1、 质点动力学习题答案2-1 一个质量为 P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为 ）上以初速度 运动， 的方向0v0与斜面底边的水平线 AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道 . 解: 物体置于斜面上受到重力 ，斜面支持力 .建立坐标：取 方向为 轴，平行mgN0X斜面与 轴垂直方向为 轴.如图 2-1.XY图 2-1 方向： X0xFtvx0方向： Y yymagsin时 0t v2si1ty由、式消去 ，得t 220sinxgv2-2 质量为 的物体被竖直上抛，初速度为 ，物体受到的空气阻力数值为 ，m fKV为常数.求物体升高到最高点时所用时间及上升的最大高度.K解：研究对象：受力分析：
2、受两个力，重力 及空气阻力 Pf牛顿第二定律：合力： fPFamy 分量： dtVKg即 dtmKVgd1tv00dtmKVg1ln10)(0emtgKegtm11时，物体达到了最高点，可有 为0V0t)1ln(ln00 gVgKt dtyV dtmgKeVmgKtdyt t 000 1)(1tt)(0202 1()KtmmgVegtK时， ，0tmaxy )1ln(1)( 0)1ln(02ax 0 gVKgegmgKV )l()( 02002mgKVK )1ln()( 02002 ggm)1ln(20gKVKV2-3 一条质量为 ，长为 的匀质链条，放在一光滑的水平桌面，链子的一端由极小的l
3、一段长度被推出桌子边缘，在重力作用下开始下落，试求链条刚刚离开桌面时的速度.解：链条在运动过程中，其部分的速度、加速度均相同，沿链条方向，受力为 ，mxgl根据牛顿定律，有 mFxgal 图 2-4通过变量替换有 dvxgml，积分0,xv00l由上式可得链条刚离开桌面时的速度为 vgl2-5 升降机内有两物体，质量分别为 和 ，且 2 用细绳连接，跨过滑轮,绳1m21m子不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速 上升时，a12g求：(1) 和 相对升降机的加速度(2)在地面上观察 和 的加速度各为多少?1m2 1解: 分别以 , 为研究对象，其受力图如图所示12(1)设 相对
4、滑轮(即升降机)的加速度为 ，则 对地加速度 ；因绳不a2ma2可伸长，故 对滑轮的加速度亦为 ，又 在水平方向上没有受牵连运动的影响，1m1所以 在水平方向对地加速度亦为 ，由牛顿定律，有)(22amTg1题 2-5 图联立，解得 方向向下ga(2) 对地加速度为2m方向向上22ga在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵连加速度，即1m 牵相绝 a gga254221，左偏上arctno6.rt2-6 一物体受合力为 （SI） ，做直线运动，试问在第二个 5 秒内和第一个 5 秒内物tF2体受冲量之比及动量增量之比各为多少？解：设物体沿+x 方向运动，NS（ 沿 方向）550501tdI 1I
5、iNS（ 沿 方向）721552F23/1I 1122)(pI 3)(122-7 一弹性球，质量为 kg，速率 m/s，与墙壁碰撞后跳回. 设跳回时速率0.m5v不变，碰撞前后的速度方向和墙的法线夹角都为 ，求碰撞过程中小球受到60的冲量 设碰撞时间为 s，求碰撞过程中小球 受到的平均冲力?I.t ?F解: 0sinsicos2)c(co12mvvmIvyyyxxxNSiiix 1.650.s2-9 一颗子弹由枪口射出时速率为 ，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为 1svF =( )N( 为常数)，其中 以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为bta,t零，试计算子弹走完枪筒全长所
6、需时间；(2)求子弹所受的冲量(3)求子弹的质量解: (1)由题意，子弹到枪口时，有,得0)(btaFbat(2)子弹所受的冲量t btatbI021d)(将 代入，得batbI2(3)由动量定理可求得子弹的质量 020bvaIm2-10 木块B静止置于水平台面上，小木块 A放在B板的一端上，如图所示. 已知kg， 0.75kg，小木块A 与木块B之间的摩擦因数 0.5，木板B与台.25ABm1面间的摩擦因数 0.1. 现在给小木块A 一向右的2水平初速度 40m/s，问经过多长时间 A、B恰好0v具有相同的速度？（设B 板足够长）解：当小木块 A 以初速度 向右开始运动时，它将受到木板 B
7、的摩擦阻力的作用，木0v板 B 则在 A 给予的摩擦力及台面给予的摩擦力的共同作用下向右运动. 如果将木板 B与小木块 A 视为一个系统， A、B 之间的摩擦力是内力，不改变系统的总动量，只有台面与木板 B 之间的摩擦力才是系统所受的外力，改变系统的总动量. 设经过 时间，tA、B 具有相同的速度，根据质点系的动量定理 0()kABAFtmv2()kABFmg再对小木块 A 单独予以考虑， A 受到 B 给予的摩擦阻力 ，应用质点的动量定理 K 0kBtv以及 1AFmg解得 002121(),ABvvvtg代入数据得 m/s =7.65s.52-11 一粒子弹水平地穿过并排静止放置在光滑水平
