的量的总和仍然是没有
9、大小的量。其中假设 ii)是芝诺反对把线段(时间、空间)看成是一个无限点集(无限多个没有大小的量的总和)的主要依据。因此解决芝诺悖论的一个关键就是证明假设 ii)不成立。A格兰巴姆(Grnbaum)于 1952年详尽地讨论了这个问题。他把只含有一个点的子区间定义为退化子区间，从而得出下列结论：1)有限区间(a，b)是退化子区间的连续统的并集；2)每个退化子区间的长度是零；3)区间(a，b)的长度是 ba； 4)一个区间的长度不是它的基数的函数。因此，芝诺的假设 ii)不能成立。事实上，将一个线段（或别的量）按二分法进行无限分割，不可能有最后元素。因为既是无限分割，它就是一个没有最后一项的永远不
10、能完成的过程。在取极限的意义上，按结论 1)，有限区间(a，b)成为不可数的无限个退化子区间的并集，这时虽然每个退化子区间(或每个点)的长度为 0，但整个并集的长度不是 0，而是 ba(按结论 3)。这样，作为对芝诺和亚里士多德的回答，时间和距离都是作为无长度元素(点)的无穷集合的线性连续统。换言之，线段是点的无穷集合，而时间是无广延的瞬刻的无穷集合，它们都是线性连续统。这样，飞箭静止说这一悖论，原来指在任一给定的瞬刻是不动的但在由无限多瞬刻组成的连续体上却是动的，现在转换成一个新的“悖论”：由无广延的点组成的无穷集却有广延。这是古代文献中第一个涉及相对运动的问题，在现存的芝诺悖论中，它是唯一
11、的和连续统问题无关的问题。不过也有学者(例如 P。汤纳利等人)认为它和连续统问题是有着某种联系的。 【对芝诺的评价、研究及起对后世的影响】 19世纪下半叶学者们开始重新研究芝诺，他们推测芝诺的理论在古代没有得到完整的、正确的报道，而是被诡辩家们用作倡导怀疑主义和否定知识的工具，从而背离了芝诺的真正宗旨。而亚里士多德正是按照被诡辩家们歪曲过的形象来引述芝诺悖论的。然而迄今为止，学者们还找不出可靠的证据足以推翻亚里士多德和辛普里西奥斯关于芝诺悖论的记述。由于目前对希腊哲学史了解得还不够，对于芝诺提出这些悖论的目的何在尚不清楚。比较一致的意见是：芝诺关于运动的悖论并不是简单地否认运动，芝诺责难“多”
12、也不是简单地把两只羊说成一只羊。在这些悖论后面有着更深层的内涵。亚里士多德的着作保存了芝诺悖论的大意，功不可没，但是他对于芝诺悖论的分析和批评并非十分成功，是值得重新研究的。关于芝诺悖论对于古代希腊数学发展的重要性，在科学史学者中的意见是很不一致的。P汤纳利首先提出，芝诺和巴门尼德哲学的关系并不如古代传说中所肯定的那样密切。相比之下，因毕达哥拉斯学派发现不可公度量而出现的一些问题，对于芝诺具有更加深刻的影响。基于同样的假设，H.赫斯(Hasse)和 H斯科尔斯(Scholz)想把芝诺说成是对古代数学的发展方向起决定影响的人物。他们试图证明，毕达哥拉斯学派曾假定存在无限小的基本线段(初等线段)，
13、想以此来克服因发现不可公度量而引起的困难。芝诺所反对的正是这种处理无穷小的不准确的做法，从而迫使下一代的毕达哥拉斯学派的数学家去探求更好、更准确的基础。另有一些学者持有完全不同的意见。BL范德瓦尔登指出，我们已知的关于公元前五世纪下半叶的数学理论不可公度量的发现无疑是那个时代作出的并不支持芝诺曾经对那个时代的数学发展作过任何重大贡献的说法。虽然芝诺时代已经过去二千四百多年了，但是围绕芝诺的争论还没有休止。不论怎样，人们无须担心芝诺的名字会从数学史上一笔勾销。正如美国数学史家 E.T.贝尔(Bell)所说，芝诺毕竟曾“以非数学的语言，记录下了最早同连续性和无限性格斗的人们所遭遇到的困难。”芝诺的功绩在于他在柏拉图学园中多次发起关于动和静的关系、无限和有限的关系、连续和离散的关系的讨论。引起人们对他提出的这些悖论的关注与研究。虽然人们无法判断他对古典希腊数学的发展有无直接的重要影响，但有一个事实是柏拉图在巴门尼德中讨论的一个主要话题就是关于芝诺的悖论，因此芝诺明显是书中的主角之一。当时欧多克索斯（Eudoxus）正在柏拉图学园中攻读和研究数学与哲学。他后来创立了新的比例论，从而克服了因发现不可公度量而出现的数学危机；并完善了穷竭法，巧妙地处理了无穷小问题。在希腊数学发展的关键时刻，应当说芝诺也做出过有意义的贡献。
