1、欢迎光临 中 学 数 学 信息网 中 学 数 学 信息网 系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有 中 学 数 学 信息网 2007 年湖北数学奥林匹克夏令营竞赛试题及答案 一 选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分） 1 已知向量 a、 b，设 AB a 2 b， 5BC a 6 b， 7CD a 2 b， 则一定共线的 三点是 （ A ） （ A） A、 B、 D （ B） A、 B、 C （ C） B、 C、 D （ D） A、 C、 D 2 已知 1304(2 0 0 61 ），且 nnNnA ，则 )(Acard （ C ） (A) 1605. (B) 1537. (C)
2、1471. (D) 1404. 3 若 1sinsin yx ，则 yxcoscos 的取值范围是 （ D ） (A) 2 ,2 . (B) 1 ,1 . (C) 3,0 . (D) 3,3 . 4 在 ABC 中， a, b, c 为三边， A, B, C 为内角，且 2lgsinB=lgsinA lgsinC, 那么 xsin2A ysinA=a 和 xsin2B ysinC=c 的位置关系是 （ D ） （ A）平行 . （ B）相交 . （ C）垂直 . （ D）重合 . 5 若 m 、 22 1 010 10n x x a a a ，其中 1 2 3 4 5 6 7ia ， ， 01
3、2i， ，并且636mn ，则实数对 (,)mn 表 示 平 面 上 不 同 点 的 个 数 为 （ C ） （ A） 60 个 （ B） 70 个 （ C） 90 个 （ D） 120 个 解 ：由 6 5 1 4 2 3 3 及题设知，个位数字的选择有 5种 . 因为 3 2 1 7 6 10 ，故 （ 1） 由 3 2 1知，首位数字的可能选择有 2 5 10 种； （ 2） 由 3 7 6 10 及 5 4 1 2 3 知，首位数字的可能选择有 2 4 8 种 . 于是，符合题设的不同点的个数为 5 (10 8) 90 种 . 故选（ C） 6 已知 ABCD- 1111 DCBA 是
4、边长为 1 的正方体， P 为线段 1AB 上的动点， Q 为底面 ABCD 上 的 动 点 ， 则 PQPC1 的 最 小 值 为 （ A ） (A) 221 . (B) 3 . (C)2. (D) 2521 . 二、填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分） 欢迎光临 中 学 数 学 信息网 中 学 数 学 信息网 系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有 中 学 数 学 信息网 7 求值： 10cos170tan _ 3 _. 8 设 nS 为等差数列 na 的前 n 项和，若 105S ， 510 S ，则公差为 _ 1 _. 9 设 1,1 yx ， 22m in l og
5、2 , l og , l og ( 8 )xyS y x，则 S 的最大值为 _2_. 10 已知 )13(lo g21)(3 xabxxf为偶函数，xx baxg 22)( 为奇函数，其中 ba,为复数，则 10001 )(kkk ba 的值是 _ 1 _. 11 设 1 2 3 2 0 0 6S ，其中 n 表示不超过 n 的最大整数，则 S 的值等于 _242_. 12 已知在三棱锥 S-ABC 中，底面三角形每个顶点处的三个面角和均为 180 ，底面三角形三边分别是 2,3 和 5 ，则该三棱锥的体积是 36 _ 三 解答题（本题满分 60 分，每小题 20 分） 13 已知数列 na
6、 中， 1 1a ， 3 3nnaa ， 2 2nnaa . 求 2007a . 解 ：由题设， 2 2nnaa ，则 2 0 0 7 2 0 0 5 2 0 0 3 12 2 2 2 1 0 0 3 2 0 0 7a a a a . 由 2 2nnaa ，得 2 2nnaa，则 3 2 23 2 3 1 ( 1 )n n n na a a a n . 于是 2 0 0 7 2 0 0 6 2 0 0 5 2 0 0 2 1 9 9 91 1 2 3 1 2 3 2 1 2a a a a a 1 3 6 6 8 1 2 2 0 0 7a ， 所以 a2007=2007 易知数列 1 1a ，
7、2 2a ， ， nan 符合本题要求 14. 若函数21321)( 2 xxf在区间 a,b上的最小值为 2a，最大值为 2b，求 a,b. 解 显然，二次函数21321)( 2 xxf在区间 a,b上的最值与区间的取法有关，因此需要分情况进行讨论 . 欢迎光临 中 学 数 学 信息网 中 学 数 学 信息网 系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有 中 学 数 学 信息网 1）若 ba0 ，则 )(xf 在区间 a,b上单调递减，故 abfbaf 2)(,2)( ，于是有 ,221321,22132122abba解之得 3,1 ba ，即 3,1, ba . 2）若 ba 0 ，则
8、)(xf 在区间 a,0上单调递增，在 0,b上单调递减，因此 )(xf 在 0x 处取最大值 b2 ，在 ax 或 bx 处取最小值 a2 ，故 413,2132 bb . 由于 0a ， 03239213)413(21)( 2 bf ，故 )(xf 在 ax 处取最小 值 a2 ，即213212 2 aa ，解得 172a ，于是 413,172, ba . 3）若 0ba ，则 )(xf 在区间 a, b 上单调递增，故 bbfaaf 2)(,2)( ，于是有 ,221321,22132122bbaa由于方程 xx 221321 2 的两根异号，故 满足 0ba 的区间不存在 . 综上所
9、述，所求区间为 1， 3或 413,172 . 15 在 x 轴同侧的两个圆：动圆 1C 和圆 02444 22222 bayabxyaxa 外切（ 0, aNba ），且动圆 1C 与 x 轴相切，求 （ 1）动圆 1C 的圆心轨迹方程 L; （ 2）若直线 06 9 5 84)17(4 22 aabayabx 与曲线 L 有且仅有一个公共点，求ba, 之值。 解 由 02444 22222 bayabxyaxa 可得 ,)41()41()2( 22 aayabx 由ba, N，以及两圆在 x 轴同侧，可知动圆圆心在 x 轴上方，设动圆圆心坐标为 ),( yx , 则有,41)41()2(
10、22 ayayabx 整理得到动圆圆心轨迹方程 abbxaxy 4 22 欢迎光临 中 学 数 学 信息网 中 学 数 学 信息网 系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有 中 学 数 学 信息网 )2( abx . （ 2）联立方程组 )2(4 22 abxabbxaxy 06 9 5 84)17(4 22 aabayabx 消去 y 得 0)6 9 5 8(744 222 aaabxxa ，由 ,0)6 9 5 8(16716 2222 aaaba 整理得 aab 69587 22 从 可知 aa 77 2 。 故令 17aa ，代入 可得 1212 69587 aab , .77 2 bb 再令 17bb ，代入上式得 12121 9947 aab . 同理可得， 11 7,7 ba 。可令 ,49,49 mbna 代入 可得 nnm 1427 22 对 进行 配方，得 ,717)71( 222 mn 对此式进行奇偶分析，可知 nm, 均为偶数，所以 222 )71(717 nm 为 8 的倍数，所以 m4 。令 rm 4 ，则 22 71112 r 452 r 。 所以 654321,0 ，r . 仅当 4,0r 时， 22 11271 r 为完全平方数。于是解得 )(0 ,6958不合，舍去ba7846272ba784686ba