8、面上的木块，如图 2-11 所示. 已知两木块的质量分别为 和 ，子弹穿过两木块的时间各为 和1m2 1t，设子弹在木块中所受的阻力为恒力 ，求子弹穿过后，2tF图 2-10图 2-11两木块各以多大速度运动. 解：子弹穿过第一木块时，两木块速度相同，均为 ，初始两木块静止， 由动量定理，1v于是有 121()0Ftmv设子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为 ，对第二块木块，由动量定理有2v221tv解以上方程可得112122,FttFtvmm2-12 一端均匀的软链铅直地挂着，链的下端刚好触到桌面. 如果把链的上端放开，证明在链下落的任一时刻，作用于桌面上的压力三倍于已落到桌面上那部分链条的
9、重量.解：设开始下落时 ，在任意时刻 落到桌面上的链长为 ，链未接触桌面的部分下0ttx落速度为 ，在 时间内又有质量 （ 为链的线密度）的链落到桌面上而静vddmx止. 根据动量定理，桌面给予 的冲量等于 的动量增量，即IFtmx所以 2dvt由自由落体的速度 得gx2Fgx这是 时刻桌面给予链的冲力. 根据牛顿第三定律，链对桌面的冲力 ， 方向向下，t F时刻桌面受的总压力等于冲力 和 时刻已落到桌面上的那部分链的重力之和，所以Ft 3NFxg所以即链条作用于桌面上的压力 3 倍于落在桌面上那部分链条的重量.2-13 一质量为 50kg 的人站在质量为 100kg 的停在静水中的小船上，船
10、长为 5m，问当人从船头走到船尾时，船头移动的距离.解:以人和船为系统，整个系统水平方向上动量守恒设人的质量为 ，船的质量为 ，应用动量守恒得mMm+M=0vV其中 ， 分别为人和小船相对于静水的速度，可得 -人相对于船的速度为 MmvVv设人在 时间内走完船长 ，则有tl000t tlvddtd在这段时间内，人相对于地面走了 txv所以 Mlxm船头移动的距离为 53ll2-14 质量为 的木块静止在光滑的水平桌面上，质量为 ，速度 的子弹水平地射入木m0v块，并陷在木块内与木块一起运动.求：(1)子弹相对木块静止后，木块的速度和动量；(2)子弹相对木块静止后，子弹的动量；(3) 在这个过程
11、中，子弹施于木块的冲量.解：子弹相对木块静止后，其共同速度设为 ，子弹和木块组成系统动量守恒u（1） 0()mvMu所以 00MvP（2）子弹的动量20mu（3）针对木块，由动量守恒知，子弹施于木块的冲量为 0MIPv2-15 质量均为 的两辆小车沿着一直线停在光滑的地面上，质量为 的人自一辆车跳入m另一辆车，接着又以相同的速率跳回来. 试求两辆车的速率之比.解： 质量为 的人，以相对于地面的速度 从车 A 跳到车 B，此时车 A 得到速度 ，mv 1u由于车是在光滑的地面上，沿水平方向不受外力，因此，由动量守恒得 1vMu人到达车 B 时，共同得速度为 ，由动量守恒得2u2()Mmuv人再由
12、车 B 以相对于地面的速度 跳回到车 A，则车 B 的速度为 ，而车 A 与人的共v2u同速度为 ，如图所示，由动量守恒得1u联立方程解得： 2muvM12muvM所以车 B 和车 A 得速率之比为21u2-16 体重为 的人拿着重为 的物体跳远，起跳仰角为 ，初速度为 . 到达最高点时，Pp0v该人将手中的物体以水平向后的相对速度 抛出，问跳远成绩因此增加多少？u解：人和物体组成系统在最高点抛出物体前后沿水平方向动量守恒，注意到对地面这个惯性参考系 0()cos()mvvmu从最高点到落地，人做平抛运动所需时间 0sinvtg跳远距离增加为00(cos)cosmvutvt 0 inputPg
13、2-17 铁路上有一平板车，其质量为 ，设平板车可无摩擦地在水平轨道上运动. 现有M个人从平板车的后端跳下，每个人的质量均为 ，相对平板车的速度均为 . 问在Nmu下述两种情况下，平板车的末速度是多少？（1） 个人同时跳离；（2）一个人、一N个人的跳离. 所得结果是否相同.解：取平板车和 个人为研究对象，由于在水平方向上无外力作用，故系统在该方向上动量守恒. 取平板车运动方向为坐标轴正方向，设最初平板车静止，则有()0MvNmu2211()()uv所以 个人同时跑步跳车时，车速为NmvuM（2）若一个人、一个人地跳车，情况就不同了. 第一个跳车时，由动量守恒定律可得1()()0vu第二个人跳车
14、时，有 2 1()()()NmMNmv21()uvM以此类推，第 个人跳车时，有 1()()NNmv1uv所以 1( )2NN nmuMmM 因为 11m2N故 Nv2-18 质量为 的物体作直线运动，受力与坐标关系如图 2-18 所示。若 时，kg10 0x，试求 时，smv/x16?v解：在 到 过程中，外力0xm16功为力曲线与 轴所围的面积代数和40J由动能定理为：图 2-18212mv1W即 0402sv/322-19 在光滑的水平桌面上，水平放置一固定的半圆形屏障. 有一质量为 的滑块以初速度m沿切线方向进入屏障一端，如图 2-19 所示,设滑块与屏障间的0v摩擦因数为 ，试证明当滑块从屏障另一端滑出时，摩擦力作功为 201(1)fWmve解：滑块做圆周运动，依牛顿定律，有：法向：2mvNR切向： dvmdvfttR由以上两式，可得 对上式两边积分，有 00vd可得 0ve由动能定理可得摩擦力做功为 2220011(1)fWmve2-20 质量为 的木块静止于光滑水平面上，一质量为 ，速率为 的子弹水平射入木块后Mmv嵌在木块内，并于木块一起运动，求：（1）木块施于子弹的力所做的功；（2）子弹施于木块的力所做的功；（3）木块和子弹系统耗散的机械能.解：把子弹和木块当作一个系统，动量守恒 ()muv因而求得子弹和木块共同速度 muvM图 2-19
